高一必修第二冊數(shù)學練習課后習題

高一必修第二冊數(shù)學練習3

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.如圖在梯形A8CO中，BC=240,OE=EC,設瓦？=

a,~BC=b>則耳下=（）

A.；A+與

24

B.為+與

36

一

c.2加村2T

D.7+濘

24

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查的是向量的運算以及平面向量基本定理的應用，屬于基礎題，難度不大.

本題利用三角形法則，將所求向量通過轉化最后用已知向量表示出來即可.

【解答】

解：取8c中點F,連接FA,

因為在梯形A8CZ）中，BC=2AD,所以四邊形AZJCF是平行四邊形，

所以FA〃CD,FA=CD,

則芯=BC+CE=BC+1CD=BC+^FA

*1■■?,....?1，，-，?1?

=BC+^BA-BF)=BC+

一/+?元=%+濘.

2424

故選D

2.設向量五=(0,2),b=(2,2)，則()

A.\a\=\b\B.(a-b)//b

C.Z與了的夾角為gD.(a—K)1a

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查向量的坐標運算、向量的模以及向量平行與垂直的判斷，屬于基礎題.

根據(jù)題意，由向量的坐標，依次分析選項，即可判斷.

【解答】

解：根據(jù)題意向量1=(0,2),3=(2,2)，

對于A,:|五|=VO2+22=2,|b|-V22+22—2V2,

|五|力同，故A錯誤；

對于3,「^-3=(-2,0),B=(2,2)，且(一2)x2H0x2,

???日一方與3不平行，故8錯誤；

對于C,cos<a,b>=蠡=表=當

v<a,b>G

^<a,b>=%故C錯誤；

4

對于Q，-：a-b=(-2,0).(a-K)-a=(-2)x0+0x2=0,

(a-b)1d,故。正確.

故選：D.

3.如圖甲，在△ABC中，48=8C=2,/.ABC=120°,。為4c的中點，E為48上

一點，且滿足屁?而=0,將A4DE沿。E翻折得到直二面角4—DE—B,連接

AC,尸是4c的中點，連接B凡BD,DF(如圖乙所示)，則下列結論正確的是()

A.AD1BD

B.BF〃平面AOE

C.DA與平面ABE所成角的正切值是百

D.三棱錐B-FDC的體積為U

8

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查簡單多面體及其結構特征，考查空間中直線與直線的位置關系，考查線面平行

的判定，考查棱錐的體積計算，考查空間思維能力，屬于較難題.

由題，利用多面體及其結構特征，分別對選項進行分析討論，求證其正確性，即可求解

得到答案.

【解答】

解：如圖甲，?；4B=BC=2,/.ABC=120°,

在折疊前的回4BC中，取。C的中點G,連接BD,BG,

由余弦定理可得2C=2V3，4DAE=30°.

???D為AC的中點，

???ADDC=x/3,BD±AC,BD1,

??瓦?無3=()今DE1AB，

在RS.AOE中，DE=—,AE=-,故ER=；.

222

tanZ.ADE=tan60—Vg，

ZBGD/ZADE今BG與不平行.

■：DELAB,將AAOE沿DE翻折，得到直二面角4-DE-B,如圖乙,

AELDE.EB1.DE,

AEQEB=E,AE,EBu平面AE3,

DEJ_平面AEB,乙AEB=90

對于A選項，AB2=AE2+EB2=y,AD-ypi.BD-1，

.-.BD2+AD2^AB2,故AD與BO不垂直；

對于B選項，「G為。C的中點，F(xiàn)為AC的中點，

FG//AD,vFGC平面ADE,ADu平面ADE,

故FG〃平面ADE,

假設BF〃平面ADE,

■：BFCFG=F,BF,FGu平面BGF,

可得平面BGF〃平面ADE,

???平面BGFn平面DEBC=BG,平面ZDEC平面。EBC=DE,

進而可得BG〃DE,

這與BG與。E不平行矛盾，故BF與平面AOE不平行；

對于C選項，TnEJl平面AEB,D4與平面A3E所成角為ND.4E3（1,

???tan/ZME=在，故C選項錯誤；

3

對于。選項，AE1BE,AE1DE,

BECtDE=E,BE,DEu平面BEOC,

可得AE1平面BEDC,V_=V_=|S.；?lF=；x；XV3xlxix|=^,

BFDCFBDC3AeDCZoZZZo

故選D

4.下列說法中，正確的是（）

A.數(shù)據(jù)5,4,4,3,5,2的眾數(shù)是4

B.一組數(shù)據(jù)的標準差的平方是這組數(shù)據(jù)的方差

C.數(shù)據(jù)2,3,4,5的方差是數(shù)據(jù)4,6,8,10的方差的一半

D.頻率分布直方圖中各小矩形的面積等于相應各組的頻數(shù)

