小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)36講(上)

第1講計(jì)算綜合〔一〕繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，涉及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的定義新運(yùn)算問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)的計(jì)算問(wèn)題．1．繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算必須注意多級(jí)分?jǐn)?shù)的處理，如下所示：甚至可以簡(jiǎn)單地說(shuō)：“先算短分?jǐn)?shù)線的，后算長(zhǎng)分?jǐn)?shù)線的〞．找到最長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)線，將其上視為分子，其下視為分母．2．一般情況下進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘、除運(yùn)算使用真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，而不使用帶分?jǐn)?shù)．所以需將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)．3．某些時(shí)候?qū)⒎謹(jǐn)?shù)線視為除號(hào)，可使繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算更加直觀．4．對(duì)于定義新運(yùn)算，我們只需按題中的定義進(jìn)行運(yùn)算即可．5．本講要求大家對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算有很好的掌握，可參閱《思維導(dǎo)引詳解》五年級(jí)[第1講循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)]．1．計(jì)算：【分析與解】原式=2．計(jì)算：【分析與解】注意，作為被除數(shù)的這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子、分母均含有．于是，我們想到改變運(yùn)算順序，如果分子與分母在后的兩個(gè)數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果一致，那么作為被除數(shù)的這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的值為1；如果不一致，也不會(huì)增加我們的計(jì)算量．所以我們決定改變作為被除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序．而作為除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)，我們注意兩個(gè)加數(shù)的分母相似，于是統(tǒng)一通分為1995×0.5．具體過(guò)程如下：原式=====3．計(jì)算：【分析與解】原式===4．計(jì)算：=，那么x等于多少?【分析與解】方法一：交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．方法二：有，所以；所以，那么．5．求這10個(gè)數(shù)的和．【分析與解】方法一：=====.方法二：先計(jì)算這10個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字和為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十位數(shù)字和為4×9=36，加上個(gè)位的進(jìn)位的3，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百位數(shù)字和為4×8=32，加上十位的進(jìn)位的3，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的千位數(shù)字和為4×7=28，加上百位的進(jìn)位的3，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的萬(wàn)位數(shù)字和為4×6=24，加上千位的進(jìn)位的3，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十萬(wàn)位數(shù)字和為4×5=20，加上萬(wàn)位的進(jìn)位的2，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百萬(wàn)位數(shù)字和為4×4=16，加上十萬(wàn)位的進(jìn)位的2，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的千萬(wàn)位數(shù)字和為4×3=12，加上百萬(wàn)位的進(jìn)位的1，為；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的億位數(shù)字和為4×2=8，加上千萬(wàn)位的進(jìn)位的1，為；最后計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十億位數(shù)字和為4×1=4，加上億位上沒(méi)有進(jìn)位，即為．所以，這10個(gè)數(shù)的和為4938271591．6.如圖1-1，每一線段的端點(diǎn)上兩數(shù)之和算作線段的長(zhǎng)度，那么圖中6條線段的長(zhǎng)度之和是多少?【分析與解】因?yàn)槊總€(gè)端點(diǎn)均有三條線段通過(guò)，所以這6條線段的長(zhǎng)度之和為：7.我們規(guī)定，符號(hào)“○〞表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：3．5○=○=．符號(hào)“△〞表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：△=△=．請(qǐng)計(jì)算：【分析與解】原式8．規(guī)定〔3〕=2×3×4，〔4〕=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果，那么方框內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是多少?【分析與解】=.9．從和式中必須去掉哪兩個(gè)分?jǐn)?shù)，才能使得余下的分?jǐn)?shù)之和等于1?【分析與解】因?yàn)?，所?,,的和為l，因此應(yīng)去掉與.10．如圖1-2排列在一個(gè)圓圈上10個(gè)數(shù)按順時(shí)針次序可以組成許多個(gè)整數(shù)局部是一位的循環(huán)小數(shù)，例如1.892915929．那么在所有這種數(shù)中。最大的一個(gè)是多少?【分析與解】有整數(shù)局部盡可能大，十分位盡可能大，那么有92918……較大，于是最大的為．11．請(qǐng)你舉一個(gè)例子，說(shuō)明“兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的和可以是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，而且這三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母誰(shuí)也不是誰(shuí)的約數(shù)〞.【分析與解】有，，評(píng)注：此題實(shí)質(zhì)可以說(shuō)是尋找孿生質(zhì)數(shù)，為什么這么說(shuō)呢?注意到，當(dāng)時(shí)，有．當(dāng)a、b、c兩兩互質(zhì)時(shí)，顯然滿足題意．顯然當(dāng)a、b、c為質(zhì)數(shù)時(shí)一定滿足，那么兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于另一個(gè)質(zhì)數(shù)，必定有一個(gè)質(zhì)數(shù)為2，不妨設(shè)a為2，那么有，顯然b、c為一對(duì)孿生質(zhì)數(shù)．即可得出一般公式：，c與c+2均為質(zhì)數(shù)即可.12．計(jì)算：【分析與解】原式=====.13．.問(wèn)a的整數(shù)局部是多少？【分析與解】===.因?yàn)椋妓裕?同時(shí)＞所以a＞.綜上有＜a＜．所以a的整數(shù)局部為101．14．問(wèn)與相比，哪個(gè)更大，為什么?【分析與解】方法一：令，，有.而B(niǎo)中分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的都比A中的分?jǐn)?shù)大，那么它們的乘積也是B＞A，有A×A＜4×B＜，所以有A×A＜，那么A＜．即與相比，更大．方法二：設(shè)，那么=，顯然、、、…、、都是小于1的，所以有A2＜，于是A＜.15．下面是兩個(gè)1989位整數(shù)相乘：．問(wèn)：乘積的各位數(shù)字之和是多少?【分析與解】在算式中乘以9，再除以9，那么結(jié)果不變．因?yàn)槟鼙?整除，所以將一個(gè)乘以9，另一個(gè)除以9，使原算式變成：===得到的結(jié)果中有1980÷9=220個(gè)“123456790〞和“987654320〞及一個(gè)“12345678〞和一個(gè)“987654321〞，所以各位數(shù)之和為：+評(píng)注：111111111÷9=12345679；M×的數(shù)字和為9×k．(其中M≤)．可以利用上面性質(zhì)較快的獲得結(jié)果．第2講計(jì)算綜合〔二〕本講主要是補(bǔ)充[計(jì)算綜合(I)]未涉及和涉及不深的問(wèn)題，但不包括多位數(shù)的運(yùn)算．1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3；2．從1開(kāi)始連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的平方和的計(jì)算公a式：3．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．a(chǎn)=試比擬a、b的大小.【分析與解】其中A=99,B=99+因?yàn)锳<B，所以98+>98+，所以有a<b．的和？【分析與解】記那么題目所要求的等式可寫(xiě)為：而所以原式的和為1．評(píng)注：上面補(bǔ)充的兩例中表達(dá)了遞推和整體思想．試求1+2+3+4+…4+100的值?【分析與解】方法一：利用等差數(shù)列求和公式，(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2=(1+100)×100÷2=5050．方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+…97+98+99+100100+99+98+97+96+…4+3+2+1,上下兩個(gè)數(shù)相加都是101，并且有100組，所以兩倍原式的和為101×100，那么原式的和為10l×100÷2=5050．方法三：整數(shù)裂項(xiàng)(重點(diǎn))，原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2====5050.試求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100．