數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用

§4數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當堂測查疑缺041.能夠建立等差數(shù)列模型解決生活中零存整取的問題.2.在了解儲蓄及利息的計算方法的基礎(chǔ)上能夠建立等比數(shù)列模型解決儲蓄中的自動轉(zhuǎn)存、復(fù)利及分期付款問題.明目標、知重點填要點·記疑點1.單利和復(fù)利用符號P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金與利息和(簡稱本利和).若按單利計算，到期的本利和S＝

；若按復(fù)利計算，到期的本利和S＝

.P(1＋nr)P(1＋r)nnx3.定期自動轉(zhuǎn)存模型如果儲戶存入定期為1年的P元存款，定期年利率為r，約定了到期定期存款自動轉(zhuǎn)存的儲蓄業(yè)務(wù)，則連存n年后，儲戶所得本利和為

.P(1＋r)n4.分期付款模型貸款a元，分m個月將款全部付清，月利率為r，各月所付款額到貸款全部付清時也會產(chǎn)生利息，同樣按月以復(fù)利計算，那么每月付款款額為

.探要點·究所然情境導(dǎo)學(xué)當前，隨著住房、教育、買車等貸款業(yè)務(wù)逐漸深入家庭.人們會經(jīng)常遇到一些分期付款問題.如何選擇付款方式，關(guān)系到個人利益，也是一個需要運用數(shù)學(xué)知識來計算的復(fù)雜過程.做為“熱點“的分期付款成為了一種趨勢，在今后，更將被廣大人民所接受并應(yīng)用于生活中.相信你學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容對分期付款會有較深刻的認識.探究點一零存整取模型例1銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù)，即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計復(fù)利(暫不考慮利息稅).(1)若每月存入金額為x元，月利率r保持不變，存期為n個月，試推導(dǎo)出到期整取時本利和的公式；(2)若每月初存入500元，月利率為0.3%，到第36個月末整取時的本利和是多少？(3)若每月初存入一定金額，月利率為0.3%，希望到第12個月末整取時取得本利和2000元.那么每月初應(yīng)存入的金額是多少？思考1

(1)中第一個月、第二個月和第n個月的利息分別是多少？答分別是nxr，(n－1)xr，xr.思考2求整取時的本利和實質(zhì)上是求什么？(寫出例題的解題過程)答就是求全部的本金及全部的利息之和.解根據(jù)題意，第1個月存入的x元，到期利息為x·r·n，第2個月存入的x元，到期利息為x·r·(n－1)元，…，第n個月存入的x元，到期利息為xr元.不難看出，這是一個等差數(shù)列求和的問題.(2)每月存入500元，月利率為0.3%，根據(jù)①式，本利和(3)依題意，在①式中，y＝2000，r＝0.3%，n＝12.答每月應(yīng)存入163.48元.反思與感悟當應(yīng)用問題中的變量的取值范圍是正整數(shù)時，該問題通常是數(shù)列問題，這時常常建立數(shù)列模型來解決.例如存款、貸款、購物(房、車)分期付款、保險、資產(chǎn)折舊等問題都屬于數(shù)列問題模型.跟蹤訓(xùn)練1某廠去年產(chǎn)值為a，計劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為___________.解析

注意去年產(chǎn)值為a，今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).11a(1.15－1)探究點二定期自動轉(zhuǎn)存模型例2銀行有另一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動轉(zhuǎn)存.例如，儲戶某日存入一筆1年定期存款，1年后，如果儲戶不取出本利和.則銀行自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自動轉(zhuǎn)存的儲蓄業(yè)務(wù)(暫不考慮利息稅)，我們來討論以下問題：(1)如果儲戶存入定期為1年的P元存款，定期年利率為r，連存n年后，再取出本利和，試求出儲戶n年后所得本利和的公式；(2)如果存入1萬元定期存款，存期1年，年利率為2.79%，那么5年后共得本利和多少萬元(精確到0.001)?思考1

(1)中1年后和2年后的本利和分別是多少？答1年后的本利和為a1＝P＋P·r＝P(1＋r)，2年后的本利和為a2＝P(1＋r)＋P(1＋r)r＝P(1＋r)2.思考2