【答案】H

【解析】

【分析】

本題考查眾數(shù)、方差、標準差及頻率分布直方圖

根據(jù)題意逐項進行判斷即可得到結果.

【解答】

解：4數(shù)據(jù)5,4,4,3,5,2的眾數(shù)是4和5,故A錯誤;

A方差是標準差的平方，故B正確；

C.數(shù)據(jù)2,3,4,5；數(shù)據(jù)4,6,8,10是數(shù)據(jù)2,3,4,5的2倍，

則前一組的方差是后一組的四分之一，故C錯誤；

。頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應各組的頻率，故。錯誤.

故選B.

5.某校為了解高三年級學生在線學習情況，統(tǒng)計了2020年4月18日?27日（共10天

）學生在線學習人數(shù)及其增長比例數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的條形圖與折線圖的組合

圖.

根據(jù)組合圖判斷，下列結論正確的是（）

A.這10天學生在線學習人數(shù)的增長比例在逐日減小

B.前5天在線學習人數(shù)的方差大于后5天在線學習人數(shù)的方差

C.這10天學生在線學習人數(shù)在逐日增加

D.前5天在線學習人數(shù)增長比例的極差大于后5天在線學習人數(shù)增長比例的極差

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查統(tǒng)計圖表等基礎知識，屬基礎題.

直接根據(jù)統(tǒng)計圖表逐項分析即可得到結論.

【解答】

解：根據(jù)統(tǒng)計圖表可知，

對于A,由折線圖很明顯，23-24的增長比例在下降，故A錯誤；

對于8,由柱狀圖可得前5天學習人數(shù)的變化幅度明顯比后5天的小，故方差也小，故

8錯誤；

對于C,由柱狀圖，可得學習人數(shù)在逐日增加，故C正確；

對于D前5天增長比例的極差小于后5天增長比例的極差，故。錯誤，

故選C.

6.甲、乙、丙、丁四名同學在某次軍訓射擊測試中，各射擊10次.四人測試成績對

應的條形圖如圖：

LL0頻率L

o

.90.98.90

O.O80

..

O..807也.8

.o

OO..706..7

.o.O

6.6.5..6

6.5.O4也.45

0.403也3

,.o

6.302.2

.2O.O

6J.1..=Jrf=

1

。

12345678環(huán)數(shù)12345678環(huán)數(shù)O12345678環(huán)數(shù)

乙

以下關于這四名同學射擊成績的數(shù)字特征判斷不正確的是()

A.平均數(shù)相同B.中位數(shù)相同

C.眾數(shù)不完全相同D.方差最大的是丁

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，考查方差，考查頻率分布直方圖，屬于基礎題.

根據(jù)條形統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)特征求解即可.

【解答】

解：由條形圖可知，四名同學測試成績對應的條形圖均關于5環(huán)對稱，

所以平均數(shù)均為5,中位數(shù)為5,故4,B正確，

甲的眾數(shù)為4和6,乙的眾數(shù)為5,丙的眾數(shù)為3和7,丁的眾數(shù)為4和6,故C正確,

s.=2x[(5—守x5+(6-5/x5]=1,

±X[(5-4)2X3+(5-5)2X4+(6-5)2x3]=0.6,

sj=?x[(5-3)2x3+(5-4)2+5(-5)2x2+(6-5)2+(7-5)2x3]=2.6,

s"=5x[(5-2)2+(5—4)2x3+5(—5)2x2+(6—5)2x3+(8—5)2]=2.4,

所以丙的射擊成績的方差最大，故。不正確,

故選D.