【分析與解】方法一：整數(shù)裂項(xiàng)原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n2=原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99=12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99==328350+4950=333300．5．計(jì)算以下式子的值：0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0【分析與解】這個(gè)題看上去是一個(gè)關(guān)于小數(shù)的問(wèn)題，實(shí)際上我們可以先把它們變成整數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算．即先計(jì)算1×3+24+3×5+46+…+9799+98×100。再除以100．方法一：再看每一個(gè)乘法算式中的兩個(gè)數(shù)，都是差2，于是我們?nèi)菀紫氲搅秧?xiàng)的方法．0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×100)÷100=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+…+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100=[(1×2+2×3+3×4+4×5+…+97×98+98×99)+(1+2+3+4+…+97+98)]÷100=(×98×99×100+×98×99)÷100=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8×10.0=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×l00)÷100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)÷100=(11+22+32+42+52+…+992-99)÷100=(×99×100×199-99)÷100=16.5×199-0.99=16.5×200--0.99=3282.51評(píng)注：首先，我們要清楚數(shù)與數(shù)之間是相通的，小數(shù)的計(jì)算與整數(shù)的計(jì)算是有聯(lián)系的．下面簡(jiǎn)單介紹一下整數(shù)裂項(xiàng)．1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×n=×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+(n-1)×n×3]=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+…+(n-1)×n[n+1-(n-2)]}==6.計(jì)算以下式子的值：【分析與解】雖然很容易看出可是再仔細(xì)一看，并沒(méi)有什么效果，因?yàn)檫@不像分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng)．我們?cè)賮?lái)看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式12+22+32+…+n2=×n×(n+1)×(2n+1)，于是我們又有減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng)，減號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個(gè)對(duì)一個(gè)〞呢?=======7．計(jì)算以下式子的值：【分析與解】顯然直接求解難度很大，我們?cè)囍纯词欠翊嬖谶f推的規(guī)律.顯然12+1=2;所以原式=198012×2=396024．習(xí)題計(jì)算17×18+18×19+19×20+…+29×30的值．提示：可有兩種方法，整數(shù)裂項(xiàng)，利用1到n的平方和的公式.答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.第3講多位數(shù)的運(yùn)算多位數(shù)的運(yùn)算，涉及利用＝10k-1，提出公因數(shù)，遞推等方法求解問(wèn)題．一、＝10k-1的運(yùn)用在多位數(shù)運(yùn)算中，我們往往運(yùn)用＝10k-1來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題；如：×59049我們把轉(zhuǎn)化為÷3，于是原式為×59049=〔÷3〕×59049=×59049=〔-1〕×19683=19683×-19683而對(duì)于多位數(shù)的減法，我們可以列個(gè)豎式來(lái)求解；+1如：，于是為．簡(jiǎn)便計(jì)算多位數(shù)的減法，我們改寫(xiě)這個(gè)多位數(shù)．原式=×2×3×3×=×2×3×=×〔-1〕=×-=,于是為.2．計(jì)算－=A×A，求A．【分析與解】此題的顯著特征是式子都含有，從而找出突破口.－=－=×〔-1〕=×〔〕=×〔×3×3〕=A2所以，A＝.3．計(jì)算××25的乘積數(shù)字和是多少?【分析與解】我們還是利用=來(lái)簡(jiǎn)便計(jì)算，但是不同于上式的是不易得出湊成，于是我們就創(chuàng)造條件使用：××25=[×〔〕]×[×〔〕+1]×25=[×〔〕]×[×〔〕+1]×25=××[2×-2]×[2×〔〕+1]×25=×[4×-2×-2]=×-×=100×-50×=(求差過(guò)程詳見(jiàn)評(píng)注)=所以原式的乘積為那么原式乘積的數(shù)字和為1×2004+5×2004=12024．評(píng)注：對(duì)于的計(jì)算，我們?cè)僭敿?xì)的說(shuō)一說(shuō)．====4．計(jì)算的積?【分析與解】我們先還是同上例來(lái)湊成；＝＝＝＝＝(求差過(guò)程詳見(jiàn)評(píng)注)我們知道能被9整除，商為：049382716．又知1997個(gè)4，9個(gè)數(shù)一組，共221組，還剩下8個(gè)4，那么這樣數(shù)字和為8×4=32,加上后面的3，那么數(shù)字和為35，于是再加上2個(gè)5，數(shù)字和為45，可以被9整除．能被9整除，商為04938271595；我們知道能被9整除，商為：061728395；這樣9個(gè)數(shù)一組，共221組，剩下的1995個(gè)5還剩下6個(gè)5，而6個(gè)5和1個(gè)、6，數(shù)字和36，可以被9整除．能被9整除，商為0617284．于是，最終的商為：評(píng)注：對(duì)于-計(jì)算，我們?cè)僭敿?xì)的說(shuō)一說(shuō)．-＝+1-＝+1＝.二、提出公因式有時(shí)涉及乘除的多位數(shù)運(yùn)算時(shí)，我們往往需提出公因式再進(jìn)行運(yùn)算，并且往往公因式也是和式或者差式等．…〕÷…〕×1999【分析與解】＝1998×原式＝1998〔1+10001+100010001+…〕÷［1999×〔1+10001+100010001+…〕］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.6．試求1993×123×999999乘積的數(shù)字和為多少?【分析與解】我們可以先求出1993×123的乘積，再計(jì)算與(1000000—1)的乘積，但是1993×123還是有點(diǎn)繁瑣．設(shè)1993×123=M，那么(1000×123＝)123000<M<(2000×123=)246000，所以M為6位數(shù)，并且末位不是0；令M＝那么M×999999＝M×〔1000000-1〕＝1000000M-M＝-＝+1－＝+1＝那么這個(gè)數(shù)的數(shù)字和為：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54．所以原式的計(jì)算結(jié)果的數(shù)字和為54．評(píng)注：M×的數(shù)字和為9×k．(其中M的位數(shù)為x，且x≤k)．7．試求9×99×9999×99999999×…×××乘積的數(shù)字和為多少?【分析與解】通過(guò)上題的計(jì)算，由上題評(píng)注：設(shè)9×99×9999×99999999×…×××＝M，于是M×類似的情況，于是，確定好M的位數(shù)即可；注意到9×99×9999×99999999×…××＝M，那么M<10×100×100013×100000000×…××＝其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023；即M<，即M最多為1023位數(shù)，所以滿足的使用條件，那么M與乘積的數(shù)字和為1024×9=10240—1024=9216．原式的乘積數(shù)字和為9216．三、遞推法的運(yùn)用有時(shí)候，對(duì)于多位數(shù)運(yùn)算，我們甚至可以使用遞推的方法來(lái)求解，也就是通常的找規(guī)律的方法．8．我們定義完全平方數(shù)A2=A×A，即一個(gè)數(shù)乘以自身得到的數(shù)為完全平方數(shù)；：【分析與解】我們不易直接求解，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來(lái)求解：121＝112；12321＝1112；1234321＝11112……于是，我們歸納為1234…n…4321=〔〕222×72=77777772．所以，題中原式乘積為7777777的平方．評(píng)注：以上歸納的公式1234…n…4321＝〔〕2，只有在n<10時(shí)成立．9.①=A2，求A為多少?②求是否存在一個(gè)完全平方數(shù)，它的數(shù)字和為2005？【分析與解】方法一：?jiǎn)栴}①直接求解有點(diǎn)難度，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來(lái)求解：①注意到有可以看成，其中n＝2004；尋找規(guī)律：當(dāng)n=1時(shí)，有49=72；當(dāng)n=2時(shí)，有4489=672；當(dāng)n=3時(shí)，有444889=6672；…………于是，類推有=方法二：下面給出嚴(yán)格計(jì)算：=++1；那么++1＝×〔4×+8〕+1＝×［4×〔+1〕+8］+1＝×［4×〔〕+12］+1＝〔〕2×36+12×+1＝〔〕2×62+2×〔6×〕+1＝〔〕2②由①知＝，于是數(shù)字和為(4n+8n一8+9)=12n+1=2005；于是，n=167，所以=，所以存在，并且為.10．計(jì)算×9×的乘積是多少?【分析與解】采用遞推的方法6×9×3=162；66×9×33=19602；666×9×333=1996002；…………于是，猜測(cè)×9×=×9×=評(píng)注：我們與題l比照，發(fā)現(xiàn)題1為×9×3×使用遞推的方法就有障礙,=10k—l這種方法適用面要廣泛一點(diǎn)．練習(xí)1．設(shè)N=×9×，那么N的各位數(shù)字之和為多少?練習(xí)2．乘積×的積是多少?各位數(shù)字之和又是多少?練習(xí)3．試求×的各位數(shù)字之和是多少?第4講比例和百分?jǐn)?shù)本錢(qián)、利潤(rùn)、價(jià)格等根本經(jīng)濟(jì)術(shù)語(yǔ)，以及它們之間的關(guān)系．各種數(shù)據(jù)或所求結(jié)果中包含比例與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題，有時(shí)恰中選取較小的量作為一個(gè)單位，司以實(shí)現(xiàn)整數(shù)化計(jì)算．