人教A版(新)必修二第十章 概率10.3 頻率與概率_第1頁
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文檔簡介

10.3頻率與概率一、隨機事件的頻率與概率的關(guān)系1.思考?xì)v史上曾有人做過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的大量重復(fù)試驗,結(jié)果如下表所示:在上述拋擲硬幣的試驗中,你會發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律?提示當(dāng)試驗次數(shù)很多時,出現(xiàn)正面的比例在0.5附近擺動.2.填空大量試驗表明,在任何確定次數(shù)的隨機試驗中,一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此可以用頻率fn(A)估計P(A).名師點撥

對于頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系的剖析(1)頻率本身是隨機的,是一個變量,在試驗前不能確定,做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗得到的事件發(fā)生的頻率會不同.比如,全班每個人都做了10次擲硬幣的試驗,但得到正面朝上的頻率可以是不同的.(2)概率是一個確定的數(shù),是客觀存在的,與每次的試驗無關(guān).比如,若一個硬幣是質(zhì)地均勻的,則擲硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5,與做多少次試驗無關(guān).(3)頻率是概率的近似值,隨著試驗次數(shù)的增加,頻率會越來越接近于概率.在實際問題中,通常事件發(fā)生的概率未知,常用頻率作為它的估計值.3.做一做(1)某射擊運動員射擊20次,恰有18次擊中目標(biāo),則該運動員擊中目標(biāo)的頻率是

.

答案:0.9解析:設(shè)擊中目標(biāo)為事件A,則n=20,nA=18,則f20(A)=1820=0.9.(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.①頻率是客觀存在的,與試驗次數(shù)無關(guān).(

)②概率是隨機的,在試驗前不能確定.(

)③隨著試驗次數(shù)的增加,頻率一般會越來越接近概率.(

)答案:①×

②×

③√二、隨機模擬1.思考以下是用隨機模擬法求“同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,所得點數(shù)之和是偶數(shù)概率”的錯解過程以上錯解中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何訂正?提示錯因:骰子的點數(shù)為1~6之間的整數(shù),故隨機數(shù)的范圍應(yīng)設(shè)為1~6,并且每個數(shù)代表骰子出現(xiàn)的點數(shù).錯解中,沒有理解隨機數(shù)產(chǎn)生范圍的含義,錯誤地把隨機數(shù)的范圍當(dāng)作1~10,因此所求結(jié)果是錯的.(1)用計算器產(chǎn)生1~10之間取整數(shù)值的隨機數(shù).(2)統(tǒng)計所產(chǎn)生的隨機數(shù)總個數(shù)N.(3)把所產(chǎn)生的隨機數(shù)兩兩分組,再相加,統(tǒng)計和是偶數(shù)的個數(shù)N1.(4)即是點數(shù)之和是偶數(shù)的概率近似值.正解拋擲兩枚骰子,可以看作一枚骰子拋擲兩次,用兩個隨機數(shù)字作為一組即可.(1)拋擲一次只能出現(xiàn)6個等可能基本事件,所以用1~6之間的數(shù)字進(jìn)行標(biāo)注.(2)用計算器或計算機產(chǎn)生1~6之間的取整數(shù)值的隨機數(shù),并用兩個隨機數(shù)值作為一組.2.填空(1)隨機數(shù)與偽隨機數(shù)①例如我們要產(chǎn)生0~9之間的隨機整數(shù),像彩票搖獎那樣,把10個質(zhì)地和大小相同的號碼球放入搖獎器中,充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球,這個球上的號碼就稱為隨機數(shù).②計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù),具有周期性(周期很長),它們具有類似隨機數(shù)的性質(zhì).因此,計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)不是真正的隨機數(shù),我們稱它們?yōu)閭坞S機數(shù).(2)蒙特卡洛方法利用計算器或計算機軟件可以產(chǎn)生隨機數(shù),我們可以根據(jù)不同的隨機試驗構(gòu)建相應(yīng)的隨機數(shù)模擬試驗,這種利用隨機模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法.3.做一做(1)用拋質(zhì)地均勻的硬幣的方法可產(chǎn)生

個隨機數(shù),拋質(zhì)地均勻的骰子可產(chǎn)生

個隨機數(shù).

答案:2

6解析:拋硬幣,用正面表示一個數(shù),反面表示一個數(shù),則可產(chǎn)生兩個隨機數(shù),類似地,拋骰子可產(chǎn)生六個隨機數(shù).(2)通過模擬試驗,產(chǎn)生了20組隨機數(shù):6830

3013

7055

7430

7740

4422

78842604

3346

0952

6807

9706

5774

57256576

5929

9768

6071

9138

6754如果恰有三個數(shù)在1,2,3,4,5,6中,表示恰有三次擊中目標(biāo),則四次射擊中恰有三次擊中目標(biāo)的概率約為

.