7.圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍他本少記載：“堯造圍棋，丹

朱善之”，至今已有四千多年歷史圍棋不僅能抒發(fā)意境、陶

冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、

治國安邦等相關聯(lián)，蘊含著中華文化的豐富內涵.在某次國際

圍棋比賽中，甲、乙兩人進入最后決賽.比賽采取五局三勝制，即先勝三局的一方

獲得比賽冠軍，比賽結束.假設每局比賽甲勝乙的概率都為|,且各局比賽的勝負互

不影響，則在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為()

A19B-27JC-27D-81

【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查互斥事件、相互獨立事件同時發(fā)生的概率以及〃次獨立重復試驗，屬于中檔題;

設甲以30獲勝為事件A甲以3:1獲勝為事件件則A,B互斥，分別求出P(4)和P(B),

再由PQ4+B)=P(4)+P(B)即可求解；

【解答】

解：設甲以3:0獲勝為事件A,甲以3:1獲勝為事件8,則A,B互斥,

且P⑷=(!>=*P(B)=廢(滬滔=崇

所以PG4+B).+>果

故選C.

8.拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(XW4)等于()

A.iB.9C.|D.I

6323

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查古典概型的計算，解本題時注意理解P(XW4)的意義，其次注意結合互斥事件

概率的加法公式，進行解題.根據(jù)題意，首先分析P(XW4),其意義為拋擲兩顆骰子，

所得的點數(shù)之和小于等于4的概率;進而分為3個互斥事件,即X=2,X=3,(2,1),X=4,

由古典概型的公式可得其各自的概率，進而由互斥事件概率的加法公式，計算可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，有P(x<4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).

拋擲兩顆骰子，按所得的點數(shù)共36個基本事件，

而X=2對應(1,1),X=3對應(1,2),(2,1),X=4對應(1,3),(3,1),(2,2),

故P(X=2)=—,P(X=3)=—=—,P(X=4)=—=―,

"人'"36''73618v73612

所以P(XW4)=a+*+方=：.

oolo1Zo

故選A.

二、多選題(本大題共8小題，共40.0分)

9.已知，?為虛數(shù)單位，復數(shù)Z滿足Z(2-i)=i202。，則下列說法錯誤的是()

A.復數(shù)Z的模為巳

B.復數(shù)z的共舸復數(shù)為-三9-1%

C.復數(shù)Z的虛部為白

D.復數(shù)z在復平面內對應的點在第一象限

【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查虛數(shù)單位，?的累運算的周期性，復數(shù)的四則運算，涉及復數(shù)的概念，復數(shù)的模,

共期復數(shù)，復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，屬于基礎題.

先由z(2-i)=正。2。計算出z=1+3,再根據(jù)選項判斷即可.

【解答】

產(chǎn)20(為他1

20202+i2+i21

解:z(2-i)=i,則二：(2-1)一(2—i)—(2—i)(2+i)--r=5+5

①j(iy+Q)T故4錯'

復數(shù)z的共規(guī)復數(shù)為|-5,故8錯;

復數(shù)z的虛部為3故C錯；

復數(shù)z在復平面內對應的點為(|￡),在第一象限，故。正確.

故選ABC.

10.在四棱錐P—4BCD中，底面ABC。是正方形,PA_L

底面ABC。,PA=4B,截面BOE與直線PC平行，

與PA交于點E,則下列判斷正確的是（）

A.E為PA的中點

B.PB與CO所成的角為g

C.BD1平面PAC

D.三棱錐C一BOE與四棱錐P-4BCD的體積之比等于1:4

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查棱錐及其結構特征，考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關系，異面直

線所成角的求法，線面垂直的判定，棱錐體積的求法，屬于中檔題.

連接AC,交BD于點O,可知。為8￡>,AC的中點，連接OE,根據(jù)線面平行的判定定

理判定A；根據(jù)尸8與CC所成的角即尸8與A8所成的角，判定B;根據(jù)線面垂直的判定

定理判定C；根據(jù)三棱錐和四棱錐的體積計算公式分別求出其體積判定D.

