概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題(含答案)

第一章隨機(jī)事件及其概率練習(xí)：判斷正誤（1）必然事件在一次試驗(yàn)中一定發(fā)生，小概率事件在一次試驗(yàn)中一定不發(fā)生。（B）（2）事件的發(fā)生與否取決于它所包含的全部樣本點(diǎn)是否同時(shí)出現(xiàn)。（B）（3）事件的對立與互不相容是等價(jià)的。（B）（4）若則。（B）（5）。（B）（6）A,B,C三個(gè)事件至少發(fā)生兩個(gè)可表示為（A）（7）考察有兩個(gè)孩子的家庭孩子的性別，，則P。（B）（8）若，則。（B）（9）n個(gè)事件若滿足，則n個(gè)事件相互獨(dú)立。（B）（10）只有當(dāng)時(shí)，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（A）2.選擇題（1）設(shè)A,B兩事件滿足P(AB)=0，則?A.A與B互斥B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0或P(B)=0（2）設(shè)A,B為兩事件，則P(A-B)等于(C)A.P(A)-P(B)B.P(A)-P(B)+P(AB)C.P(A)-P(AB)D.P(A)+P(B)-P(AB)（3）以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對立事件為(D)A.“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”B.“甲乙兩種產(chǎn)品均暢銷”C.“甲種產(chǎn)品滯銷”D.“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”（4）若A,B為兩隨機(jī)事件，且，則下列式子正確的是(A)A.P(A∪B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(B-A)=P(B)-P(A)（5）設(shè)，則等于(B)A.B.C.D.（6）假設(shè)事件A和B滿足P(B|A)=1,則(B)A.A是必然事件B.C.D.（7）設(shè)0<P(A)<1，0<P(B)<1,則(D)A.事件A,B互不相容B.事件A和B互相對立C.事件A,B互不獨(dú)立D.事件A,B互相獨(dú)立三解答題解：由德摩根律有2.甲乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，命中率分別是0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，求它是甲射擊命中的概率。解：設(shè)事件3.設(shè)一枚深水炸彈擊沉一潛艇的概率為0.6，求釋放4枚深水炸彈能擊沉潛艇的概率。解：4枚深水炸彈只要有一枚射中就有擊沉潛艇的可能，所以設(shè)B表示潛艇被擊沉，為第i枚深水炸彈擊沉潛艇。4.某衛(wèi)生機(jī)構(gòu)的資料表明：患肺癌的人中吸煙的占90%，不患肺癌的人中吸煙的占20%。設(shè)患肺癌的人占人群的0.1%。求在吸煙的人中患肺癌的概率。解：設(shè)A表示吸煙，B表示患肺癌。已知條件為5.設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20個(gè)，各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客欲購買一箱玻璃杯，由售貨員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機(jī)查看4只，若無殘次品，則購買，否則不買，求（1）顧客購買此箱玻璃杯的概率。（2）在顧客購買的此箱玻璃杯中，確實(shí)沒有殘次品的概率。解：參考書上24頁例4第二章隨機(jī)變量及其分布練習(xí)題：1判斷正誤：概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個(gè)概念。（B）超幾何分布在一定條件下可近似成二項(xiàng)分布。（A）（3）中的是一個(gè)常數(shù)，它的概率含義是均值。（A）。（B）若的密度函數(shù)為=，則（B）2選擇題若的概率函數(shù)為設(shè)在區(qū)間上，的密度函數(shù)，而在之外，，則區(qū)間等于：(A)若(A)三解答題已知一批產(chǎn)品共20個(gè)，其中有4個(gè)次品，按不放回與有放回兩種抽樣方式抽取6個(gè)產(chǎn)品，求抽得的次品數(shù)的概率分布。解：不放回抽樣，次品數(shù)放回抽樣，次品數(shù)設(shè)的分布律是求它的分布函數(shù)。解：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求（1）常數(shù)A的值（2）（3）X的密度函數(shù)解：由分布函數(shù)的右連續(xù)性，函數(shù)的右極限值等于函數(shù)值有4設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，求（1）常數(shù)A（2）（3）X的分布函數(shù)。解：由密度函數(shù)性質(zhì)有分布函數(shù)為：5.電話站為300個(gè)電話用戶服務(wù)，在一小時(shí)內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，求在一小時(shí)內(nèi)恰有4個(gè)用戶使用電話的概率：先用二項(xiàng)分布計(jì)算，再用泊松分布近似計(jì)算，并求相對誤差。