1．迎春農(nóng)機(jī)廠方案生產(chǎn)一批插秧機(jī)，現(xiàn)已完成方案的56％，如果再生產(chǎn)5040臺(tái)，總產(chǎn)量就超過(guò)方案產(chǎn)量的16％．那么，原方案生產(chǎn)插秧機(jī)多少臺(tái)?【分析與解】:5040÷(1+16％-56％)=8400(臺(tái))．2．圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是4：3，20支圓珠筆和21支鉛筆共用71．5元．問(wèn)圓珠筆的單價(jià)是每支多少元?【分析與解】:設(shè)圓珠筆的價(jià)格為4，那么鉛筆的價(jià)格為3，那么20支圓珠筆和21支鉛筆的價(jià)格為20×4+21×3=143，那么單位“1〞的價(jià)格為71.5÷143：0.5元．所以圓珠筆的單價(jià)是O.5×4=2(元)．3．李大娘把養(yǎng)的雞分別關(guān)在東、西兩個(gè)院內(nèi)．東院養(yǎng)雞40只；現(xiàn)在把西院養(yǎng)雞總數(shù)的賣給商店，賣給加工廠，再把剩下的雞與東院全部的雞相加，其和恰好等于原來(lái)東、西兩院養(yǎng)雞總數(shù)的50％.原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞多少只?【分析與解】：方法一：設(shè)原來(lái)東西兩院一共養(yǎng)雞只，那么西院養(yǎng)雞只．依題意：．,解出.即原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞280只．方法二：50％即，東、西兩院剩下的雞等于東院的加上西院的，即20+西院原養(yǎng)雞數(shù)．有東院剩下40只雞，西院剩下原的雞．所以有西院原養(yǎng)雞(40—20)÷=240只，即原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞40+240=280只．4．用一批紙裝訂一種練習(xí)本．如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40％；如果裝訂了185本，那么還剩下1350張紙．這批紙一共有多少?gòu)?【分析與解】方法一：裝訂120本，剩下40％的紙，即用了60％的紙．那么裝訂185本，需用185×(60％÷120)=92．5％的紙，即剩下1-92．5％=7．5％的紙，為1350張．所以這批紙共有1350÷7．5％=18000張．方法二：120本對(duì)應(yīng)(1-40％=)60％的總量，那么總量為120÷60％=200本．當(dāng)裝訂了185本時(shí)，還剩下200-185：15本未裝訂，對(duì)應(yīng)為1350張，所以每本需紙張：1350÷15=90張，那么200本需200×90=18000張．即這批紙共有18000張．5．有男女同學(xué)325人，新學(xué)年男生增加25人，女生減少5％，總?cè)藬?shù)增加16人．那么現(xiàn)有男同學(xué)多少人?【分析與解】男生增加25人，女生減少5％，而總?cè)藬?shù)增加了16人，說(shuō)明女生減少了25-16=9人，那么女生原來(lái)有9÷5％=180人，那么男生有325-180=145人．增加25人后為145+25=170人，所以現(xiàn)有男同學(xué)170人．6．有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25％那么，這堆糖果中有奶糖多少塊?【分析與解】方法一：原來(lái)奶糖占，后來(lái)占，因此后來(lái)的糖果數(shù)是奶糖的4倍，也比原來(lái)糖果多16粒，從而原來(lái)的糖果是16+(1)=20塊.其中奶糖有20×=9塊．方法二：原來(lái)奶糖與其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,設(shè)奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份．現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27,奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16塊，所以，l份即1塊．奶糖占9份，就是9塊奶糖．7．甲乙兩包糖的重量比是4：l，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲乙兩包糖的重量比變?yōu)?：5．那么兩包糖重量的總和是多少克?【分析與解】?jī)砂菙?shù)量的總數(shù)是克.8．有假設(shè)干堆圍棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，且每堆中自子都占28％．小明從某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，現(xiàn)在，在所有的棋子中，白子將占32％．那么，共有棋子多少堆?【分析與解】方法一：設(shè)有堆棋子，每堆有棋子“1〞．根據(jù)拿走黑子白子總數(shù)不變．列方程得×32％，化簡(jiǎn)得28=32(-)，兩邊同除以4，得7=8(-)，解得=4．即共有棋子4堆．方法二：注意到所有棋子中的白子個(gè)數(shù)前后不變，所以設(shè)白子數(shù)為“1〞．那么有：．黑子變化了，對(duì)應(yīng)為堆；所以對(duì)應(yīng)l堆．而開(kāi)始共有棋子l+，所以共有堆．9．幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生．大班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3，中班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1，那么大班有女生多少名?【分析與解】設(shè)大班女生有名，那么中班女生有(18-)名．根據(jù)男生數(shù)可列出方程：×+(18-)×=32，解得=12．所以大班有女生12名．10．某校四年級(jí)原有2個(gè)班，現(xiàn)在要重新編為3個(gè)班，將原一班的號(hào)與原二班的丟組成新一班，將原一班的{與原二班的吉組成新二班，余下的30人組成新三班．如果新一班的人數(shù)比新二班的人數(shù)多10％，那么原一班有多少人?【分析與解】有新三班的為原一、二班總?cè)藬?shù)的1-，為30人．所以原來(lái)兩班總?cè)藬?shù)是：30÷=72(人)．那么新一班與新二班人數(shù)總和是72-30=42(人)．現(xiàn)在再把新二班人數(shù)算作1份．新一班人數(shù)=42=22(人)，新二班人數(shù)=42-22=20(人)．(原一班人數(shù))-(原二班人數(shù))=(22-20)÷=2×12=24(人)．原一班人數(shù)=(72+24)÷2=48(人)．11．有兩包糖，每包糖內(nèi)裝有奶糖、水果糖和巧克力糖．：①第一包糖的粒數(shù)是第二包糖的；②在第一包糖中，奶糖占25％，在第二包糖中，水果糖占50％；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的兩倍．當(dāng)兩包糖合在一起時(shí)，巧克力糖占28％，那么水果糖所占百分比等于多少?【分析與解】表述1：設(shè)第一包有2粒糖，那么第二包有3粒糖，設(shè)第二包有3粒巧克力糖，那么第一包有4粒巧克力糖．28％，所以×28％=20％．于是第一包中，巧克力糖占=40％，水果糖占1-40％-25％=35％．在兩包糖總粒數(shù)中，水果糖占44％．表述2：設(shè)第一包糖總數(shù)為“2〞，那么第二包糖總數(shù)為“3〞，并設(shè)第一包糖含有巧克力糖2c，第二包糖含有巧克力糖c．那么有2×2c+3×c=28％×(2+3)，有7c=140％，所以c=20％，那么有如下所示的每種糖所占的百分?jǐn)?shù)．所以水果糖占總數(shù)的(35％×2+50％×3)÷(2+3)=44％．12．某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)．：①甲、乙兩校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)相等：⑦甲校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的比為5:6；③甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)總和占兩校獲獎(jiǎng)人數(shù)總和的20％；④甲校獲三等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)人數(shù)的50％；⑤甲校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)是乙校獲二等獎(jiǎng)人數(shù)的4.5倍．那么，乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少?【分析與解】表述1：不妨設(shè)甲校有60人獲獎(jiǎng)，由①、②，乙校有50人獲獎(jiǎng)．由③知兩校獲二等獎(jiǎng)的共有(60+50)×20％=22人；由⑤知甲校獲二等獎(jiǎng)的有22÷(4.5+1)×4.5=18人；由④知甲校獲一等獎(jiǎng)的有60-60×50％-18=12人，從而所求百分?jǐn)?shù)等于12÷50×100％=24％．表述2：(這有一個(gè)“5〞)1.2÷5×100％=24％，即乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的24％．13．①某校畢業(yè)生共有9個(gè)班，每班人數(shù)相等．②一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè)班的女生總數(shù)多1；③四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男生總數(shù)多1．那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少?【分析與解】表述1：由②知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1．③知，四至九班的男生總數(shù)比七、八、九班總?cè)藬?shù)少1．因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、七、八、九共五個(gè)班的人數(shù)，那么女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)．所以，男、女生之比是5：4．表述2：．有“一、二、三班男生〞加上“四、五、六、七、八、九班男生〞即為一至九班全體男生數(shù)，恰為“二、三班總?cè)藬?shù)〞加上“四、五、六班總?cè)藬?shù)〞，即為五個(gè)班總?cè)藬?shù)，那么女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)．所以，男、女生之比是5：4．14．某商品按原定價(jià)出售，每件利潤(rùn)為本錢(qián)的25％；后來(lái)按原定價(jià)的90％出售，結(jié)果每天售出的件數(shù)比降價(jià)前增加了1．5倍．問(wèn)后來(lái)每天經(jīng)營(yíng)這種商品的總利潤(rùn)比降價(jià)前增加了百分之幾?