概率論與數理統(tǒng)計練習題(含答案)

第一章隨機事件及其概率練習：判斷正誤（1）必然事件在一次試驗中一定發(fā)生，小概率事件在一次試驗中一定不發(fā)生。（B）（2）事件的發(fā)生與否取決于它所包含的全部樣本點是否同時出現。（B）（3）事件的對立與互不相容是等價的。（B）（4）若則。（B）（5）。（B）（6）A,B,C三個事件至少發(fā)生兩個可表示為（A）（7）考察有兩個孩子的家庭孩子的性別，，則P。（B）（8）若，則。（B）（9）n個事件若滿足，則n個事件相互獨立。（B）（10）只有當時，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（A）2.選擇題（1）設A,B兩事件滿足P(AB)=0，則?A.A與B互斥B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0或P(B)=0（2）設A,B為兩事件，則P(A-B)等于(C)A.P(A)-P(B)B.P(A)-P(B)+P(AB)C.P(A)-P(AB)D.P(A)+P(B)-P(AB)（3）以A表示事件“甲種產品暢銷，乙種產品滯銷”，則其對立事件為(D)A.“甲種產品滯銷，乙種產品暢銷”B.“甲乙兩種產品均暢銷”C.“甲種產品滯銷”D.“甲種產品滯銷或乙種產品暢銷”（4）若A,B為兩隨機事件，且，則下列式子正確的是(A)A.P(A∪B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(B-A)=P(B)-P(A)（5）設，則等于(B)A.B.C.D.（6）假設事件A和B滿足P(B|A)=1,則(B)A.A是必然事件B.C.D.（7）設0<P(A)<1，0<P(B)<1,則(D)A.事件A,B互不相容B.事件A和B互相對立C.事件A,B互不獨立D.事件A,B互相獨立三解答題解：由德摩根律有2.甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，命中率分別是0.6和0.5，現已知目標被命中，求它是甲射擊命中的概率。解：設事件3.設一枚深水炸彈擊沉一潛艇的概率為0.6，求釋放4枚深水炸彈能擊沉潛艇的概率。解：4枚深水炸彈只要有一枚射中就有擊沉潛艇的可能，所以設B表示潛艇被擊沉，為第i枚深水炸彈擊沉潛艇。4.某衛(wèi)生機構的資料表明：患肺癌的人中吸煙的占90%，不患肺癌的人中吸煙的占20%。設患肺癌的人占人群的0.1%。求在吸煙的人中患肺癌的概率。解：設A表示吸煙，B表示患肺癌。已知條件為5.設玻璃杯整箱出售，每箱20個，各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客欲購買一箱玻璃杯，由售貨員任取一箱，經顧客開箱隨機查看4只，若無殘次品，則購買，否則不買，求（1）顧客購買此箱玻璃杯的概率。（2）在顧客購買的此箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率。解：參考書上24頁例4第二章隨機變量及其分布練習題：1判斷正誤：概率函數與密度函數是同一個概念。（B）超幾何分布在一定條件下可近似成二項分布。（A）（3）中的是一個常數，它的概率含義是均值。（A）。（B）若的密度函數為=，則（B）2選擇題若的概率函數為設在區(qū)間上，的密度函數，而在之外，，則區(qū)間等于：(A)若(A)三解答題已知一批產品共20個，其中有4個次品，按不放回與有放回兩種抽樣方式抽取6個產品，求抽得的次品數的概率分布。解：不放回抽樣，次品數放回抽樣，次品數設的分布律是求它的分布函數。解：設連續(xù)型隨機變量的分布函數為求（1）常數A的值（2）（3）X的密度函數解：由分布函數的右連續(xù)性，函數的右極限值等于函數值有4設隨機變量X的概率密度函數為，求（1）常數A（2）（3）X的分布函數。解：由密度函數性質有分布函數為：5.