解：，。第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征練習(xí)1判斷正誤：（1）只要是隨機(jī)變量，都能計(jì)算期望和方差。（B）（2）期望反映的是隨機(jī)變量取值的中心位置，方差反映的是隨機(jī)變量取值的分散程度。（A）（3）方差越小，隨機(jī)變量取值越集中，方差越大越分散。（A）（4）方差的實(shí)質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望。（A）（5）對于任意的X,Y，都有成立。（B）（6）若則。（B）2選擇題對于X與Y，若EXY=EXEY，則下列結(jié)論不正確的是（A）A.X與Y相互獨(dú)立B.X與Y必不相關(guān)C.D(X+Y)=DX+DYD.cov(X,Y)=0則的值為（B）兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2，則3X-2Y的方差是（D）A.8B.16C.28D.44若EX，DX存在，則E(DX)，D(EX)的值分別為（C）A.X,XB.DX,EXC.DX,0D.EX,DX3解答題（1）X與Y相互獨(dú)立，且EX=EY=1，DX=DY=1，求。解：（2）設(shè)X與Y獨(dú)立同分布，都服從參數(shù)為的泊松分布，設(shè)求U與V的相關(guān)系數(shù)。解：（3）求EY及DY。解：（4）假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，若一周5個(gè)工作日里無故障，可獲利潤10萬元，發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元；發(fā)生二次故障所獲利潤為0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少？解：設(shè)X表示出故障的次數(shù)，Y表示利潤?；喖纯?。（5）汽車起點(diǎn)站分別于每小時(shí)的10分、30分和55分鐘發(fā)車，若乘客不知發(fā)車的時(shí)間，在每小時(shí)的任一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)車站，求乘客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)X表示乘客的到達(dá)時(shí)間，則Y表示等候時(shí)間，第四章正態(tài)分布練習(xí)題：判斷題：若則稱為正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)，且（B）正態(tài)分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱。（B）正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象對稱軸由決定，平坦度由決定。（A）（B）若則（B）選擇題：（1）若兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，則（B）。（2）已知，則隨的增大，的值（C）。（3）在本門課程中，習(xí)慣上用表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)，則（4）若且則3解答題已知求解：某地抽樣調(diào)查考生的英語成績（按百分制）計(jì)算，近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，求考生的英語成績在分之間的概率。解：設(shè)表示考生的英語成績，則，由已知有則即查正態(tài)分布表知所以要求第五章判斷正誤?？傮w是隨機(jī)變量，樣本也是隨機(jī)變量，并且它們的概率分布完全相同。（A）樣本來自總體，樣本與樣本，樣本與總體之間都是相互獨(dú)立的。（B）統(tǒng)計(jì)問題的核心是由樣本估計(jì)總體，樣本容量越大，估計(jì)越準(zhǔn)確。（A）統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，但不是所有的統(tǒng)計(jì)量都是隨機(jī)變量。（B）樣本均值與是相等的。（B）選擇題。（1）為來自總體的一個(gè)樣本，已知，未知，則以下是統(tǒng)計(jì)量的是（A）（2）為來自總體N（0，1）的一個(gè)樣本，分別為樣本均值和樣本方差，則以下不正確的是（B）下列統(tǒng)計(jì)量服從分布的是：（D）（4）和是分別來自總體和的樣本，分別是它們的樣本方差，則常數(shù)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量服從分布。（5）若則（6）為來自總體的一個(gè)樣本，為樣本均值，則（7）設(shè)且相互獨(dú)立，則（8）設(shè)則（C）（9）設(shè)則必有（C）第六章參數(shù)估計(jì)判斷題(1）參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)適用于總體分布已知但參數(shù)未知的情形。A2參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)由不用的估計(jì)法得到的估計(jì)量完全相同。