【分析與解】設(shè)這種商品的本錢(qián)為“1〞，共賣出商品“1〞，那么利潤(rùn)為25％，總利潤(rùn)為0．25，定價(jià)為1．25．那么按原定價(jià)的90％出售，即以1.25×90％=1.125的價(jià)格出售，現(xiàn)在銷售的件數(shù)比原來(lái)增加了1.5倍，利潤(rùn)為0.125×(1.5+1)=O.3125，而原來(lái)的總利潤(rùn)為O.25，現(xiàn)在增加了0.3125一O.25=0.0625，0.0625÷0.25：25％．所以，后來(lái)每天經(jīng)營(yíng)這種商品的總利潤(rùn)比降價(jià)前增加了25％．15．贏利百分?jǐn)?shù)=某電子產(chǎn)品去年按定價(jià)的80％出售，能獲得20％的贏利；由于今年買(mǎi)入價(jià)降低，按同樣定價(jià)的75％出售，卻能獲得25％的贏利．那么是多少?【分析與解】根據(jù)題中給出的公式知：贏利百分?jǐn)?shù)×買(mǎi)入價(jià)=賣出價(jià)一買(mǎi)入價(jià)那么買(mǎi)入價(jià)×(贏利百分?jǐn)?shù)+1)=賣出價(jià)，那么買(mǎi)入價(jià)=＝＝＝第5講比和比例兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比．一、比和比例的性質(zhì)性質(zhì)1：假設(shè)a:b=c：d，那么(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；性質(zhì)2：假設(shè)a:b=c：d，那么(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；性質(zhì)3：假設(shè)a:b=c：d，那么(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x為常數(shù))性質(zhì)4：假設(shè)a:b=c：d，那么a×d=b×c；(即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積)正比例：如果a÷b=k(k為常數(shù))，那么稱a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k為常數(shù))，那么稱a、b成反比．二、比和比例在行程問(wèn)題中的表達(dá)在行程問(wèn)題中，因?yàn)橛兴俣?，所以：當(dāng)一組物體行走速度相等，那么行走的路程比等于對(duì)應(yīng)時(shí)間的反比；當(dāng)一組物體行走路程相等，那么行走的速度比等于對(duì)應(yīng)時(shí)間的反比；當(dāng)一組物體行走時(shí)間相等，那么行走的速度比等于對(duì)應(yīng)路程的正比．1．A和B兩個(gè)數(shù)的比是8：5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個(gè)數(shù)．【分析與解】方法一：設(shè)A為8x，那么B為5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A為136，B為85．方法二：因?yàn)闇p少的數(shù)相同，所以前后A、B的差不變，開(kāi)始時(shí)差占3份，后來(lái)差占1份且與B一樣多，也就是說(shuō)減少的34，占開(kāi)始的3-1=2份，所以開(kāi)始的1份為34÷2=17，所以A為17×8=136，B為17×5=85．2．近年來(lái)火車大提速，1427次火車自北京西站開(kāi)往安慶西站，行駛至全程的再向前56千米處所用時(shí)間比提速前減少了60分鐘，而到達(dá)安慶西站比提速前早了2小時(shí)．問(wèn)北京西站、安慶西站兩地相距多少千米?【分析與解】設(shè)北京西站、安慶西站相距多少千米？(x+56)：x=60：120，即(x+56)：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232．即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米，3．兩座房屋A和B各被分成兩個(gè)單元．假設(shè)干只貓和狗住在其中．：A房第一單元內(nèi)貓的比率(即住在該單元內(nèi)貓的數(shù)目與住在該單元內(nèi)貓狗總數(shù)之比)大于B房第一單元內(nèi)貓的比率；并且A房第二單元內(nèi)貓的比率也大于B房第二單元內(nèi)貓的比率．試問(wèn)是否整座房屋A內(nèi)貓的比率必定大于整座房屋B內(nèi)貓的比率?【分析與解】如下表給出的反例指出：對(duì)所提出問(wèn)題的回容許該是否認(rèn)的．表中具體寫(xiě)出了各個(gè)單元及整座房屋中的寵物情況和貓占寵物總數(shù)的比率．4．家禽場(chǎng)里雞、鴨、鵝三種家禽中公籬與母籬數(shù)量之比是2：3，雞、鴨、鵝數(shù)量之比是8：7：5，公雞、母雞數(shù)量之比是1：3，公鴨、母鴨數(shù)量之比是3：4．試求公鵝、母鵝的數(shù)量比．【分析與解】公雞占家禽場(chǎng)家禽總數(shù)的=，母雞占總數(shù)的；公鴨占總數(shù)的，母鴨占總數(shù)的；公鵝占總數(shù)的，母鵝占總數(shù)的，公鵝、母鵝數(shù)量之比為：3：2．5．在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹(shù)立有1根走子，其影子的前端正好到達(dá)階梯的第3階(箭頭)．另外，此時(shí)樹(shù)立l根長(zhǎng)70cm自桿子，其影子的長(zhǎng)度為175cm，設(shè)階梯各階的高度與深度都是50cm，求柱子的高度為多少？【分析與解】70cm的桿子產(chǎn)生影子的長(zhǎng)度為175cm;所以影子的長(zhǎng)度與桿子的長(zhǎng)度比為：175：70=2.5倍．于是，影子的長(zhǎng)度為6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以桿子的長(zhǎng)度為11.25÷2.5=4.5m．6．三種混合物由三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和B，重量比為3：5；第二種只含成分B和C，重量比為I：2；第三種只含成分A和C，重量之比為2：3．以什么比例取這些混合物，才能使所得的混合物中A，B和C，這三種成分的重量比為3：5：2?【分析與解】注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混合物的A、B重量比相同，均為3：5.所以，先將第二種、第三種混合物的A、B重量比調(diào)整到3：5，再將第二種、第三種混合物中A、B與第一種混合物中A、B視為單一物質(zhì).第二種混合物不含A，第三種混合物不含B，所以1.5倍第三種混合物含A為3，5倍第二種混合物含B為5，即第二種、第三種混合物的重量比為5：1.5．于是此時(shí)含有C為5×2+1.5×3=14.5，在最終混合物中C的含量為3A／5B含量的2倍．有14.5÷2-1=6.25，所以含有第一種混合物6.25．即第一、二、三這三種混合物的比例為6.25：5：1.5=25：20：6．7．現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣天數(shù)完成同樣的工作；假設(shè)將男工人數(shù)和女工人數(shù)對(duì)調(diào)一下，那么全體男25天完成的工作，全體女工需36天才能完成，問(wèn)：男、女工各多少人?【分析與解】直接設(shè)出男、女工人數(shù)，然后在通過(guò)方程求解，過(guò)程會(huì)比擬繁瑣．設(shè)開(kāi)始男工為“1〞，此時(shí)女工為“k〞，有1名男工相當(dāng)k名女工．男工、女工人數(shù)對(duì)調(diào)以后，那么男工為“k〞，相當(dāng)于女工“k2〞，女工為“I〞．有k2：1=36：25，所以k=．于是，開(kāi)始有男工數(shù)為×1100=500人，女工600人．8．有甲乙兩個(gè)鐘，甲每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢5分鐘，而乙每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快5分鐘，在3月15日的零點(diǎn)零分的時(shí)候兩鐘正好對(duì)準(zhǔn)．假設(shè)在某一時(shí)刻，乙鐘和甲鐘時(shí)針與分針都分別重合，且在從3月15日開(kāi)始到這個(gè)時(shí)候，乙鐘時(shí)針與分針重合的次數(shù)比甲鐘多10次，那么這個(gè)時(shí)候的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少?【分析與解】標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘每隔分鐘重合一次．假設(shè)經(jīng)歷了x分鐘．于是，甲鐘每隔分鐘重合一次，甲鐘重合了×x次；同理，乙鐘重合了×x次；于是，需要乙鐘比甲鐘多重合×x-×x=×x=10;所以，x=24×60；所以要經(jīng)歷24×60×65分鐘，那么為天.于是為65天小時(shí)分鐘．9．一隊(duì)和二隊(duì)兩個(gè)施工隊(duì)的人數(shù)之比為3：4，每人工作效率之比為5：4，兩隊(duì)同時(shí)分別接受兩項(xiàng)工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果二隊(duì)比一隊(duì)早完工9天．后來(lái)，由一隊(duì)工人與二隊(duì)工人組成新一隊(duì)，其余的工人組成新二隊(duì)．兩支新隊(duì)又同時(shí)分別接受兩項(xiàng)工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果新二隊(duì)比新一隊(duì)早完工6天．試求前后兩次工程的工作量之比?【分析與解】一隊(duì)與二隊(duì)的工作效率之比為：(3×5)：(4×4)=15：16．一隊(duì)干前一個(gè)工程需9÷=144天．新一隊(duì)與新二隊(duì)的工作效率之比為：新一隊(duì)干后一個(gè)工程需6÷=282天．一隊(duì)與新一隊(duì)的工作效率之比為所以一隊(duì)干后一個(gè)工程需282×天．前后兩次工程的工作量之比是144：(282×)=(144×45)：(282×46)=540：1081.第6講工程問(wèn)題多人完成工作、水管的進(jìn)水與排水等類型的應(yīng)用題．解題時(shí)要經(jīng)常進(jìn)行工作時(shí)間與工作效率之間的轉(zhuǎn)化．1．甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)司以完成任務(wù)．如果甲單獨(dú)加工，便需要12小時(shí)完成．現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個(gè)零件才完成任務(wù)．問(wèn)乙一共加工零件多少個(gè)?【分析與解】乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工－=.甲調(diào)出后，剩下工作乙需做(8—2)×(÷)=(小時(shí))，所以乙每小時(shí)加工零件420÷=25個(gè)，那么2小時(shí)加工2×25=60(個(gè))，因此乙一共加工零件60+420＝480(個(gè))．2．某工程先由甲單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成．如果由甲、乙兩人合作，需48天完成．