初中數(shù)學自主招生訓練 13 直線與圓的位置關(guān)系（含解析）

專題13直線與圓的位置關(guān)系

一.選擇題（共12小題）

1.（2021?巴南區(qū)自主招生）如圖，附與。。相切于點A,尸0交00于點8,點C在。O

2.（2021?大渡口區(qū)自主招生）如圖，一個油桶靠在直立的墻邊，量得BC=0.8成，并且A8

LBC,則這個油桶的底面半徑是（）

二

A.1.6mB.1.2mC.0.8/7?D.0.4根

3.（2021?黃州區(qū)校級自主招生）如圖，圓。的半徑為6,AABC是圓。的內(nèi)接三角形，連

接OB、OC,BC=673-則NA=（）

4.（2020?和平區(qū)校級自主招生）如圖，AB為。。的直徑，C為杷的中點，O為劣弧CB上

一個動點（點。不與8,C重合），過。作。。的切線交AB延長線于點P,連接CO并

延長交A8延長線于點Q,給出下列結(jié)論：

①若CB〃。尸，則/。AB=22.5。；

②若PB=BD,則/DR4=30°；

③。P可能成為/8OQ的平分線：

④若。0的半徑為1,則CZ>CQ=AB；

⑤0°</P￡）es45°.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

5.（2020?武昌區(qū)校級自主招生）如圖，AABC是圓。的內(nèi)接正三角形，弦EF過BC的中點

D,iLEF//AB,若AB=4,則。E的長為（）

E

A.1B.V5-1C.A/3D.2

6.（2020?涪城區(qū)校級自主招生）下列說法正確的是（）

A.等弦所對的弧相等

B.弦所對的兩條弧的中點的連線垂直平分弦，且過圓心

C.垂直于半徑的直線是圓的切線

D.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

7.（2020?渝北區(qū)自主招生）如圖，已知。O上三點A,B,C,半徑OC=1,AABC=\50,

切線附交OC延長線于點P,則線段PA的長度為（）

A.AB.返C.返D.2

232

8.（2020?南岸區(qū)自主招生）在RtAABC中，ZACB=90°,NB=30。，AB與0c相切于點Q,

若AB=6,則C￡＞的長為（）

A.3B.c.3D.3J3

22

9.（2020?沙坪壩區(qū)自主招生）如圖，A8與。。相切于點8,連接AO并延長交。。于點C,

連接BC.若NC=34。，則/A的度數(shù)是（）

A.17°B.22°C.34°D.56°

10.（2020?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，。。為AABC的外接圓，8。為。。的直徑，過點。

作。。的切線交BC延長線于點E.若ND4c=20。，則NE的度數(shù)是（）

II.（2020?北陪區(qū)自主招生）如圖，AB是。。的直徑，點P在84的延長線上，PA=AO,

尸。與。。相切于點。，8CLA8交尸。的延長線于點C,若。。的半徑為1,則8c的長

是（）

C.V2D.M

12.（2020?浙江自主招生）若四邊形ABC。的對角線AC,相交于O,△AOB,△BOC,

△COD,△004的周長相等，且AAOB,LBOC,ACOO的內(nèi)切圓半徑分別為3,4,6,

則AOCM的內(nèi)切圓半徑是（）

A.9B.3

22

C.1D.以上答案均不正確

2

二.填空題（共6小題）

13.（2021?寶山區(qū)校級自主招生）銳角”8C,其外接圓圓心為。，AB、AC上的高交于H,

若0、H、B、C在同一圓周上，則N8AC=.

14.（2021?黃州區(qū)校級自主招生）如圖，AABC中，NACB=90。，sinA=3,4c=8,將AABC

5

繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△AEC,P為線段4b上的動點，以點P為圓心，勿，長為半

徑作。P,當。P與AABC的邊相切時，。尸的半徑為

15.（2021?黃州區(qū)校級自主招生）如圖，圓O的半徑為3,點A在圓O上運動，ABC。為矩

形，AC與8。交于點M,MO=5,則AB2+AQ2的最小值為.

