2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章函數(shù)3.1.1函數(shù)及其表示方法第2課時

.列表法．(重點)2．會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)．(難點)2．通過函數(shù)解析式的求法培養(yǎng)運算素養(yǎng)．3．理解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的函3．利用函數(shù)解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素數(shù)值，能畫出分段函數(shù)的圖像．(重點，難點)養(yǎng).4．能在實際問題中選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎緝勺兞恐g的函數(shù)關(guān)系，并能解決有關(guān)問題．(重點、難點)(1)定義：將函數(shù)y＝f(x)，x∈A中的自變量x和對應(yīng)的函數(shù)值y，分別看成平面直角坐標(biāo)系中點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，那么滿足條件的點(x，y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．(2)F是函數(shù)y＝f(x)的圖像，必經(jīng)滿足以下兩條①圖像上任意一點的坐標(biāo)(x，y)都滿足函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；②滿足函數(shù)關(guān)系y＝f(x)的點(x，y)都在函數(shù)圖像F上．提示：不一定．＝〈列表法雖在理論上適用于所有函數(shù)，但對于自變量有無數(shù)個取值的情況，列.表法只能表示函數(shù)的一個概況或片段.如果一個函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應(yīng)方式，那么稱其為分段函數(shù).提示：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).1．函數(shù)f(x)由下表給出，那么f(3)等于()f(x)123C[∵當(dāng)2<x≤4時，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]B[把點(01)代入四個選項可知，只有B正確．]3．以下給出的式子是分段函數(shù)的是()(x2＋1，1≤x≤5，①f(x)＝〈lx，xlx，x≥2.lx，x≤1.④f(x)＝〈lx－1，x≥5.A.①②B.①④C.②④D.③④B[結(jié)合分段函數(shù)的定義可知①④是分段函數(shù)，②③中不同對應(yīng)關(guān)系的定義域有重疊局部，應(yīng)選B.]4．函數(shù)y＝f(x)的圖像如下圖，那么其定義域是..[－2,3][由圖像可知f(x)的定義域為[－2,3]．]函數(shù)的三種表示方法函數(shù)的三種表示方法間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來．[解]x(臺)y(元)x(臺)y(元)162738495②圖像法：如下圖．列表法、圖像法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，同一個函數(shù)可以用不同的方法表示.在用三種方法表示函數(shù)時要注意：①解析法必須注明函數(shù)的定義域；②列表法中選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；③圖像法中要注意是否連線.1．假設(shè)集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，那么給出的以下圖形表示為定義在A上的函數(shù)圖像的是()函數(shù)解析式的求法函數(shù)解析式的求法.(2)由下表給出函數(shù)y＝f(x)，那么f(f(1))等于()xx(2)由題意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，應(yīng)選B.]【例2】(1)f(x＋1)＝x－2x，求f(x)的解析式；(2)函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，假設(shè)f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式；于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時，直線l把梯形分成兩[解](1)法一(換元法)：令t＝x＋1，那么t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t-1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).法二(配湊法)：f(x＋1)＝x＋2x＋1－4x－4＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).(2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，那么f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，.所以f(x)＝2x＋3或f(x)2x－8..22y＝2(x－7)2＋10.綜合①②③,得函數(shù)的解析式為l－(x－7)2＋10，x∈(5，7].l－(x－7)2＋10，x∈(5，7].求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：假設(shè)f(x)的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的.系數(shù)即可.(2)換元法：設(shè)t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.(3)配湊法：對f(g(x))的解析式進(jìn)展配湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊所有的“g(x)〞即可.(4)方程組法(或消元法)：當(dāng)同一個對應(yīng)關(guān)系中的兩個元素之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時，可構(gòu)造方程組求解.提醒：(1)應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式時，務(wù)必保證函數(shù)在換元前后的等價性.(2)在實際問題背景下，自變量取值區(qū)間不同，對應(yīng)關(guān)系也不同，此時需要用分段函數(shù)表示.2．函數(shù)f(x＋1)＝3x＋2，那么f(x)的解析式是()A[令x＋1＝t，那么x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]3．函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，那么f(x)＝.2[由題意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1-2消去f(－x)可得f(x)＝3x－1.]函數(shù)的圖像及應(yīng)用函數(shù)的圖像及應(yīng)用2【例3】(1)作出函數(shù)y＝x，x∈[2，+∞)的圖像并求出其值域.(2)某市“招手即停〞公共汽車的票價按以下規(guī)那么制定：②5公里以上，每增加5公里，票價增加如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像.[思路點撥](1)列表→描點→連結(jié)；(2)分段函數(shù)的圖像需要在同一坐標(biāo)系中分段畫出.[解](1)列表.…3…2當(dāng)x∈[2，+∞)時，圖像是反比例函數(shù)y＝x的一局部，觀察圖像可知其值域為(0,1].(2)設(shè)票價為y元，里程為x公里，定義域為(0,20].描點法作函數(shù)圖像的三個關(guān)注點(1)畫函數(shù)圖像時首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖.(2)圖像是實線或?qū)嶞c，定義域外的局部有時可用虛線來襯托整個圖像.(3)要標(biāo)出某些關(guān)鍵點，例如圖像的頂點、端點、與坐標(biāo)軸的交點等.要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點.提醒：(1)函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等.(2)分段函數(shù)的圖像是在同一個直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出各段的圖像，在作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.|x|－x|x|－x(1)用分段函數(shù)的形式表示f(x)；.(2)畫出f(x)的圖像；(3)假設(shè)f(a)＝2，求實數(shù)a的值.[解](1)當(dāng)0≤x≤2時，f(x)＝11，f(x)＝11－x，(1，0≤x≤2，∴f(x)＝〈(2)函數(shù)f(x)的圖像如下圖.(3)∵f(a)＝2由函數(shù)圖像可知a∈(－2,0)，二課堂小結(jié)口1．函數(shù)有三種常用的表示方法，可以適時的選擇，以最正確的方式表示函數(shù)，解析式后不注明定義域即可視為該函數(shù)的定義域為使此解析式有意義的實數(shù)集R2．作函數(shù)圖像必須要讓作出的圖像反映出圖像的伸展方向，與x軸、y軸有無交點，圖像有無對稱性，并標(biāo)明特殊點.3．分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).4．分段函數(shù)求值要先找準(zhǔn)自變量所在的區(qū)間；分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集.(1)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示．()(2)函數(shù)的圖像一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．()(3)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成．()(4)函數(shù)f(x)＝〈[答案](1)×(2)×(3)×(4)√.1A.C.22D[∵f(3)＝3≤1，那么f(f(3))＝()92∴f(f(3))＝(|1