【解答】

解：連接AC,交2。于點O,則。為BQ,AC的中點，連接OE,

因為截面BDE與直線PC平行，

PCC5!20PAC,平面PACC平面BDE=E0,

.-.PC//E0,。為AC中點，

即E為PA的中點，故A正確；

因為底面A8C。是正方形，所以4B〃C￡>,所以尸B與CD所成的角即尸8與AB所成的

角，又因為P力IJKffiABCD,所以241AB,而P4=AB,所以尸3與AB所成的角為會

即P8與C。所成的角為三故8錯誤，

因為P41底面ABC。，BDcjBlABCD,所以P4J.8D,又因為底面ABC。是正方形，

所以4c1BD,而ACQPA=A,AC,PAu平面PAC,所以BD_L平面PAC,故C正確；

設24=AB=2,由題可知EA的距離即為三棱錐C-8DE的高，則三棱錐C-BOE的體

積為％-BDE=VE-BDC=|xix2x2xl=1,而四棱錐P-力BCD的體積/_謝0=|x

2x2x2=-3,

所以三棱錐C-BDE與四棱錐P-4BCD的體積之比等于1:4,故O正確.

故選ACD.

11.如圖，在菱形A8C￡>中，AB=2,乙4BC=60。，M為BC的中點，將團ZBM沿

直線4M翻折成團連接8傳和當￡>,N為當。的中點，則在翻折過程中，下

列說法正確的是（）

掇M

A.AM1B]C

B.CN的長不為定值

C.A/與CN的夾角為g

D.當三棱錐&-AMD的體積最大時，三棱錐4-AMD的外接球的表面積是12兀

【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查幾何體的翻折問題，考查線面垂直的判定與性質，異面直線所成的角，空間中

的距離，球的表面積計算，考查空間想象能力，屬于中檔題.

對于4,由力M1BC,且將△力BM沿直線AM翻折過程中4M1B】M和AM1CM的關系

不變即可判定；對于B,由面面平行的判定定理及4M1B1M可得EC1NF,運用勾股

定理計算即可判定；對于C,由NE〃AB]即可判定線線角，由此計算即可判定；由翻折

過程中，面ABiM1面4MCO時三棱錐&一AMD的體積最大,可證明三角形

為直角三角形，利用N為的中點，可得N為三棱錐Bi-AMD的外接球的球心，可

求得半徑，即可求解.

【解答】

解:對于A,因為菱形A8CZ）中，|4B|=2,/.ABC=60。,M為8c的中點，所以AM1BC,

將44BM沿直線AM翻折成△ABXM,

則AM11CM,

因為Bi"nCM=M,

且u面B]MC,CMu面B、MC,

所以AM1面B[MC,又因為々Cu面B、MC,

所以ZMlBiC,故A正確；

對于B,如圖1,

圖1

取AO的中點為E,連接CE交MO于點凡

因為N為Bi。的中點，貝[|NE〃4Bi，又NEC平面A3.1/..1場U平面ABi”,

所以NE〃平面AZAM,

又CE〃4M,CE0平面43小/..4"C平面八步“，則CE//平面力,

且NEC平面ENC,CEC平面ENL,NEcCE=E,

由面面平行的判定定理可得平面〃平面ENC,

又平面ABiMC平面BiMD=BiM,平面ENCn平面團”。=NF,

所以NF〃BiM,

由A可得4M所以EC1NF,

又因為|N尸|=i\BXM\=l，\FC\=I\AM\=

所以|NC|=J|N尸|2+|FC|2=為定值，故B錯誤；

對于C由8可得NE〃力當，

所以NENC或其補角即為AB1與CN的夾角，

在AENC中，\EN\=^\AB1\=1,\EC\=|/4M|=V3)|NC|=1,

所以coszlENC="I何=-->

所以AB1與CN的夾角為；，故C正確；

對于D,因為在翻折過程中，AAMD始終不變，

又由A可得4M1BiM,所以將aABM沿直線AM翻折過程中，

當面1面AMCQ時，三棱錐為一4MD的體積最大.

此時由面力L面AMCD,

面ABiMn面AMCD=AM,AM1BXM,B"/U平面.4場“

可得Bi"，面AMCD,又M。u面AMCD,

則81MlM。，即三角形&MD為直角三角形，又N為的中點，

則NBi=ND=NM,

BiMAMCD,又ADu面AMCD,

則4。1B1M,

又因為MC〃4￡）,所以4。14”,

又4A/C平面BiAZC平面ABQ/,AMnB】M=M,

則AO1平面,ABtC平面.434/,

則AO14B1，即三角形8通。為直角三角形，又N為的中點，

貝ijNBi=ND=NA,故NBi=ND=NA=NM,

故N為三棱錐&一AMD的外接球的球心，

所以&D即為三棱錐當一AMD的外接球的直徑，

由|MD|=J\AM\2+\AD\2=VT+4=近，

22

可得|名叫=yJ\BtM\+\MD\=V1T7=2V2.