16.（2020?寶山區(qū)校級自主招生）矩形A8CD,AB=3,BC=4,聯(lián)結(jié)AC,若以8為圓心,

r為半徑的圓與線段AC,AD,CO都有公共點，則r的取值是

17.（2020?浙江自主招生）如圖，AABC中，MN//BC交AB、AC于M、N,MN與4ABC

內(nèi)切圓相切，若AABC周長為12,設(shè)BC=x,MN=y,則y與x的函數(shù)解析式為

（不要求寫自變量x的取值范圍）.

18.（2020?浙江自主招生）如圖，A是半徑為1的。。的外一點，04=2,A8是。。的切線,

B是切點,弦BC〃AO,連接4C,則圖中的陰影部分的面積等于.

三.解答題（共5小題）

19.（2020?衡陽縣自主招生）如圖，AB、CD是0。的兩條直徑，過點C的。。的切線交

AB的延長線于點E,連接AC、BD.

（1）求證：NABD=NCAB；

（2）若8是。E的中點，AC=18,求。。的半徑.

c

D

20.(2020?漢陽區(qū)校級自主招生)如圖，已知：A3是。。的直徑，點C在。。上，CD是

。。的切線，4。_1?！辏居邳c。，E是A8延長線上一點，CE交。O于點尸，連接OC、AC.

(1)求證：AC平分ND4O.

(2)若/ZMO=105°,ZE=30°.

①求NOCE的度數(shù)；

②若。O的半徑為圾，求線段EF的長.

21.(2020?江漢區(qū)校級自主招生)如圖，在ABC中，AB=AC,以48為直徑的。。分別交

線段8C、AC于點。、E,過點。作QFLAC,垂足為F,線段F￡＞、A8的延長線相交于

點G.

(1)求證：。尸是。。的切線；

(2)若C尸=1,NAC8=60。，求圖中陰影部分的面積.

22.(2020?郎溪縣校級自主招生)如圖，在aABC中，點。為8c邊上一點，。。經(jīng)過A、

8兩點，與BC邊交于點E,點尸為BE下方半圓弧上一點，F(xiàn)E1AC,垂足為。，/BEF

=2NF.

(1)求證：AC為。。切線.

(2)若AB=5,DF=4,求。。半徑長.

23.(2020?涪城區(qū)校級自主招生)如圖，A3是。。的直徑，弦EFLAB于點C,點。是A3

延長線上一點，/A=30。，N￡>=30。.

(1)求證：FD是。。的切線；

(2)取8E的中點M,連接若。。的半徑為2,求MF的長.

專題13直線與圓的位置關(guān)系

參考答案與試題解析

選擇題（共12小題）

1?【解答】解：如圖，連接0A,

?.?直線以與。。相切于點A,

J.OAVPA,

：.ZOAP=90°,

■々=45。,

ZAOB=45°,

"：NACB=//AOB=22.5。.

故選：B.

2.【解答】解：設(shè)油桶所在的圓心為0,連接0A,0C,

；A8、8c與G）0相切于點A、C,

：.OALAB,0C1.BC,

5L,：ABLBC,0A=0C,

四邊形04BC是正方形，

：.OA=AB=BC=OC^O.Sm,

3.【解答】解：過點。作OOJ_8C,

,:BC=673，

:.BD=DC=3M，

???3。=6,

:.sinN5OO=當應(yīng)=互

62

：.ZBOD=60°f

???NBOC=120。，

???ZA=60°.

故選：A.

A

4?【解答】解：C為篇的中點，

：.AC=BCf

TAB為。。的直徑，

???△ABC是等腰直角三角形，

：.ZCBA=ZCAB=45°f

①?:CB〃DP,

：.ZDPO=ZCBA=45°,

丁。尸是。。切線，

：.ZODP=90°,

???△OQ尸是等腰直角三角形，

，NOOP=45。，

???/DAB=L/DOP=22.5。,

2

故①正確；

②若PB=BD,

:?/PDB=/DPB,

?.*NPDB+NODB=NDPB+NDOP=90。,

：?/ODB=/DOP,

:.DB=OB,

OD=OB,

是等邊三角形，

...N￡)OP=60。，

：.ZDPA=30°,

故②正確；

③由①即可得DP可能成為NBQQ的平分線，故③正確;

④為源的中點，

：.ZCDA^ZCAB,

'：ZACD=ZACQ,

：./\ACD^^\CQA,

???A--C='C'Q',

CDCA

:.CD，CQ=Ad=(&)2=2,

：AB=2,

：.CD?CQ=AB,

故④正確；

⑤：NQQB=/CAB=45。，

：.0°<ZPDQ<45°,

所以⑤錯誤.