電話站為300個電話用戶服務，在一小時內每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，求在一小時內恰有4個用戶使用電話的概率：先用二項分布計算，再用泊松分布近似計算，并求相對誤差。解：，。第三章隨機變量的數字特征練習1判斷正誤：（1）只要是隨機變量，都能計算期望和方差。（B）（2）期望反映的是隨機變量取值的中心位置，方差反映的是隨機變量取值的分散程度。（A）（3）方差越小，隨機變量取值越集中，方差越大越分散。（A）（4）方差的實質是隨機變量函數的期望。（A）（5）對于任意的X,Y，都有成立。（B）（6）若則。（B）2選擇題對于X與Y，若EXY=EXEY，則下列結論不正確的是（A）A.X與Y相互獨立B.X與Y必不相關C.D(X+Y)=DX+DYD.cov(X,Y)=0則的值為（B）兩個獨立隨機變量X和Y的方差分別為4和2，則3X-2Y的方差是（D）A.8B.16C.28D.44若EX，DX存在，則E(DX)，D(EX)的值分別為（C）A.X,XB.DX,EXC.DX,0D.EX,DX3解答題（1）X與Y相互獨立，且EX=EY=1，DX=DY=1，求。解：（2）設X與Y獨立同分布，都服從參數為的泊松分布，設求U與V的相關系數。解：（3）求EY及DY。解：（4）假設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周5個工作日里無故障，可獲利潤10萬元，發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元；發(fā)生二次故障所獲利潤為0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元，求一周內期望利潤是多少？解：設X表示出故障的次數，Y表示利潤。化簡即可。（5）汽車起點站分別于每小時的10分、30分和55分鐘發(fā)車，若乘客不知發(fā)車的時間，在每小時的任一時刻隨機到達車站，求乘客等候時間的數學期望。解：設X表示乘客的到達時間，則Y表示等候時間，第四章正態(tài)分布練習題：判斷題：若則稱為正態(tài)分布的兩個參數，且（B）正態(tài)分布的密度函數是偶函數，其圖象關于軸對稱。（B）正態(tài)分布密度函數的圖象對稱軸由決定，平坦度由決定。（A）（B）若則（B）選擇題：（1）若兩個相互獨立的隨機變量和分別服從正態(tài)分布和，則（B）。（2）已知，則隨的增大，的值（C）。（3）在本門課程中，習慣上用表示標準正態(tài)分布的上側分位數，則（4）若且則3解答題已知求解：某地抽樣調查考生的英語成績（按百分制）計算，近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數的2.3%，求考生的英語成績在分之間的概率。解：設表示考生的英語成績，則，由已知有則即查正態(tài)分布表知所以要求第五章判斷正誤。總體是隨機變量，樣本也是隨機變量，并且它們的概率分布完全相同。（A）樣本來自總體，樣本與樣本，樣本與總體之間都是相互獨立的。（B）統(tǒng)計問題的核心是由樣本估計總體，樣本容量越大，估計越準確。（A）統(tǒng)計量是樣本的函數，但不是所有的統(tǒng)計量都是隨機變量。（B）樣本均值與是相等的。（B）選擇題。（1）為來自總體的一個樣本，已知，未知，則以下是統(tǒng)計量的是（A）（2）為來自總體N（0，1）的一個樣本，分別為樣本均值和樣本方差，則以下不正確的是（B）下列統(tǒng)計量服從分布的是：（D）（4）和是分別來自總體和的樣本，分別是它們的樣本方差，則常數時，統(tǒng)計量服從分布。（5）若則（6）為來自總體的一個樣本，為樣本均值，則（7）設且相互獨立，則（8）設則（C）（9）設則必有（C）第六章參數估計判斷題(1）參數的點估計適用于總體分布已知但參數未知的情形。A2參數的點估計由不用的估計法得到的估計量完全相同。