現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么還需做多少天?【分析與解】由右表知，甲單獨(dú)工作15天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作20天，也就是甲單獨(dú)工作3天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作4天．所以，甲單獨(dú)工作63天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作63÷3×4=84天，即乙單獨(dú)工作84+28=112天即可完成這項(xiàng)工程．現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作42÷3×4=56天，即乙還需單獨(dú)工作112—56=56天即可完成這項(xiàng)工程．3．有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)獨(dú)修需15天．現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中間甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完．當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了多少天才完成?【分析與解】甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)合修的工作效率為++=，那么它們6天完成的工程量為×6=，而實(shí)際上因?yàn)橹型境烦黾钻?duì)6天完成了的工程量為1．所以－1=是因?yàn)榧钻?duì)的中途撤出造成的，甲隊(duì)需÷=5(天)才能完成的工程量，所以甲隊(duì)在6天內(nèi)撤出了5天．所以，當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了5天才完成．4．一件工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成，甲隊(duì)做3天后乙隊(duì)做2天恰好完成一半．現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做假設(shè)干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等，那么共用了多少天?【分析與解】甲隊(duì)做6天完成一半，甲隊(duì)做3天乙隊(duì)做2天也完成一半。所以甲隊(duì)做3天相當(dāng)于乙隊(duì)做2天．即甲的工作效率是乙的，從而乙單獨(dú)做12×=8(天)完成，所以兩段所用時(shí)間相等，每段時(shí)間應(yīng)是：8÷(1+l+)＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)．5．抄一份書(shū)稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成？【分析與解】甲、乙、丙合抄一天完成書(shū)稿的，又甲每天抄寫(xiě)量等于乙、丙兩人每天抄寫(xiě)量之和，因此甲兩天抄寫(xiě)書(shū)稿的，即甲每天抄寫(xiě)書(shū)稿的；由于丙抄寫(xiě)5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫(xiě)書(shū)稿的，即丙每天抄寫(xiě)書(shū)稿的；于是可知乙每天抄寫(xiě)書(shū)稿的－－＝.所以乙一人單獨(dú)抄寫(xiě)需要1÷=24天才能完成．6．游泳池有甲、乙、丙三個(gè)注水管．如果單開(kāi)甲管需要20小時(shí)注滿水池；甲、乙兩管合開(kāi)需要8小時(shí)注滿水池；乙、丙兩管合開(kāi)需要6小時(shí)注滿水池．那么，單開(kāi)丙管需要多少小時(shí)注滿水池?【分析與解】乙管每小時(shí)注滿水池的-=,丙管每小時(shí)注滿水池的-=.因此，單開(kāi)丙管需要1÷==10(小時(shí))．7．一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成．那么甲、丁兩人合作多少天可以完成?【分析與解】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、、.對(duì)于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．即+－=，所以甲、丁合作的工作效率為．所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程．8．一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成．那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需要多少天?【分析與解】方法一：對(duì)于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為．而對(duì)于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率為－＝那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需1÷=48天．方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為．那么丙單獨(dú)工作的工作效率為－＝，那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需48天．9．某工程如果由第1、2、3小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小隊(duì)合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小隊(duì)合干需要42天才能完成．那么這5個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程?【分析與解】由條件可得，對(duì)于工作效率有：(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)．所以5個(gè)小隊(duì)一起合作時(shí)的工作效率為：〔＋＋2×＋〕÷3＝所以5個(gè)小隊(duì)合作需要6天完成這項(xiàng)工程.評(píng)注：這類需綜合和差倍等知識(shí)的問(wèn)題在工程問(wèn)題中還是很常見(jiàn)的.10．一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水．假設(shè)只開(kāi)甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱已滿；假設(shè)只開(kāi)乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿．又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍．那么該水箱最多可容納多少噸水?【分析與解】設(shè)甲管注入18噸水所需的時(shí)間為“1〞，而乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍，那么乙管注入18噸的水所需時(shí)間為“O.5〞，所以乙管注入27噸水所需的時(shí)間為27÷18×0.5=0.75.以下采用兩種方法：方法一：設(shè)丙在單位時(shí)間內(nèi)注入的水為“1〞，那么有：因此18+“1〞=27+“O.75〞，那么“0.25〞=9噸，所以“1〞=36噸，即丙在單位時(shí)間內(nèi)灌入36噸的水．所以水箱最多可容納18+36=54噸的水．方法二：也就是說(shuō)甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的．再設(shè)甲單獨(dú)灌水的工作效率為“1〞，那么乙單獨(dú)灌水的工作效率為“2〞，有1+丙=(2+丙)；所以丙的工作效率為“2〞，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌時(shí)，丙也灌了27噸，那么水箱最多可容納27+27=54噸水．11.某水池的容積是100立方米，它有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管．甲、乙兩管單獨(dú)灌滿水池分別需要10小時(shí)和15小時(shí)．水池中原有一些水，如果甲、乙兩管同時(shí)進(jìn)水而排水管放水，需要6小時(shí)將水池中的水放完；如果甲管進(jìn)水而排水管放水，需要2小時(shí)將水池中的水放完．問(wèn)水池中原有水多少立方米?【分析與解】甲每小時(shí)注水100÷10=10(立方米)，乙每小時(shí)注水100÷15=(立方米)，設(shè)排水管每小時(shí)排水量為“排〞，那么(“排〞－10－)×3=(“排〞－10)，整理得3“排〞－3×=“排〞－10,2“排〞=40，那么“排〞=20．所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．12．一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部安有假設(shè)干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管．當(dāng)翻開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)翻開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池．現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么最少要翻開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管?【分析與解】記水池的容積為“1〞，設(shè)每個(gè)進(jìn)水管的工作效率為“進(jìn)〞，排水管的工作效率為“排〞，那么有：4“進(jìn)〞－“排〞=，2“進(jìn)〞－“排〞=.所以有，2“進(jìn)〞=(－)=，那么“進(jìn)〞=，那么“排〞=.題中需同時(shí)翻開(kāi)x個(gè)進(jìn)水管2小時(shí)才能注滿，有：x“進(jìn)〞－“排〞=，即x－=，解得x=8.5所以至少需翻開(kāi)9個(gè)進(jìn)水管，才能在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿．13．蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管．要灌滿一池水，單開(kāi)甲管需要3小時(shí)，單開(kāi)丙管需要5小時(shí)．要排光一池水，單開(kāi)乙管需要4小時(shí)，單開(kāi)丁管需要6小時(shí)．現(xiàn)在池內(nèi)有池水．如果按甲、乙、丙、丁的順序循環(huán)開(kāi)各水管，每次每管開(kāi)1小時(shí)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池?【分析與解】方法一：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開(kāi)l小時(shí)，共開(kāi)4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的－＋－=.