(1)中各年的本利和構(gòu)成了怎樣的一個數(shù)列？(寫出例題的解題過程)答構(gòu)成了一個首項為a1＝P(1＋r)，公比為q＝1＋r的等比數(shù)列.解(1)記n年后得到的本利和為an，根據(jù)題意，每年到期后的本利和構(gòu)成了一個等比數(shù)列，首項為a1＝P(1＋r)，公比為q＝1＋r，故n年后到期的本利和為an＝a1qn－1＝P(1＋r)n(元).(2)根據(jù)上式，5年后本利和為a5＝1×(1＋0.0279)5≈1.148(萬元).答5年后得本利和約為1.148萬元.反思與感悟構(gòu)建等比數(shù)列模型解決實際問題，要弄清a1與n的實際含義，分清是求通項an還是求前n項和Sn.跟蹤訓(xùn)練2某工廠總產(chǎn)值月平均增長率為p，則年平均增長率為(

)A.p

B.12pC.(1＋p)12

D.(1＋p)12－1解析設(shè)上一年1月份產(chǎn)值為1，年平均增長率為x，∴x＝(1＋p)12－1.D探究點三分期付款模型例3小華準備購買一臺售價為5000元的電腦，采用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為：購買后2個月第一次付款，再過2個月第2次付款……購買后12個月第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計算.求小華每期付的金額是多少？思考單利和復(fù)利分別與等差數(shù)列和等比數(shù)列中的哪一種數(shù)列對應(yīng)？(寫出例題的解題過程)答單利和復(fù)利分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列為模型，即單利的實質(zhì)是等差數(shù)列，復(fù)利的實質(zhì)是等比數(shù)列.解假定小華每期還款x元，第k個月末還款后的本利欠款數(shù)為Ak元，則A2＝5000×(1＋0.008)2－x；A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×(1＋0.008)4－1.0082x－x；A6＝A4(1＋0.008)2－x＝5000×(1＋0.008)6－1.0084x－1.0082x－x；…；A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋1.0086＋1.0084＋1.0082)x－x；由題意年底還清，所以A12＝0.答小華每期付的金額為880.8元.反思與感悟求解數(shù)列應(yīng)用問題，必須明確屬于哪種數(shù)列模型，是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列；是求通項問題，還是求項數(shù)問題，或者是求和問題.然后將題目中的量建立關(guān)系，利用數(shù)列模型去解決.跟蹤訓(xùn)練3某家庭打算以一年定期的方式存款，計劃從2012年起，每年年初到銀行新存入a元，年利率p保持不變，并按復(fù)利計算，到2022年年初將所有存款和利息全部取出，共取回多少元？解從2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元，設(shè)第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，則有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p).(1＋p)為公比的等比數(shù)列，當堂測·查疑缺12341.一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支，最上面一層放了120支，這個V形架上擺放的鉛筆的總數(shù)為(

)A.7260 B.8000 C.7200 D.6000解析

從下向上依次放了1，2，3，…，120支鉛筆，∴共放了鉛筆1＋2＋3＋…＋120＝7260(支).故選A.A12342.某單位某年12月份產(chǎn)量是同年1月份產(chǎn)量的m倍，那么該單位此年產(chǎn)量的月平均增長率是(

)C解析設(shè)1月份產(chǎn)量為a，則12月份產(chǎn)量為ma，設(shè)月增長率為x，則a(1＋x)11＝ma，12343.據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b，2010年產(chǎn)生的垃圾量為a噸.由此預(yù)測，該區(qū)2015年的垃圾量為________噸.解析

由于2010年產(chǎn)生的垃圾量為a噸，由題意，得2011年的垃圾量為a＋a·b＝a(1＋b)，2013年產(chǎn)生的垃圾量為a(1＋b)＋a(1＋b)b＝a(1＋b)2，由此得出該區(qū)2015年的垃圾量為a(1＋b)5.a(1＋b)512344.銀行一年定期儲蓄存款年息為r，三年定期儲蓄存款年息為q，銀行為吸收長期資金，鼓勵儲戶存三年定期的存款，那么q的值應(yīng)略大于________________.解析設(shè)本金為1，按一年定期存款，到期自動轉(zhuǎn)存收益最大，三年總收益為(1＋r)3－1；若按三年定期存款，三年的總收益為3q，為鼓勵儲戶三年定期存款，應(yīng)使3q>(1＋r)3－1.1234呈重點、現(xiàn)規(guī)律數(shù)列應(yīng)用問題的常見模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的具體量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的