B3同一參數(shù)的矩估計(jì)量優(yōu)于極大似然估計(jì)量。B4無偏估計(jì)量的函數(shù)未必是無偏估計(jì)量。A5同一參數(shù)的矩估計(jì)量往往不唯一。A6同一參數(shù)的兩個(gè)估計(jì)量方差越小的越有效。B2．選擇題。（1）若1，1，1，0，1，1是來自總體的觀察值，則的矩估計(jì)量是（D）（2）是來自總體的一個(gè)樣本，且，分別是樣本均值和樣本方差，則必有（D）（3）正態(tài)總體的方差已知，為使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長度不大于，則樣本容量應(yīng)取（D）總體服從上的均勻分布，未知，是來自總體的一個(gè)樣本，則的矩估計(jì)量為：（B）總體的分布律為，而1，2，5，7，8是來自的觀察值，則的最大似然估計(jì)值為（C）（6）是來自總體的一個(gè)樣本，，則以下無偏估計(jì)量中（B）最有效。（1）是來自總體的一個(gè)樣本，其中總體有密度（i）求未知參數(shù)的矩估計(jì)量（ii）判斷矩估計(jì)量的無偏性（iii）計(jì)算估計(jì)量的方差解：(i)先求總體的一階原點(diǎn)矩即數(shù)學(xué)期望（ii），所以該估計(jì)量是無偏估計(jì)量。（iii）估計(jì)量的方差（2）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，分別用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求得估計(jì)量。解：矩估計(jì)法求解，先求總體期望極大似然估計(jì)法：先寫似然函數(shù)（3）證明：在所有的無偏估計(jì)量中，樣本均值是最有效的。（此題不用掌握）證明：利用柯西-許瓦茲不等式有（4）設(shè)，根據(jù)來自總體的容量為100的簡單隨機(jī)樣本，測得樣本均值為5，求的數(shù)學(xué)期望的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：顯然此題是在已知總體X的方差條件下求總體期望的95%置信區(qū)間?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題（一）一、單項(xiàng)選擇題1．已知，，若事件A與B相互獨(dú)立，則（C）A． B． C． D．因?yàn)锳與B獨(dú)立，所以，即，可得．2．對于事件A與B，下列命題正確的是（D）A．如果A,B互不相容，則也互不相容 B．如果，則C．如果，則 D．如果A,B對立，則也對立如果A與B對立，則且，所以與對立（就是B與A對立）．3．每次試驗(yàn)成功率為（），則在3次重復(fù)試驗(yàn)中至少失敗一次的概率為（B）A． B．C． D．設(shè)是試驗(yàn)成功的次數(shù)，則～，所求概率為．4．已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示：X0124則下列概率計(jì)算結(jié)果正確的是（A）P1/101/51/101/52/5A． B． C． D．5．已知連續(xù)型隨機(jī)變量X服從區(qū)間上的均勻分布，則（B）A．0 B． C． D．1X的概率密度為，注意到，6．設(shè)的概率分布如下表所示，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，=（C）YX1012A． B． C． D．，，．由，即，可得；由，即，可得．7．設(shè)的聯(lián)合概率密度為則（A）A． B． C．1 D．3由，得．8．已知隨機(jī)變量X～，則隨機(jī)變量的方差為（D）A．1 B．2 C．3 ．9．設(shè)X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布，用切比雪夫不等式估計(jì)（A）A． B． C． D．1，，，由切比雪夫不等式有，即．10．為X的樣本，是的無偏估計(jì)，則（B）A． B． C． D．由，即，得，．二、填空題1．設(shè)，，則________．由，即，得，所以．2．袋中有5個(gè)黑球，3個(gè)白球，從中任取的4個(gè)球中恰有3個(gè)白球的概率為________．．3．在時(shí)間內(nèi)通過某交通路口的汽車數(shù)X服從泊松分布，且已知，則在時(shí)間內(nèi)至少有一輛汽車通過的概率為_________．由，即，得，所求概率為．4．某地一年內(nèi)發(fā)生旱災(zāi)的概率為，則在今后連續(xù)四年內(nèi)至少有一年發(fā)生旱災(zāi)的概率為__________．設(shè)為今后連續(xù)四年內(nèi)發(fā)生旱災(zāi)的年數(shù)，則～，所求概率為．5．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為YX01201則________．．6．設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為，則關(guān)于X的邊緣概率密度________．，．7．設(shè)X，Y的期望和方差分別為，，，，則X，Y的相關(guān)系數(shù)________．．8．是正態(tài)總體的樣本，則～________．（標(biāo)明參數(shù)）因?yàn)楠?dú)立同分布于，所以～．9．設(shè)某個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?