最優(yōu)情況為：在完整周期后的1小時(shí)內(nèi)灌滿一池水．因?yàn)榇藭r(shí)為甲管進(jìn)水時(shí)間，且甲的效率是四條管子中最大的．那么在最優(yōu)情況下：完整周期只需注入1－－＝池水．所需周期數(shù)為÷＝＝4那么，至少需要5個(gè)完整周期，而5個(gè)完整周期后，水池內(nèi)有水＋×5=＋＝剩下l－＝池水未灌滿，而完整周期后l小時(shí)內(nèi)為甲注水時(shí)間，有÷＝(小時(shí)).所以，需5個(gè)完整周期即20小時(shí)，再加上小時(shí)，即20小時(shí)后水開(kāi)始溢出．方法二：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開(kāi)1小時(shí)，共開(kāi)4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的－＋－=.加上池內(nèi)原有的水，池內(nèi)有水：＋=.再過(guò)四個(gè)4小時(shí)，也就是20小時(shí)后，池內(nèi)有水：＋×4=，在20小時(shí)后，只需要再灌水1－＝,水就開(kāi)始溢出．÷=(小時(shí))，即再開(kāi)甲管小時(shí)，水開(kāi)始溢出，所以20+=20(小時(shí))后，水開(kāi)始溢出水池．方法三：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開(kāi)1小時(shí)，共開(kāi)4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的－＋－＝.一個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋=,有待注入；二個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋=,即有先待注入；三個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋＝，有待注入；四個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋＝，即有待注入；五個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋＝，即有待注入．而此時(shí)，只需注入的水即可，小于甲管1小時(shí)注入的水量，所以有÷=(小時(shí))，即再開(kāi)甲管小時(shí)，水開(kāi)始溢出，所以20+＝20(小時(shí))后,水開(kāi)始溢出水池．評(píng)注：這道題中要求的是第一次溢出，因?yàn)樵谝粋€(gè)周期內(nèi)不是均勻增加或減少，而是有時(shí)增加有時(shí)又減少，所以不能簡(jiǎn)單的運(yùn)用周期性來(lái)求解，這樣往往會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的解答，至于為什么?我們給出一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，大家在解完這道題就會(huì)知曉．有一口井，深20米，井底有一只蝸牛，蝸牛白天爬6米，晚上掉4米，問(wèn)蝸牛爬出井需多少時(shí)間?14.一個(gè)水池，地下水從四壁滲入，每小時(shí)滲入該水池的水是固定的．當(dāng)這個(gè)水池水滿時(shí)，翻開(kāi)A管，8小時(shí)可將水池排空；翻開(kāi)B管，10小時(shí)可將水池排空；翻開(kāi)C管，12小時(shí)可將水池排空．如果翻開(kāi)A，B兩管，4小時(shí)可將水池排空，那么翻開(kāi)B，C兩管，將水池排空需要多少時(shí)間?【分析與解】設(shè)這個(gè)水池的容量是“1〞A管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量；B管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量；C管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量；A、B兩管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量．因?yàn)?每小時(shí)滲入水量++每小時(shí)滲入水量=+每小時(shí)滲入水量，因此，每小時(shí)滲入水量是：－〔＋〕＝.那么有A、B、C管每小時(shí)的排水量如下表所示：于是翻開(kāi)B、C兩管，將水池排空需要1÷〔＋-〕=1÷=4.8〔小時(shí)〕.第7講牛吃草問(wèn)題牛吃草問(wèn)題在普通工程問(wèn)題的根底上，工作總量隨工作時(shí)間均勻的變化，這樣就增加了難度．牛吃草問(wèn)題的關(guān)鍵是求出工作總量的變化率.下面給出幾例牛吃草及其相關(guān)問(wèn)題．1.草場(chǎng)有一片均勻生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供21頭牛吃幾周?(這類問(wèn)題由牛頓最先提出，所以又叫“牛頓問(wèn)題〞．)【分析與解】27頭牛吃6周相當(dāng)于27×6=162頭牛吃1周時(shí)間，吃了原有的草加上6周新長(zhǎng)的草；23頭牛吃9周相當(dāng)于23×9=207頭牛吃1周時(shí)間，吃了原有的草加上9周新長(zhǎng)的草；于是，多出了207-162=45頭牛，多吃了9-6=3周新長(zhǎng)的草．所以45÷3=15頭牛1周可以吃1周新長(zhǎng)出的草．即相當(dāng)于給出15頭牛專門(mén)吃新長(zhǎng)出的草．于是27-15=12頭牛6周吃完原有的草，現(xiàn)在有21頭牛，減去15頭吃長(zhǎng)出的草，于是21-15=6頭牛來(lái)吃原來(lái)的草；所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l頭牛需吃12周．評(píng)注：我們求出單位“1〞面積的草需要多少頭年來(lái)吃，這樣就把問(wèn)題化歸為一般工程問(wèn)題了．一般方法：先求出變化的草相當(dāng)于多少頭牛來(lái)吃：(甲牛頭數(shù)×?xí)r間甲-乙牛頭數(shù)×?xí)r間乙)÷(時(shí)間甲-時(shí)間乙)；再進(jìn)行如下運(yùn)算：(甲牛頭數(shù)-變化草相當(dāng)頭數(shù))×?xí)r問(wèn)甲÷(丙牛頭數(shù)-變化草相當(dāng)頭數(shù))=時(shí)間丙．或者：(甲牛頭數(shù)-變化草相當(dāng)頭數(shù))×?xí)r間甲÷時(shí)間丙+變化草相當(dāng)頭數(shù)丙所需的頭數(shù)．2．有三塊草地，面積分別是4公頃、8公頃和10公頃．草地上的草一樣厚而且長(zhǎng)得一樣快．第一塊草地可供24頭牛吃6周，第二塊草地可供36頭牛吃12周．問(wèn)：第三塊草地可供50頭牛吃幾周?【分析與解】我們知道24×6=144頭牛吃一周吃2個(gè)(2公頃+2公頃周長(zhǎng)的草).36×12=432頭牛吃一周吃4個(gè)(2公頃+2公頃12周長(zhǎng)的草)．于是144÷2=72頭牛吃一周吃2公頃+2公頃6周長(zhǎng)的草．432÷4=108頭牛吃一周吃2公頃+2公頃12周長(zhǎng)的草．所以108-72=36頭牛一周吃2公頃12—6=6周長(zhǎng)的草．即36÷6=d頭牛1周吃2公頃1周長(zhǎng)的草．對(duì)每2公頃配6頭牛專吃新長(zhǎng)的草，那么正好．于是4公頃，配4÷2×6=12頭牛專吃新長(zhǎng)的草，即24-12=12頭牛吃6周吃完4公頃，所以1頭牛吃6×1÷(4÷2)=36周吃完2公頃．所以10公頃，需要10÷2×6=30頭牛專吃新長(zhǎng)的草，剩下50-30=20頭牛來(lái)吃10公頃草，要36×(10÷2)÷20=9周．于是50頭牛需要9周吃10公頃的草．3．如圖，一塊正方形的草地被分成完全相等的四塊和中間的陰影局部，草在各處都是同樣速度均勻生長(zhǎng)．牧民帶著一群牛先在①號(hào)草地上吃草，兩天之后把①號(hào)草地的草吃光．(在這2天內(nèi)其他草地的草正常生長(zhǎng))之后他讓一半牛在②號(hào)草地吃草，一半牛在③號(hào)草地吃草，6天后又將兩個(gè)草地的草吃光．然后牧民把的牛放在陰影局部的草地中吃草，另外號(hào)的牛放在④號(hào)草地吃草，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們同時(shí)把草場(chǎng)上的草吃完．那么如果一開(kāi)始就讓這群牛在整塊草地上吃草，吃完這些草需要多少時(shí)間？【分析與解】群牛，1天，吃了1塊1天新長(zhǎng)的.又因?yàn)椋呐７旁陉幱熬植康牟莸刂谐圆?，另外的牛放在④?hào)草地吃草，它們同時(shí)吃完.所以，③=2陰影局部面積.于是，整個(gè)為群牛吃新長(zhǎng)的草，于是=現(xiàn)在.所以需要吃：天.所以，一開(kāi)始將一群牛放到整個(gè)草地，那么需吃30天.4．現(xiàn)在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時(shí)間?【分析與解】我們注意到：牛、馬45天吃了原有+45天新長(zhǎng)的草①牛、馬90天吃了2原有+90天新長(zhǎng)的草⑤馬、羊60天吃了原有+60天新長(zhǎng)的草②牛、羊90天吃了原有+90天新長(zhǎng)的草③馬90天吃了原有+90天新長(zhǎng)的草④所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結(jié)合③知，羊吃了90天，吃了90天新長(zhǎng)的草，所以，可以將羊視為專門(mén)吃新長(zhǎng)的草．所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．現(xiàn)在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長(zhǎng)的草，牛、馬一起吃原有的草.所需時(shí)間為l÷=36天.所以，牛、羊、馬一起吃，需36天．5.有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一樣快．它們的面積分別是公頃、10公頃和24公頃．12頭牛4星期吃完第一片牧場(chǎng)的草，21頭牛9星期吃完第二片牧場(chǎng)的草，那么多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草?【分析與解】由于三片牧場(chǎng)的公頃數(shù)不一致，給計(jì)算帶來(lái)困難，如果將其均轉(zhuǎn)化為1公頃時(shí)的情形．所以表1中，頭牛吃4星期吃完l公頃原有的草，那么18星期吃完1公頃原有的草需要÷(18÷4)=頭牛，加上專門(mén)吃新長(zhǎng)草的O．9頭牛，18星期才能吃完1公頃牧場(chǎng)的草．所以需×24=36頭牛18星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草．第8講不定方程與整數(shù)分拆求二元一次方程與多元一次方程組的自然數(shù)解的方法，與此相關(guān)或涉及整數(shù)分拆的數(shù)論問(wèn)題．補(bǔ)充說(shuō)明：對(duì)于不定方程的解法，本講主要利用同余的性質(zhì)來(lái)求解，對(duì)于同余性質(zhì)讀者可參考《思維導(dǎo)引詳解》五年級(jí)[第15講余數(shù)問(wèn)題].解不定方程的4個(gè)步驟：①判斷是否有解；②化簡(jiǎn)方程；③求特解；④求通解．本講講解順序：③包括1、2、3題④②①包括4、5題③包括6、7題，其中③④步驟中參加百雞問(wèn)題．