B3同一參數的矩估計量優(yōu)于極大似然估計量。B4無偏估計量的函數未必是無偏估計量。A5同一參數的矩估計量往往不唯一。A6同一參數的兩個估計量方差越小的越有效。B2．選擇題。（1）若1，1，1，0，1，1是來自總體的觀察值，則的矩估計量是（D）（2）是來自總體的一個樣本，且，分別是樣本均值和樣本方差，則必有（D）（3）正態(tài)總體的方差已知，為使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長度不大于，則樣本容量應?。―）總體服從上的均勻分布，未知，是來自總體的一個樣本，則的矩估計量為：（B）總體的分布律為，而1，2，5，7，8是來自的觀察值，則的最大似然估計值為（C）（6）是來自總體的一個樣本，，則以下無偏估計量中（B）最有效。（1）是來自總體的一個樣本，其中總體有密度（i）求未知參數的矩估計量（ii）判斷矩估計量的無偏性（iii）計算估計量的方差解：(i)先求總體的一階原點矩即數學期望（ii），所以該估計量是無偏估計量。（iii）估計量的方差（2）設總體的概率密度為其中是未知參數，分別用矩估計法和極大似然估計法求得估計量。解：矩估計法求解，先求總體期望極大似然估計法：先寫似然函數（3）證明：在所有的無偏估計量中，樣本均值是最有效的。（此題不用掌握）證明：利用柯西-許瓦茲不等式有（4）設，根據來自總體的容量為100的簡單隨機樣本，測得樣本均值為5，求的數學期望的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：顯然此題是在已知總體X的方差條件下求總體期望的95%置信區(qū)間?！陡怕收撆c數理統(tǒng)計》習題（一）一、單項選擇題1．已知，，若事件A與B相互獨立，則（C）A． B． C． D．因為A與B獨立，所以，即，可得．2．對于事件A與B，下列命題正確的是（D）A．如果A,B互不相容，則也互不相容 B．如果，則C．如果，則 D．如果A,B對立，則也對立如果A與B對立，則且，所以與對立（就是B與A對立）．3．每次試驗成功率為（），則在3次重復試驗中至少失敗一次的概率為（B）A． B．C． D．設是試驗成功的次數，則～，所求概率為．4．已知離散型隨機變量X的概率分布如下表所示：X0124則下列概率計算結果正確的是（A）P1/101/51/101/52/5A． B． C． D．5．已知連續(xù)型隨機變量X服從區(qū)間上的均勻分布，則（B）A．0 B． C． D．1X的概率密度為，注意到，6．設的概率分布如下表所示，當X與Y相互獨立時，=（C）YX1012A． B． C． D．，，．由，即，可得；由，即，可得．7．設的聯合概率密度為則（A）A． B． C．1 D．3由，得．8．已知隨機變量X～，則隨機變量的方差為（D）A．1 B．2 C．3 ．9．設X服從參數為0.5的指數分布，用切比雪夫不等式估計（A）A． B． C． D．1，，，由切比雪夫不等式有，即．10．為X的樣本，是的無偏估計，則（B）A． B． C． D．由，即，得，．二、填空題1．設，，則________．由，即，得，所以．2．袋中有5個黑球，3個白球，從中任取的4個球中恰有3個白球的概率為________．．3．在時間內通過某交通路口的汽車數X服從泊松分布，且已知，則在時間內至少有一輛汽車通過的概率為_________．由，即，得，所求概率為．4．某地一年內發(fā)生旱災的概率為，則在今后連續(xù)四年內至少有一年發(fā)生旱災的概率為__________．設為今后連續(xù)四年內發(fā)生旱災的年數，則～，所求概率為．5．設隨機變量的概率分布為YX01201則________．．6．設的聯合分布函數為，則關于X的邊緣概率密度________．，．7．設X，Y的期望和方差分別為，，，，則X，Y的相關系數________．．8．是正態(tài)總體的樣本，則～________．