，?dāng)原假設(shè)成立時(shí)，樣本落入的概率是0.1，則犯第一類錯(cuò)誤的概率為________．．10．已知一元線性回歸方程為，且，，則________．已知，由，即，得．三、計(jì)算題1．100張彩票中有7張有獎(jiǎng)，現(xiàn)有甲先乙后各買了一張彩票，試用計(jì)算說明甲、乙兩人中獎(jiǎng)中概率是否相同．解：設(shè)表示“甲中獎(jiǎng)”，表示“乙中獎(jiǎng)”，則，，甲、乙兩人中獎(jiǎng)中概率相同．2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，試求及．解：注意到，，，．四、綜合題1．設(shè)袋中有依次標(biāo)著數(shù)字的6個(gè)球，現(xiàn)從中任取一球，記隨機(jī)變量X為取得的球標(biāo)有的數(shù)字，求：（1）X的分布函數(shù)；（2）的概率分布．解：（1）X的分布律為X123P1/61/61/61/61/3X的分布函數(shù)為；（2）的概率分布為149P1/31/31/32．設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，X～，Y～，，．求：（1）；（2），；（3）．解：（1）；（2），；（3），，，．五、應(yīng)用題按照質(zhì)量要求，某果汁中的維生素含量應(yīng)該超過50（單位：毫克），現(xiàn)隨機(jī)抽取9件同型號的產(chǎn)品進(jìn)行測量，得到結(jié)果如下：45.1，47.6，52.2，46.9，49.4，50.3，44.6，47.5，48.4根據(jù)長期經(jīng)驗(yàn)和質(zhì)量要求，該產(chǎn)品維生素含量服從正態(tài)分布，在下檢驗(yàn)該產(chǎn)品維生素含量是否顯著低于質(zhì)量要求?（，）解：:,:．選用統(tǒng)計(jì)量．已知，，，，，算得，拒絕，該產(chǎn)品維生素含量顯著低于質(zhì)量要求．《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題（二）一、單項(xiàng)選擇題1．設(shè)A與B互為對立事件，且P（A）>0，P（B）>0，則下列各式中錯(cuò)誤的是（A）A．B．P（B|A）=0C．P（AB）=0 D．P（A∪2．設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（AB）>0，則P（A|AB）=（D）A．P（A）B．P（AB）C．P（A|B） D．13．設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[2，4]上服從均勻分布，則P{2<X<3}=（C）A．P{3.5<X<4.5}B．P{1.5<X<2.5}C．P{2.5<X<3.5} D．P{4.5<X<5.5}4．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=則常數(shù)c等于（D）A．-1B．C． D．15．設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為YX01200.10120則P{X=Y}=（A）A．B．C． 6．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則下列各項(xiàng)中正確的是（A）A．E（X）=，D（X）=0.25 B．E（X）=2，D（X）=2C．E（X）=，D（X）= D．E（X）=2，D（X）=47．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的泊松分布，Y~B（8，），且X，Y相互獨(dú)立，則D（X-3Y-4）=（C）A．-13B．15C8．已知D（X）=1，D（Y）=25，ρXY=0.4，則D（X-Y）=（B）A．6B．229．在假設(shè)檢驗(yàn)問題中，犯第一類錯(cuò)誤的概率α的意義是（C）A．在H0不成立的條件下，經(jīng)檢驗(yàn)H0被拒絕的概率B．在H0不成立的條件下，經(jīng)檢驗(yàn)H0被接受的概率C．在H0成立的條件下，經(jīng)檢驗(yàn)H0被拒絕的概率D．在H0成立的條件下，經(jīng)檢驗(yàn)H0被接受的概率10．設(shè)總體X服從[0，2θ]上的均勻分布（θ>0），x1,x2,…,xn是來自該總體的樣本，為樣本均值，則θ的矩估計(jì)=（B）A．B．C． D．二、填空題1．設(shè)事件A與B互不相容，P（A）=，P（B）=0.3，則P（）=.2．一個(gè)盒子中有6顆黑棋子、9顆白棋子，從中任取兩顆，則這兩顆棋子是不同色的概率為18/35.3．甲、乙兩門高射炮彼此獨(dú)立地向一架飛機(jī)各發(fā)一炮，甲、乙擊中飛機(jī)的概率分別為，，則飛機(jī)至少被擊中一炮的概率為0.7.4．20件產(chǎn)品中，有2件次品，不放回地從中接連取兩次，每次取一件產(chǎn)品，則第二次取到的是正品的概率為0.9.5．拋一枚均勻硬幣5次，記正面向上的次數(shù)為X，則P{X≥1}=31/32.6．隨機(jī)變量X的所有可能取值為0和x，且P{X=0}=0.3，E（X）=1，則x=10/7.7．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，則D（2X+1）=4/9.8．設(shè)二維隨機(jī)變量（