復(fù)雜不定方程：⑧、⑨、⑩依次為三元不定方程、較復(fù)雜不定方程、復(fù)雜不定方程．整數(shù)分拆問(wèn)題：11、12、13、14、15．1．在兩位數(shù)中，能被其各位數(shù)字之和整除，而且除得的商恰好是4的數(shù)有多少個(gè)?【分析與解】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為，那么數(shù)字和為，這個(gè)數(shù)可以表達(dá)為，有即，亦即．注意到和都是0到9的整數(shù)，且不能為0，因此只能為1、2、3或4，相應(yīng)地的取值為2、4、6、8．綜上分析，滿足題目條件的兩位數(shù)共有4個(gè)，它們是12、24、36和48．2．設(shè)A和B都是自然數(shù)，并且滿足,那么A+B等于多少?【分析與解】將等式兩邊通分，有3A+llB=17,顯然有B=l，A=2時(shí)滿足，此時(shí)A+B=2+1=3．3．甲級(jí)鉛筆7分錢(qián)一支，乙級(jí)鉛筆3分錢(qián)一支．張明用5角錢(qián)恰好可以買(mǎi)這兩種不同的鉛筆共多少支?【分析與解】設(shè)購(gòu)置甲級(jí)鉛筆支，乙級(jí)鉛筆支．有7+3=50，這個(gè)不定方程的解法有多種，在這里我們推薦下面這種利用余數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解的方法：將系數(shù)與常數(shù)對(duì)3取模(系數(shù)7，3中，3最小)：得=2(mod3)，所以可以取2，此時(shí)取12；還可以取2+3=5，此時(shí)取5；即、,對(duì)應(yīng)為14、10所以張明用5角錢(qián)恰好可以買(mǎi)這兩種不同的鉛筆共14支或10支．4．有紙幣60張，其中1分、l角、1元和10元各有假設(shè)干張．問(wèn)這些紙幣的總面值是否能夠恰好是100元?【分析與解】設(shè)1分、1角、1元和10元紙幣分別有a張、b張、c張和d張，列方程如下：由(2)(1)得③注意到③式左邊是9的倍數(shù)，而右邊不是9的倍數(shù)，因此無(wú)整數(shù)解，即這些紙幣的總面值不能恰好為100元．5.將一根長(zhǎng)為374厘米的合金鋁管截成假設(shè)干根36厘米和24厘米兩種型號(hào)的短管，加工損耗忽略不計(jì)．問(wèn)：剩余局部的管子最少是多少厘米?【分析與解】24厘米與36厘米都是12的倍數(shù)，所以截成假設(shè)干根這兩種型號(hào)的短管，截去的總長(zhǎng)度必是12的倍數(shù)，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料長(zhǎng)不小于2厘米．另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管與2根24厘米的短管，剩余2厘米．因此剩余局部的管子最少是2厘米．6．某單位的職工到郊外植樹(shù)，其中有男職工，也有女職工，并且有寺的職工各帶一個(gè)孩子參加．男職工每人種13棵樹(shù)，女職工每人種10棵樹(shù)，每個(gè)孩子種6棵樹(shù)，他們一共種了216棵樹(shù)．那么其中有多少名男職工?【分析與解】設(shè)男職工人，孩子人，那么女職工3-人(注意，為何設(shè)孩子數(shù)為人，而不是設(shè)女職工為人)，那么有=216，化簡(jiǎn)為=216，即=72．有.但是，女職工人數(shù)為必須是自然數(shù)，所以只有時(shí)，滿足．那么男職工數(shù)只能為12名7．一居民要裝修房屋，買(mǎi)來(lái)長(zhǎng)0.7米和O.8米的兩種木條各假設(shè)干根．如果從這些木條中取出一些接起來(lái)，可以得到許多種長(zhǎng)度的木條，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米這5種長(zhǎng)度中，哪種是不可能通過(guò)這些木條的恰當(dāng)拼接而實(shí)現(xiàn)的?【分析與解】設(shè)0.7米，0.8米兩種木條分別，根，那么0.7+0.8=3.43.6，…即7+8=34，36，37，38，39將系數(shù)，常數(shù)對(duì)7取模，有≡6，l，2，3，4(mod7)，于是最小分別取6,1,2，3，4．但是當(dāng)取6時(shí)，8×6=48超過(guò)34，無(wú)法取值．所以3.4米是不可能通過(guò)這些木條的恰當(dāng)拼接而實(shí)現(xiàn)的．8.小萌在郵局寄了3種信，平信每封8分，航空信每封1角，掛號(hào)信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的這3種信的總和最少是多少封?【分析與解】顯然，為了使3種信的總和最少，那么小萌應(yīng)該盡量寄最貴的掛號(hào)信，然后是航空信，最后才是平信．但是掛號(hào)信、航空信的郵費(fèi)都是整數(shù)角不會(huì)產(chǎn)生幾分．所以，2分，10+2分應(yīng)該為平信的郵費(fèi)，最小取3，才是8的倍數(shù)，所以平信至少要寄4封，此時(shí)剩下的郵費(fèi)為122-32=90，所以再寄4封掛號(hào)信，航空信1封即可．于是，小萌寄的這3種信的總和最少是4+1+4=9封．9.有三堆砝碼，第一堆中每個(gè)砝碼重3克，第二堆中每個(gè)砝碼重5克，第三堆中每個(gè)砝碼重7克．現(xiàn)在要取出最少個(gè)數(shù)的砝碼，使它們的總重量為130克．那么共需要多少個(gè)砝碼?其中3克、5克和7克的砝碼各有幾個(gè)?【分析與解】為了使選取的砝碼最少，應(yīng)盡可能的取7克的砝碼．130÷7：18……4，所以3克、5克的砝碼應(yīng)組合為4克，或4+7克重．設(shè)3克的砝碼個(gè)，5克的砝碼個(gè)，那么．當(dāng)=0時(shí)，有，無(wú)自然數(shù)解；當(dāng)=1時(shí)，有，有=2，=1，此時(shí)7克的砝碼取17個(gè)，所以共需2+1+17=21個(gè)砝碼，有3克、5克和7克的砝碼各2、1、17個(gè)．當(dāng)>1時(shí)，7克的砝碼取得較少，而3、5克的砝碼卻取得較多，不是最少的取砝碼情形．所以共需2+1+17=20個(gè)砝碼，有3克、5克和7克的砝碼各2、1、17個(gè)．10．5種商品的價(jià)格如表8—1，其中的單位是元．現(xiàn)用60元錢(qián)恰好買(mǎi)了10件商品，那么有多少種不同的選購(gòu)方式?【分析與解】設(shè)B、C、D、E、A商品依次買(mǎi)了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，那么有=60．=310，顯然只能取0，1，2．Ⅰ有=310，其中d可取0，1，2，3，4．(1)當(dāng)d=0時(shí)，有=310，將系數(shù)，常數(shù)對(duì)6取模得：≡4(mod6)，于是最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不為自然數(shù)．所以d=0時(shí)。不滿足；(2)有=233，將系數(shù)，常數(shù)對(duì)6取模得：≡5(mod6),于是最小,那么有18b=233-43×5=18,；(3)有=156，將系數(shù)，常數(shù)對(duì)6取模得：≡O(shè)(mod6)，于是最小取0，那么有18b=156，b不為自然數(shù)，所以d=2時(shí)，不滿足；(4)有=79，將系數(shù)、常數(shù)對(duì)6取模得：≡1(mod6)，于是最小那么有18b=79—43=36．(5)當(dāng)d=4時(shí)，有=2，顯然不滿足．Ⅱ有=190，其中d可以取0、1、2．(1)有=190，將系數(shù)、常數(shù)對(duì)6取模有：≡4(mod6)，于是最小那么有18b=190-43×4=18,(2)當(dāng)d=1時(shí)，有=113，將系數(shù)、常數(shù)對(duì)6取模有：≡5(mod6)，于是最小取5，即18+215=113，顯然d=1時(shí)，不滿足；(3)有=36,顯然有時(shí)Ⅲ有=70，只能取0，有=70，將系數(shù)、常數(shù)對(duì)6取模有：≡4(rood6)，于是最小取4，那么有18+172=70，顯然不滿足最后可得到如下表的滿足情況：共有4種不同的選購(gòu)方法．11．有43位同學(xué)，他們身上帶的錢(qián)從8分到5角，錢(qián)數(shù)都各不相同．每個(gè)同學(xué)都把身上帶的全部錢(qián)各自買(mǎi)了畫(huà)片．畫(huà)片只有兩種：3分一張和5分一張．每11人都盡量多買(mǎi)5分一張的畫(huà)片．問(wèn)他們所買(mǎi)的3分畫(huà)片的總數(shù)是多少?gòu)?【分析與解】錢(qián)數(shù)除以5余0，1，2，3，4的人，分別買(mǎi)0，2，4，1，3張3分的畫(huà)片．因此，可將錢(qián)數(shù)8分至5角2分這45種分為9組，每連續(xù)5個(gè)在一組，每組買(mǎi)3分畫(huà)片0+2+4+1+3=10張，9組共買(mǎi)10×9=90張，去掉5角1分錢(qián)中買(mǎi)的2張3分畫(huà)片，5角2分中買(mǎi)的4張3分畫(huà)片，43個(gè)人買(mǎi)的3分畫(huà)片的總數(shù)是90-2-4=84張．12．哥德巴赫猜測(cè)是說(shuō)：“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和．〞試將168表示成兩個(gè)兩位質(zhì)數(shù)的和，并且其中的一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是1．【分析與解】個(gè)位數(shù)字是1的兩位質(zhì)數(shù)有11，31，41，61，71．其中168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是兩位數(shù)，只有168-71=97是兩位數(shù)，而且是質(zhì)數(shù)，所以168=71+97是惟一解．13．(1)將50分拆成10個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，那么這個(gè)最大質(zhì)數(shù)是多少?(2)將60分拆成10個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么這個(gè)最大的質(zhì)數(shù)是多少?【分析與解】(1)首先確定這10個(gè)質(zhì)數(shù)或其中的幾個(gè)質(zhì)數(shù)可以相等，不然10個(gè)互不相等的質(zhì)數(shù)和最小為2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，顯然大于50．所以，其中一定可以有某幾個(gè)質(zhì)數(shù)相等．欲使最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，那么應(yīng)使最小的質(zhì)數(shù)盡可能小，最小的質(zhì)數(shù)為2，且最多可有9個(gè)2，那么最大質(zhì)數(shù)不超過(guò)50—2×9=32，而不超過(guò)32的最大質(zhì)數(shù)為31．又有，所以滿足條件的最大質(zhì)數(shù)為31．(2)最大的質(zhì)數(shù)必大于5，否那么10個(gè)質(zhì)數(shù)的之和將不大于50．所以最大的質(zhì)數(shù)最小為7，為使和為60，所以盡可能的含有多個(gè)7．60÷7=8……4，，而4=2+2，恰好有．即8個(gè)7與2個(gè)2的和為60，顯然其中最大的質(zhì)數(shù)最小為7．