所以三棱錐氏AM。的外接球的半徑為近,表面積是8兀，故。錯誤.

故選AC.

12.某高中調查該校3000名學生每周平均參加體育鍛煉時間的情況，從高一、高二、

高三三個年級學生中按照生3:3的比例分層抽樣，收集300名學生每周平均體育運

動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時），整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列說

法正確的是（）

A.估計該校學生每周平均體育運動時間為5.8小時

B.估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)約為300人

C.估計該校學生每周平均體育運動時間不少于8小時的百分比為10%

D.估計該校學生每周平均體育運動時間不少于8小時的人數(shù)約為600人

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了分層抽樣以及用樣本估計總體和樣本平

均數(shù)的求法，屬于中檔題.

根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，注意是按照4：3：3的比例分層抽樣，對選項逐一計算

并判斷即可.

【解答】

解：A選項，由頻率分布直方圖可知，該校學生每周平均體育運動時間為：

x=(1x0.025+3x0.1+5x0.15+7x0.125+9x0.075+11x0.025)x2=5.8(

小時)，

所以A正確；

8選項，由頻率分布直方圖以及分層抽樣可知，

高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)約為：y=3000x卷x(0.025+

0.1)x2=300(人),

所以B正確；

C選項，由頻率分布直方圖可知，該校學生每周平均體育運動時間不少于8小時的百分

比為：

(0.025+0.075)x2x100%=20%,

所以C錯誤；

。選項，由上述可知，該校學生每周平均體育運動時間不少于8小時的百分比為20%,

所以該校學生每周平均體育運動時間不少于8小時的人數(shù)約為3000x20%=600(人)，

所以。正確.

故選ABD.

三、單空題(本大題共6小題，共30.0分)

13.設復數(shù)z滿足|z|=l,且使得關于x的方程2*2+2云+3=0有實根，則這樣的復

數(shù)Z的和為.

【答案】-:

4

【解析】解：設2=。+萬，(a,bWR且+臺2=1),

則原方程Z-+2zx+3=。變?yōu)?a%2+2ax+3)+(bx2—2bx)i=0,

所以a/+2ax+3=0,①且b/—2bx=0,②；

(1)若b=0,則Q2=I解得。=±1,當a=1時①無實數(shù)解，舍去；

從而Q=—1,%24-2%—3=0此時％=1或-3,故z=—1滿足條件；

(2)若bH0,由②知，x=0或％=2,顯然％=0不滿足，故x=2,代入①得a=-|,

b=+運，所以z=—?+退i

-8818

綜上滿足條件的所有復數(shù)的和為

di,3V55.、1/3V55.、7

T+L+?。?（丁=，）=一4

故答案為：-

4

設2=a+bi(a,b€R,a?+爐=1),得至！ja/+2ax+3=0①，bx2—2bx=0@,通

過討論求出a,6的值，求出滿足條件的所有z,相加即可.

本題考查了復數(shù)的運算，考查分類討論思想，是一道常規(guī)題.

14.甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8

個紅球、2個白球。擲一枚質地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點數(shù)為1或2,從甲箱子隨

機摸出一個球；如果點數(shù)為3,4,5,6,從乙箱子隨機摸出一個球。則摸出紅球

的概率為。

【答案】0.7

【解析】

【分析】

本題主要考查了獨立事件和互斥事件的概率知識，屬于基礎題.

事件“摸出紅球”可以分成“從甲中摸紅球”和“從乙中摸到紅球”兩個互斥事件之

和，而每個事件又是獨立事件同時發(fā)生，按照乘法即可計算.

【解答】

解：：

擲到1或2的概率為;=；,再從甲中摸到紅球的概率為。=：,

o310z

故從甲中摸到紅球的概率為P1=：X；=g

3Zo

擲到3,4,5,6的概率為：=|,則再從乙中摸到紅球的概率為白=：,

o31U5

故從乙中摸到紅球的概率為P2=|X(=1

綜上所述摸到紅球的概率為：

P=P+P=1+±=L.=0.7.

1z61510

故答案為0.7.

15.甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球顏色外

完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，則一次游戲摸出的白球不

少于2個的概率為.

【答案】~

【解析】

【分析】

本題主要考查對立事件以及古典概型問題，屬于基礎題.