答案:25%解析:表示三次擊中目標(biāo)分別是3013,2604,5725,6576,6754,共5組數(shù),而隨機數(shù)總共20組,所以所求的概率約為

=25%.(3)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.①隨機數(shù)是用計算機或計算器隨便按鍵產(chǎn)生的數(shù).(

)②用計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)是偽隨機數(shù).(

)③不能用偽隨機數(shù)估計概率.(

)答案:①×

②√

③×隨機事件的頻率與概率例1近年來,某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:噸):(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率;(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率.解:(1)廚余垃圾投放正確的概率為(2)設(shè)生活垃圾投放錯誤為事件A,則A的概率為“廚余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里廚余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里廚余垃圾量和可回收物量的總和除以生活垃圾總量,反思感悟

1.由統(tǒng)計定義求概率的一般步驟:(1)確定隨機事件A的頻率nA(n為試驗的總次數(shù));(3)由頻率fn(A)估計概率P(A).2.概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值,從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.概率是頻率的科學(xué)抽象,當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近,只要次數(shù)足夠多,所得頻率就近似地當(dāng)作隨機事件的概率.變式訓(xùn)練1某質(zhì)檢員從一大批種子中抽取若干批,在同一條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗,有關(guān)數(shù)據(jù)如下:(1)計算各批種子的發(fā)芽頻率,填入上表;(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計種子發(fā)芽的概率.解:(1)發(fā)芽頻率從左到右依次為:0.79,0.78,0.81,0.79,0.80,0.82.(2)由(1)知,發(fā)芽頻率逐漸穩(wěn)定在0.80,因此可以估計種子發(fā)芽的概率為0.80.隨機數(shù)的產(chǎn)生例2某校高一全年級20個班共1200人,期中考試時如何把學(xué)生分配到40個考場去?分析用計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)給1

200名學(xué)生編號,把學(xué)生按分到的隨機數(shù)從小到大排列.解:(1)按班級、學(xué)號順序把學(xué)生檔案輸入計算機;(2)用隨機函數(shù)RANDBETWEEN(1,1

200)按順序給每個學(xué)生一個隨機數(shù)(每人的都不同);(3)使用計算機排序功能按隨機數(shù)從小到大排列,即可得到考試號從1到1

200人的考試序號.(注:1號應(yīng)為0001,2號應(yīng)為0002,用0補足位數(shù).前面再加上有關(guān)信息號碼即可)反思感悟

1.產(chǎn)生隨機數(shù)的方法有抽簽法、利用計算機或計算器產(chǎn)生隨機數(shù)的隨機模擬方法等.抽簽法產(chǎn)生的隨機數(shù)能保證機會均等,而計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)是偽隨機數(shù),不能保證等可能性,但是后者較前者速度快,操作簡單,省時省力.2.用產(chǎn)生隨機數(shù)的方法抽取樣本要注意以下兩點:(1)進(jìn)行正確的編號,并且編號要連續(xù);(2)正確把握抽取的范圍和容量.變式訓(xùn)練2一體育代表隊共有21名水平相當(dāng)?shù)倪\動員,現(xiàn)從中抽取11人參加某場比賽,其中運動員甲必須參加.寫出利用隨機數(shù)抽取的過程.解:(1)把除甲之外的20名運動員編號,號碼為1,2,3,…,19,20;(2)用計算器的隨機函數(shù)RandInt

(1,20)或計算機的隨機函數(shù)RANDBETWEEN(1,20)產(chǎn)生10個1~20之間的整數(shù)值隨機數(shù),如果有重復(fù),就重新產(chǎn)生一個;(3)以上號碼對應(yīng)的10名運動員與甲運動員就是要抽取的對象.利用隨機數(shù)求事件的概率例3一個盒子中有除顏色外其他均相同的5個白球和2個黑球,用隨機模擬法求下列事件的概率:(1)任取一球,得到白球;(2)任取三球,都是白球.分析將這7個球編號,產(chǎn)生1到7之間的整數(shù)值的隨機數(shù),(1)一個隨機數(shù)看成一組即代表一次試驗;(2)每三個隨機數(shù)看成一組即代表一次試驗.統(tǒng)計組數(shù)和事件發(fā)生的次數(shù)即可.解:用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.(1)步驟:①利用計算器或計算機產(chǎn)生1到7之間的整數(shù)隨機數(shù),每一個數(shù)一組,統(tǒng)計組數(shù)為n;②統(tǒng)計這n組數(shù)中小于6的組數(shù)m;③則任取一球,得到白球的概率近似為