14．有30個(gè)貳分硬幣和8個(gè)伍分硬幣，用這些硬幣不能構(gòu)成的1分到1元之間的幣值有多少種?【分析與解】注意到所有38枚硬幣的總幣值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98種幣值就可以兩兩配對(duì)了，即(1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；…；(49，51)；每一對(duì)幣值中有一個(gè)可用假設(shè)干個(gè)貳分和伍分硬幣構(gòu)成，那么另一個(gè)也一定可以，顯然50分和100分的幣值是可以組成的，因此只需要討論幣值為1分，2分，3分，…，48分和49分這49種情況．1分和3分的幣值顯然不能構(gòu)成．2分，4分，6分，…，46分，48分等2；4種偶數(shù)幣值的都可以用假設(shè)干個(gè)貳分硬幣構(gòu)成．5分，7分，9分，…，47分，49分等23種奇數(shù)幣值的只須分別在4分，6分,8分，…46分、48分的構(gòu)成方法上，用一枚伍分硬幣去換兩枚貳分硬幣即可，譬如，37分幣值的，由于36分幣值可用18枚貳分硬幣構(gòu)成，用一枚伍分硬幣換下兩枚貳分硬幣，剩下的幣值即為37分．綜合以上分析，不能用30個(gè)貳分和8個(gè)伍分硬幣構(gòu)成的1分到1元之間的幣值只有四種，即1分，3分，97分，99分．15．小明買(mǎi)紅、藍(lán)兩支筆，共用了17元．兩種筆的單價(jià)都是整數(shù)元，并且紅筆比藍(lán)筆貴．小強(qiáng)打算用35元來(lái)買(mǎi)這兩種筆(也允許只買(mǎi)其中一種)，可是他無(wú)論怎么買(mǎi)，都不能把35元恰好用完．那么紅筆的單價(jià)是多少元?【分析與解】如下表先枚舉出所有可能的單價(jià)如表1．再依次考慮：首先，不能出現(xiàn)35的約數(shù)．否那么只買(mǎi)這種筆就可以剛好用完35元，所以含有7，5，1的組合不可能．然后，也不能出現(xiàn)35—17=18的約數(shù)．否那么先各買(mǎi)一支需17元，那么再買(mǎi)這種筆就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的組合也不可能．所以，只有13+4的組合可能，經(jīng)檢驗(yàn)13x+4y=35這個(gè)不定方程確實(shí)無(wú)自然數(shù)解．所以紅筆的單價(jià)為13元．1．廟里有假設(shè)干個(gè)大和尚和假設(shè)干個(gè)小和尚，每7個(gè)大和尚每天共吃41個(gè)饅頭，每29個(gè)小和尚每天共吃11個(gè)饅頭.平均每個(gè)和尚每天恰好吃1個(gè)饅頭，問(wèn)：廟里至少有多少個(gè)和尚．2．小花狗和波斯貓是一對(duì)好朋友，它們?cè)谠缤硪?jiàn)面時(shí)總要叫上幾聲表示問(wèn)候．早晨見(jiàn)面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；晚上見(jiàn)面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲．細(xì)心的小娟對(duì)它們叫聲統(tǒng)計(jì)了15天，它們并不是，每天早晚都見(jiàn)面，在這15天內(nèi)它們共叫61聲．問(wèn)：波斯貓至少叫了多少聲?3．《張邱建算經(jīng)》百雞問(wèn)題：今有百錢(qián)，雞翁直錢(qián)五，雞母直錢(qián)三，雞雛三直一,百錢(qián)買(mǎi)百雞，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何?第9講整數(shù)分拆1．一般的有，把一個(gè)整數(shù)表示成兩個(gè)數(shù)相加，當(dāng)兩個(gè)數(shù)相近或相等的時(shí)候，乘積最大．也就是把整數(shù)分拆成兩個(gè)相等或者相差1的兩個(gè)整數(shù)．2．一般的有，把自然數(shù)m分成n個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積最大，那么先把m進(jìn)行對(duì)n的帶余除法，表示成m=np+r，那么分成r個(gè)(p+1)，(n－r)個(gè)P．3．把自然數(shù)S(S＞1)分拆為假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和(沒(méi)有給定是幾個(gè))，那么分開(kāi)的數(shù)當(dāng)中最多有兩個(gè)2，其他的都是3，這樣它們的乘積最大．4．把自然數(shù)分成假設(shè)干個(gè)互不相等的整數(shù)，那么先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，當(dāng)和等于原數(shù)那么可以，假設(shè)不然，比原數(shù)大多少除去等于它們差的那個(gè)自然數(shù)．如果僅大于1，那么除去2，再把最大的那個(gè)數(shù)加1．5．假設(shè)自然數(shù)N有k個(gè)大于1的奇約數(shù)，那么N共有k種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法．即當(dāng)有m個(gè)奇約數(shù)表示的乘積，那么有奇約數(shù)2－1個(gè)奇約數(shù)．6．共軛分拆．我們通過(guò)下面一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明共軛分拆：如：10=4+2+2+1+1，我們畫(huà)出示意圖，我們將其翻轉(zhuǎn)(將圖左上到右下的對(duì)角線翻轉(zhuǎn)即得到)：，可以對(duì)應(yīng)的寫(xiě)成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一種分拆方式．我們把這兩種有關(guān)聯(lián)的分拆方式稱為互為共軛分拆．1．寫(xiě)出13=1+3+4+5的共軛分拆．【分析與解】畫(huà)出示意圖，翻轉(zhuǎn)得到，對(duì)應(yīng)寫(xiě)為4+3+3+2+1=13，即為13=1+3+4+5的共軛分拆．2．電視臺(tái)要播出一部30集電視連續(xù)劇，假設(shè)要每天安排播出的集數(shù)互不相等．那么該電視連續(xù)劇最多可以播出幾天?【分析與解】由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，假設(shè)要滿足每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播出的集數(shù)應(yīng)盡可能地少．選擇從1開(kāi)始假設(shè)干連續(xù)整數(shù)的和與30最接近(小于30)的情況為1+2+3+4+5+6+7=28，現(xiàn)在就可以播出7天，還剩下2集，由于已經(jīng)有2集這種情況，就是把2集分配到7天當(dāng)中又沒(méi)有引起與其他的幾天里播出的集數(shù)相同.于是只能選擇從后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天．3．假設(shè)干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每支盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聰回來(lái)，仔細(xì)查看，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過(guò)小球和盒子．問(wèn)：一共有多少只盒子?【分析與解】設(shè)原來(lái)小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加了b只，由于小聰沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過(guò)小球和盒子，這說(shuō)明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)小球的盒子，而這只盒子里原來(lái)裝有(a+1)個(gè)小球．同樣，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子裝有(a+1)個(gè)小球，這只盒子里原來(lái)裝有(a+2)個(gè)小球．類推，原來(lái)還有一只盒子裝有(a+3)個(gè)小球，(a+4)個(gè)小球等等，故原來(lái)那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù)．現(xiàn)在變成：將42分拆成假設(shè)干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)?因?yàn)?2=6×7，故可以看成7個(gè)6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個(gè)6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個(gè)加數(shù)；又因?yàn)?2=14×3，故可將42：13+14+15，一共有3個(gè)加數(shù)；又因?yàn)?2=21×2，故可將42=9+10+11+12，一共有4個(gè)加數(shù)．所以原問(wèn)題有三個(gè)解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子4．機(jī)器人從自然數(shù)1開(kāi)始由小到大按如下規(guī)那么進(jìn)行染色：凡能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色(比方23可表示成兩個(gè)不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和，1染黃色)．問(wèn)：要染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000個(gè)數(shù)是多少?請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析與解】顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色，3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6．可見(jiàn)，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均應(yīng)染成黃色．下面統(tǒng)一觀察其他自然數(shù)，說(shuō)明其他自然數(shù)均要染成紅色．1)當(dāng)n為大于等于10的偶數(shù)時(shí)，n=2k=4+2(k－2)．由于n≥10，所以k≥15，k－2≥3，2(k－2)與4均為合數(shù)，且不相等．于是，大于等于10的偶數(shù)都可以表示兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染成紅色．2)當(dāng)n為大于等于13的奇數(shù)時(shí)，n=2k+1=9+2(k－4)．由于n≥13，所以k≥6，k－4≥2，2(k－2)≥4與9均是合數(shù)，且不相等．也就是說(shuō)，大于等于13的奇數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色．所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個(gè)數(shù)染黃色外，其余自然數(shù)均染紅色，第k個(gè)染為紅色的數(shù)是第(k+10)個(gè)自然