故選：B.

5.【解答］解：如圖.過C作CN_L48于N,交EF于M,

'：EF//AB,

：.CM±EF.

根據(jù)圓和等邊三角形的性質(zhì)知：CN必過點0.

-JEF//AB,。是BC的中點，

：.DG是AABC的中位線，

.*.DG=LB=2；

2

是等邊三角形，CM_LOG,

"：OMVEF,由垂徑定理得：EM=MF,

：.DE=GF.

；弦BC、E尸相交于點。，

:.BD?DC=DE,DF,即OEx（DE+2）=4；

解得。e=遙-I（負值舍去）.

故選：B.

6.【解答】解；4、等弦所對的弧不一定相等，故選項A不符合題意；

8、弦所對的兩條弧的中點的連線垂直平分弦，且過圓心，故選項B符合題意；

C、經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，故選項C不符合題意；

。、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，故選項。不符合題意;

故選：B.

7.【解答】解：連接。4,

/AOC=2NA8C=30°,

?.?過點A作。。的切線交0C的延長線于點P,

：.ZOAP=90°,

；OA=OC=1,

；.AP=OAtan300=返，

3

故選：B.

8.【解答】解：在RtAABC中，乙4cB=90。，NB=30。,

.?.AC=L"3,NA=60。，

2

"：AB與（DC相切，

：.CD±AB,

：.ZADC=90°,

C￡）=AGsinA=3x2ZZ=^Z_5_,

22

故選：B.

9.【解答】解：如圖，連接OB,

與。。相切于點8,

ZABO=90°,

'：OB=OC,

：.ZOBC=ZC=34°,

：./AOB=NOBC+NC=68。，

；.NA=180°-NAB。-NAOB=180°-90°-68°=22°,

故選：B.

10.【解答】解：是。。的切線，

：.ZBDE=90°,

由圓周角定理得，ZDBE^ZDAC=20°,

，NE=90°-20°=70°,

故選:B.

11.【解答】解：連接0。,

切。。于D,

：.ZODP=90°,

;。。的半徑為1,PA=AO,AB是。。的直徑，

；.尸0=1+1=2,PB=1+1+1=3,0。=1,

；?由勾股定理得：PD=dop2_QD2=｛「2_]2=^^,

"：BC1.AB,A8過0,

...BC切。。于8,

；PC切。。于D,

：.CD=BC,

設(shè)CD=CB=x,

在RtZiPBC中，由勾股定理得：PC2^PB2+BC2,

即2—32+^,

解得：x=M，

即BC=M，

故選：D.

12.【解答】解：設(shè)△004的內(nèi)切圓半徑為r,4AOB,HBOC,&C0D,△OOA的周長為Z,,

貝!）ShAOB=—L?3=—L,SABOC=L,4=2L,SACOD:=—L,6=3L,ShDOA=—Lr,

22222

,/S&AOB，S&COD=S“COB，S&DOA,

：.^-L^L=2L^Lr,

22

-r=9

2

故選：A.

二.填空題（共6小題）

13?【解答】解：如圖，連接08,0C,

'：CD±AB,BE1AC,

ZADC=NAEB=90。，

AZBAC+ZDHE=3600-AADC-ZAEB=180°,

TO、H、B、C在同一圓周上,

???ZBOC=NBHC=NDHE,

???NH4C+N3OC=180。，

9

：ZBOC=2ZBACf

：.ZBAC+ZBOC=3ZBAC=\SO°,

AZBAC=60°,

故答案為：60°.