根據(jù)對立事件的概率公式進行求解即可.

【解答】

解：一次游戲摸出1個白球的概率為：等?口+口?警=高x"高

CeC*3GeGoXU3J.U3J.3

一次游戲摸出。個白球的概率為：

C*eL3*1*U33U

因此一次游戲摸出。個白球或1個白球的概率為：2+/=看

所以一次游戲摸出的白球不少于2個的概率為：1-總=看，

故答案為：看

16.已知甲、乙兩組數(shù)可分別用圖(1)(2)表示，估計這兩組數(shù)的平均數(shù)的相對大小是

“______友乙,方差的相對大小是“s；(填“>”或“〈”或

頻數(shù)頻數(shù)

66

1()203040102()3040

【答案】=

【解析】

【分析】本題考查平均數(shù)和方差的計算，屬于基礎題.

根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)，分別計算甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，再比較大小，即可得到

答案.

【解答】

解：元的=々(10x2+20x6+30x6+40x2)=25,

計116

__1

x=—(10x3+20x5+30x5+40x3)=25,

22

s余=氐[(10-25)2X2+(20-25)2x6+(30-25)x6+(40-25)x2]=75,

222

s；=2[(10-25)x3+(20-25)2x5+(30-25)x5+(40-25)x3]=100,

故工尹=%z，s/<S乙.

五、解答題(本大題共12小題，共144.0分)

17.某產(chǎn)品的包裝紙可類比如圖所示的平面圖形，其可看作是由正方形SAOE和等腰梯

形ABCC拼成，已知AD〃BC,AD=2BC=2CD=2,在包裝的過程中，沿著

將正方形SAOE折起，直至SB1BD,得到多面體SA8CQE,M,N分別為BD,SB

(1)證明：MN〃平面SAOE；

(2)求四棱錐M-SADE的體積.

【答案】解：(1)證明：如圖，連接SD,

因為N分別為BD,SB中點，

所以MN為△SBC中位線，

所以MN//SD,

因為SDu平面SADE,MN仁平面SADE,

所以MN〃平面SAQE.

(2)如圖，取A。的中點G,連接BG,

因為AD//BC,AD=2BC=2DG,

所以BC&DG,

所以四邊形BCDG為平行四邊形,

可知BG=TA。，在△4BD中，有

所以ZB1BD,

又SB1BD,ABnSB=B,AB,SBu平面SA8,

所以8。1平面SAB,

因為SAu平面SA8,所以BD1SA,

四邊形SAOE為正方形，所以SZJ.4Z),

ADCBD=D,AD,BOu平面A8CO,

所以S4J■平面ABCD,

因為S4u平面SADE,所以平面SADEJL平面ABCD,

如圖，過點M作14。于點H,

因為平面SADEC平面4BCD=AD,

所以MH_L平面SADE,

且MH=爭MH即為四棱錐M-SADE的高,

所以憶s皿=《S正方膾ADE.MH=：X4x9=*.

【解析】本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質，棱錐的體積計算，熟練掌握空

間線面關系是解題關鍵.

(1)連接SO,由中位線性質證明MN〃SD,便不難證明結論；

(2)取4)的中點G,連接BG,由已知條件得四邊形2C0G為平行四邊形，又乙43。三,

得ABJ.BD,再根據(jù)線面垂直的判定定理得BD_1_平面SAB,再證得SA1平面A8CD,

從而得平面S40EJ■平面ABCQ,過點M作MH14D于點H,由面面垂直的性質定理得

平面S4)E,MH即為四棱錐M-S40E的高，計算出四邊形SAOE的面積，結合

棱錐體積公式進行計算即可.

18.如圖，在四棱錐P—4BCD中，△P4D是等邊三角形，平面PADL平面ABC7Z底面

A2CZ)是直角梯形，ADHBC,已知4D=2BC=4,4BAD=60°.

(1)若E為州的中點，求證：BE〃平面PCD；

(2)求四棱錐P-4BCD的表面積.

【答案】解：(1)證明：取4。中點凡連結E兄BF,PF,

因為E為卓中點，4。=4,所以EF〃PO,DF=^AD=2.

又因為BC〃/ID,BC=2,所以。F〃BC,DF=BC,

所以四邊形。FBC為平行四邊形.所以CD〃BF.