.(2)步驟:①利用計算器或計算機產(chǎn)生1到7之間的整數(shù)隨機數(shù),每三個數(shù)一組(每組中數(shù)不重復(fù)),統(tǒng)計組數(shù)為n';②統(tǒng)計這n'組數(shù)中,每組三個數(shù)字均小于6的組數(shù)m';③則任取三球,都是白球的概率近似為

.反思感悟

用整數(shù)隨機模擬試驗估計古典概型的概率時,首先要確定整數(shù)隨機數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗結(jié)果.可以從以下幾個方面考慮:(1)試驗的基本事件是等可能的時,基本事件總數(shù)就是產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍,每組隨機數(shù)字代表一個基本事件;(2)按比例確定表示各個結(jié)果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù);(3)產(chǎn)生的整數(shù)隨機數(shù)的組數(shù)n越大,估計的概率準(zhǔn)確性越高;(4)這種用模擬試驗來求概率的方法所得結(jié)果是不精確的,且每次模擬試驗最終得到的概率值不一定是相同的.

延伸探究從甲、乙、丙、丁4人中,任選3人參加志愿者活動,請用隨機模擬的方法估計甲被選中的概率.解:用1,2,3,4分別表示甲、乙、丙、丁四人.利用計算器或計算機產(chǎn)生1到4之間的隨機數(shù),每三個一組,每組中數(shù)不重復(fù),得到n組數(shù),統(tǒng)計這n組數(shù)中含有1的組數(shù)m,則估計甲被選中的概率為

.對頻率與概率關(guān)系問題的多方位辨析典例1某射手射擊一次擊中靶心的概率是0.9,是不是說明他射擊10次就一定能擊中9次?典例2某同學(xué)擲一枚硬幣10次,共有7次反面向上,于是他指出:“擲一枚硬幣,出現(xiàn)反面向上的概率應(yīng)為0.7”.你認(rèn)為他的結(jié)論正確嗎?為什么?解:不正確,擲一枚硬幣10次,有7次反面向上,就此得出“反面向上”的概率為0.7,顯然是對概率的統(tǒng)計性定義的曲解.因為概率是隨機事件的本質(zhì)屬性,不隨試驗次數(shù)的改變而改變,用頻率的穩(wěn)定值估計概率時,要求試驗的次數(shù)足夠多.歸納提升

1.隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的,但隨機中含有規(guī)律性,而概率恰是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映,概率是客觀存在的,它與試驗次數(shù)、哪一個具體的試驗都沒有關(guān)系,概率是一種可能性,往往通過頻率估算一個隨機事件發(fā)生的可能性,可以看作頻率理論上的期望值,因此,可以用頻率的趨向近似值來表示隨機事件發(fā)生的概率.2.概率定義中用頻率的近似值刻畫概率,要求試驗次數(shù)足夠多,即只有“在相同條件下,隨著試驗次數(shù)的增加,隨機事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定”時,才用這個常數(shù)來刻畫該隨機事件發(fā)生的可能性大小,即稱為這一事件發(fā)生的概率的近似值.1.用隨機模擬方法估計概率時,其準(zhǔn)確程度取決于(

)A.產(chǎn)生的隨機數(shù)的大小 B.產(chǎn)生的隨機數(shù)的個數(shù)C.隨機數(shù)對應(yīng)的結(jié)果 D.產(chǎn)生隨機數(shù)的方法答案:B解析:隨機數(shù)容量越大,頻率越接近概率.2.某人將一枚硬幣連續(xù)拋擲了10次,正面朝上的情形出現(xiàn)了6次,則(

)A.正面朝上的概率為0.6B.正面朝上的頻率為0.6C.正面朝上的頻率為6D.正面朝上的概率接近于0.6答案:B解析:0.6是正面朝上的頻率不是概率.3.下列說法:①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度,概率反映事件發(fā)生的可能性的大小;②做n次隨機試驗,事件A發(fā)生m次,則事件A發(fā)生的頻率就是事件的概率;③頻率是不能脫離具體的n次試驗的實驗值,而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值;④頻率是概率的近似值,概率是頻率的穩(wěn)定值.其中正確的說法有

.(填序號)

答案:①③④解析:由頻率和概率的關(guān)系知只有①③④正確.4.在用隨機模擬方法解決“盒中僅有4個白球和5個黑球,從中取4個,求取出2個白球2個黑球的概率”問題時,可讓計算機產(chǎn)生1~9的隨機整數(shù),并用1~4代表白球,用5~

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