14.【解答］解：???/ACB=90°,sinA—，

5

?,?設(shè)3c=3x,貝IJA5=5%,

在Rl^ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

即：(5x)2=(3元)2+82,

??.x=2,

???4B=10,BC=6,

?AAC84

??COSA=AB"TOT

①若。尸與AC相切，如圖1,

圖1

設(shè)切點為M,連接PM,

貝|JPM_LAC,且

VPM±AC,A'CJ_AC,

:./B，PM=ZA\

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知NA，=NA,

r

：.ZBPM=ZAf

?//4

,,cosZ.BPM=cosA），

b

設(shè)PM=4x,則秒V=PM=4羽B(yǎng)'P=5x,

又???AB=AB

即：4x+5x=10,

解得x5，

X9

.40

,?r=PM=4x=-7-;

y

②若。尸與48相切，延長尸￡交AB于點N,如圖2,

ZA'+ZB=ZA+ZB=90°,

,/ZAWB=90°,

即N為AB與。。切點，

又."為=8。+4c=BC+AC=14,

A,N=A,B*cosNA'=A'8?cosA,

即A'N=14x￡筆，

bb

/,r=NP=PA/"A，N=§?

綜上，OP的半徑為也或尊，

95

故答案為：絲或

95

15.【解答】解：如圖，連接OA.

：.AC^BD,AM=MC=BM=MD,ZBAD=90°,

：.AB2+AD2=BD2,

.?.80的值最小時，4群+4)2的值最小，

'：AM>OM-OA,OM=5,OA=3,

：.AM>2,

；.AM的最小值為2,

.?.BQ的最小值為4,

；.AB2+AD2的最小值為|6)

故答案為16.

16.【解答］解：如圖，當r<BC時，和CQ無交點，

當r>BC時，和AC無交點，

.?.r=8C=4時，以8為圓心，，為半徑的圓與線段AC,AD,CQ都有公共點.

故答案為：r=4.

17.【解答］解：如圖，設(shè)切點分別為E點，H點,F點,G點，

'：BC,AB,AC,MN都與AABC內(nèi)切圓相切，

：.BE=BG,GC=CF,ME=MH,NF=HN,

BE+CF=BG+GC=BC=x,ME+NF=MH+NH=MN=y

「△ABC周長為12

,?A8+AC+BC=12

：.AE+AF=\2-2xf

1?△AMN的周長=AM+4N+MN=AM+MH+AN+NF=AE+AF=12-2x,

■:MN//BC

：.MAMNsXABC

.ZkAMN的周長MN

?'△ABC的周長荻'

?12-2xy

,-

/.y—12x-2x'__

126

故答案為：y=--kr+x

6

18.【解答】解：03是半徑，45是切線，

9：OBVAB,

：.乙48。=90°,

：.sinA=^-=—f

0A2

???乙4=30。，

?：OC=OB,BC//OA,

???NO8C=N3OA=60。，

???△O8C是等邊三角形，

rpi.inc_Q_60兀XI_7T

因此S陰影一S扇形a?。--------------

3606

故答案為2L.

19.【解答】（1）證明：9：0A=0C,OB=OD,

：.ZOAC=ZOCA,/OBD=NODB,

丁NAOC=NBOD,

???NABD=NCAB；

(2)解：連接3C,

???43為。。的直徑，

???ZACB=90°,

YCE是。。的切線，

???NOCE=90。，

?二B是OE的中點，

:.BC=OB,

???△BOC為等邊三角形，

???60°,

???BC=——&——二基=4百

tan/ABCV3

???。8=4通，即。。的半徑為4y.

20.【解答】(1)證明：??,CQ是。。的切線,

C.OCLCD,

VAD1CD,

：.AD//OC,

：.ZDAC=ZOCAf

?；OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

：.ZOAC=ZDACf

???AC平分NDA。；

(2)解：①???AO〃OC,

???NEOC=ZDAO=105°,

VZE=30°,

：.ZOCE=45°；

②作OGLCE于點G,

c

則CG=FG=OG,

???OC=選，ZOCE=45°,

:?CG=OG=1,

AFG=1,

在RtZkOGE中，NE=30。，

**?GE=^/"§,

：.EF=GE-FG=V3-1.

21?【解答】(1)證明：連接A。、0D,如圖所示.

???A8為直徑，

???ZADB=90°f

C.ADLBC,

*：AC=AB1

J點。為線段8。的中點.

???點。為4B