（標明參數）因為獨立同分布于，所以～．9．設某個假設檢驗的拒絕域為，當原假設成立時，樣本落入的概率是0.1，則犯第一類錯誤的概率為________．．10．已知一元線性回歸方程為，且，，則________．已知，由，即，得．三、計算題1．100張彩票中有7張有獎，現有甲先乙后各買了一張彩票，試用計算說明甲、乙兩人中獎中概率是否相同．解：設表示“甲中獎”，表示“乙中獎”，則，，甲、乙兩人中獎中概率相同．2．設隨機變量X的概率密度為，試求及．解：注意到，，，．四、綜合題1．設袋中有依次標著數字的6個球，現從中任取一球，記隨機變量X為取得的球標有的數字，求：（1）X的分布函數；（2）的概率分布．解：（1）X的分布律為X123P1/61/61/61/61/3X的分布函數為；（2）的概率分布為149P1/31/31/32．設隨機變量X，Y相互獨立，X～，Y～，，．求：（1）；（2），；（3）．解：（1）；（2），；（3），，，．五、應用題按照質量要求，某果汁中的維生素含量應該超過50（單位：毫克），現隨機抽取9件同型號的產品進行測量，得到結果如下：45.1，47.6，52.2，46.9，49.4，50.3，44.6，47.5，48.4根據長期經驗和質量要求，該產品維生素含量服從正態(tài)分布，在下檢驗該產品維生素含量是否顯著低于質量要求?（，）解：:,:．選用統(tǒng)計量．已知，，，，，算得，拒絕，該產品維生素含量顯著低于質量要求．《概率論與數理統(tǒng)計》習題（二）一、單項選擇題1．設A與B互為對立事件，且P（A）>0，P（B）>0，則下列各式中錯誤的是（A）A．B．P（B|A）=0C．P（AB）=0 D．P（A∪2．設A，B為兩個隨機事件，且P（AB）>0，則P（A|AB）=（D）A．P（A）B．P（AB）C．P（A|B） D．13．設隨機變量X在區(qū)間[2，4]上服從均勻分布，則P{2<X<3}=（C）A．P{3.5<X<4.5}B．P{1.5<X<2.5}C．P{2.5<X<3.5} D．P{4.5<X<5.5}4．設隨機變量X的概率密度為f(x)=則常數c等于（D）A．-1B．C． D．15．設二維隨機變量（X，Y）的分布律為YX01200.10120則P{X=Y}=（A）A．B．C． 6．設隨機變量X服從參數為2的指數分布，則下列各項中正確的是（A）A．E（X）=，D（X）=0.25 B．E（X）=2，D（X）=2C．E（X）=，D（X）= D．E（X）=2，D（X）=47．設隨機變量X服從參數為3的泊松分布，Y~B（8，），且X，Y相互獨立，則D（X-3Y-4）=（C）A．-13B．15C8．已知D（X）=1，D（Y）=25，ρXY=0.4，則D（X-Y）=（B）A．6B．229．在假設檢驗問題中，犯第一類錯誤的概率α的意義是（C）A．在H0不成立的條件下，經檢驗H0被拒絕的概率B．在H0不成立的條件下，經檢驗H0被接受的概率C．在H0成立的條件下，經檢驗H0被拒絕的概率D．在H0成立的條件下，經檢驗H0被接受的概率10．設總體X服從[0，2θ]上的均勻分布（θ>0），x1,x2,…,xn是來自該總體的樣本，為樣本均值，則θ的矩估計=（B）A．B．C． D．二、填空題1．設事件A與B互不相容，P（A）=，P（B）=0.3，則P（）=.2．一個盒子中有6顆黑棋子、9顆白棋子，從中任取兩顆，則這兩顆棋子是不同色的概率為18/35.3．甲、乙兩門高射炮彼此獨立地向一架飛機各發(fā)一炮，甲、乙擊中飛機的概率分別為，，則飛機至少被擊中一炮的概率為0.7.4．20件產品中，有2件次品，不放回地從中接連取兩次，每次取一件產品，則第二次取到的是正品的概率為0.9.5．拋一枚均勻硬幣5次，記正面向上的次數為X，則P{X≥1}=31/32.6．隨機變量X的所有可能取值為0和x，且P{X=0}=0.3，E（X）=1，則x=10/7.7．設隨機變量X服從參數為3的指數分布，則D（2X+1）=4/9.8．設二維隨機變量（