又因為EF<4平面PCD,PDcYffiPCD,所以EF〃平面PCD,

BF仁平面PCD,CDu平面PCD,所以BF〃平面PCD,

因為EFCBF=F,EF,BFu平面8￡尸，

所以平面BE/〃平面PCD,

因為BEu平面BE凡所以BE〃平面PCD

(2)解：由尸為A。的中點，△P40是等邊三角形，AD=4,

22

所以PA=PD=4,SAPAD=1./1D.PF=|X4X<4-2=473,

由于四邊形CFBC為平行四邊形，且乙4DC=90°,

所以四邊形。FBC為矩形，^AFB=90°,

由于NB4D=60°,AF=|TW=2,

所以AB=4,BF=2A/3,CD=BF=26,

所以S,盧ABCD=(2*=65/3，

由于平面R4D1■平面ABCD,PF1AD,平面R4Dn平面ABCD=AD,PFu平面PAD,

所以PF_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以PFJ.BC,又BCLBF,BFCPF=F,BF,PFu平面尸8尸，

所以BC_L平面P8F,PBu平面P8凡所以BC1PB,

所以PB=、BF2+Pf2=J(2V3)2+(2V3)2=2V6>

所以SZIPBC=/BC,PB=3X2X2n=2V6,

由于PFJLCD,AD1CD,PFdAD=F,PF,ADPAD,

所以CO_L平面PA。，PDu平面PAD,所以CD1PD,

所以ZPCD=J-PD-CO=Ix4X2V3=4V3,

由于AB=PA=4,PB=2V6.

所以S」P4B=TX2V6XJ42—(V^)2=2V15>

所以四棱錐P-力BCD的表面積為

4V3+6V3+4V3+2V6+2V15

=14y/3+2V6+2V15.

【解析】本題考查線面平行的證明，考查線面、面面垂直的判定定理以及性質定理，考

查三棱錐的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考

查運算求解能力，是中檔題.

(1)取AO中點F,連結EF,BF,PF,證明EF〃PD,CO〃BF從而證明平面BEF〃平面

PCD,從而得到BE〃平面PCD.

(2)分別求出S”4D，二，S&PBC，SAPCD，S4PAB，求和得到四棱錐P—48CD的表

面積.

19.如圖，在三棱臺ABC-DE尸中,BC=2EF,G,“分別為AC,BC上的點，平面G〃F〃

平面ABED,CFLBC,AB1.BC.

D

(1)證明：平面BCPE，平面EG”；

(2)若.4ZLLCF，AB=BC=2CF=2,求二面角B-AD-C的大小.

【答案】⑴證明：因為平面GHF〃平面ABEC,平面BCFECI平面4BE。=BE,

平面BCFEn平面GHF=HF,所以BE//HF.

因為8C〃EF,所以四邊形BHFE為平行四邊形，所以=EF,

因為BC=2EF,所以BC=2BH,"為BC的中點.

同理G為AC的中點，所以G〃〃A3,因為所以

又HC〃E/且HC=EF,所以四邊形EFCH是平行四邊形，所以CF〃HE,

又CFLBC，所以HE1BC.

又HE,GHu平面EGH,HECGH=H,所以BC1平面EGH,

又BCu平面BCFE,所以平面平面EGH

(2)解：:"EJJ/B,HG1HB,AB1.CF,CF//HE,GH//AB,

：.HE1HG.

分別以HG,HB,所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

H-xyzy

則4(2,1,0),8(0,1,0),C(0,-l,0).

設平面A3。的一個法向量為記=(Xi，%,zD，因為荏=(-2,0,0),BD=(1,-1,1)

則色.熏=_2用=：取為=1,得記=(0,1,1).

(771?8。=-+Zi=0

設平面AOC的一個法向量為元=(%2，y2，Z2)，因為而=(-1,-Ll)，AC=(-2,-2,0)

所以|cos(沅EI=I韶;I=3則二面角B—4?！狢的大小為g.

【解析】本題考查了兩直線之間的位置關系，面面平行的性質，線面垂直的判定，面面

垂直的判定，平面向量的法向量，二面角等有關知識.

(1)根據(jù)平面GHF〃平面ABED,平面BCFEn平面ABED=BE,

平面BCFEn平面GHF=HF,得到BE〃//F.然后判斷出四邊形BHFE為平行四邊形，四

邊形EFCH是平行四邊形，進而得到CF〃HE,再根據(jù)得到HE1BC,最后

求證出I3C±平面EGH,再結合8cu平面8CFE進行求解即可；

(2)分別以”G,HB,HE所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系H-xyz,設平面AB。的一個法向量為訪=(X],yi，Zi),設平面AOC的一個法向量為

3=。2，、2/2)，分別求出訪=(0,1,1).n=(1,-1,0),再求解二面角即可?

20.2020年開始，山東推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模

式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據(jù)

想考取的高校及專業(yè)要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、

物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科滿分100分，2020年

初受疫情影響，全國各地推遲開學,開展線上教學.為了了解高一學生的選科意向，

某學校對學生所選科目進行線上檢測，下面是100名學生的物理、化學、生物三科

總分成績，以組距20分成7組：

[160,180),[180,200),[200,220)[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],?出頻

率分布直方圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)由頻率分布直方圖；

(i)求物理、化學、生物三科總分成績的中位數(shù)；

(ii)估計這100名學生的物理、化學、生物三科總分成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(3)為了進一步了解選科情況，由頻率分布直方圖，在物理、化學、生物三科總分

成績在［220,240)和［260,280)的兩組中，用分層隨機抽樣的方法抽取7名學生，再

從這7名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求抽取的這2名學生來自不同組

的概率.

【答案】解：⑴由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025)X20=1,

解得a=0.005.

(2)(。因為(0.0024-0.0095+0.011)x20=0.45<0.5,

(0.002+0.0095+0.011+0.0125)x20=0.7>0.5,

所以三科總分成績的中位數(shù)在［220,240)內，

設中位數(shù)為X,

則(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(x-220)=0.5,

解得x=224,即中位數(shù)為224.

3)三科總分成績的平均數(shù)為

170x0.04+190X0.19+210x0.22+230X0.25+250X0.15+270x0.1+290x

0.05=225.6.

⑶三科總分成績在［220,240),［260,280)兩組內的學生分別為25人，10人，

故抽樣比為嬴屋，

所以從三科總分成績?yōu)椋?20,240)和［260,280)的兩組中抽取的學生人數(shù)分別為25x合

5(A),10x|=2(A),

記事件“抽取的這2人來自不同組”為A,

由題意，三科總分成績在［220,240)內的有5人，分別記為由,。2,。3,。4,在［260,280)

內的有2人，分別記為瓦，尻觀從這7人中抽取2人，

則試驗的樣本空間：

。=

{(%,瓦),(avb2),(a2,瓦),(a2,b2),@也),(a3,b2),(a4,4),(a4,b2),(as,bj,(a5,b)(ava2X(%,a3),(ava4),(a

,共有21個樣本點.

A={(ai，瓦),(如匕2)，4,瓦),(。2,匕2)，Q，瓦),Q，。2)，(。4,瓦),(。4,82)，(。5,瓦),Q，3}

所以71(4)=10.

所以P⑷=繇=弟

所以抽取的這2人來自不同組的概率為5.

【解析】本題考查頻率分布直方圖，考查平均數(shù)，中位數(shù)求法，考查古典概型概率計算

公式的運用，考查分層抽樣，屬于中檔題.

(1)利用頻率分布直方圖所有小長方形的面積之和為1,列方程求解即可；

(2)(i)利用中位數(shù)求法求解即可"

5)利用平均數(shù)求法求解即可；

(3)利用分層抽樣和古典概型概率計算公式求解即可.

21.最新高考改革方案已在上海和浙江實施，某教育機構為了解我省廣大師生對新高考

改革方案的看法，對某市部分學校500名師生進行調查，統(tǒng)計結果如下:

贊成改革不贊成改革無所謂

教師120y40

學生XZ130

在全體師生中隨機抽取1名“贊成改革”的人是學生的概率為0.3,且z=2y.

①現(xiàn)從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進行問卷調查，則應抽取“不

贊成改革”的教師和學生人數(shù)各是多少？

②在①中所抽取的“不贊成改革”的人中，隨機選出3人進行座談，求至少有1

名教師被選出的概率.

【答案】解：①由題意意=03,解得x=150,

所以y+z=60；

又因為z=2y,所以y=20,z-40；

則應抽取的教師人數(shù)為黑x20=2,

應抽取的學生人數(shù)為黑x40