專題04 靈活運用周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性解決函數(shù)性質(zhì)問題（9大核心考點）（講義）（解析版）

專題04靈活運用周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性解決函數(shù)性質(zhì)問題【目錄】TOC\o"13"\h\z\u ③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．5、對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．1．（2023?新高考Ⅱ）若為偶函數(shù)，則A． B．0 C． D．1【答案】【解析】由，得或，由是偶函數(shù)，，得，即，即，則，，得，得．故選：．2．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】設(shè)，對稱軸為，拋物線開口向上，是的增函數(shù)，要使在區(qū)間單調(diào)遞減，則在區(qū)間單調(diào)遞減，即，即，故實數(shù)的取值范圍是，．故選：．3．（2023?乙卷）已知是偶函數(shù)，則A． B． C．1 D．2【答案】【解析】的定義域為，又為偶函數(shù)，，，，，．故選：．4．（2022?乙卷）已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖像關(guān)于直線對稱，（2），則A． B． C． D．【答案】【解析】的圖像關(guān)于直線對稱，則，，，，故為偶函數(shù)，（2），（2），得．由，得，代入，得，故關(guān)于點中心對稱，（1），由，，得，，故，周期為4，由（2），得（2），又（3）（1），所以（1）（2）（3）（4），故選：．5．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的定義域為，且，（1），則A． B． C．0 D．1【答案】【解析】令，則，即，，，，則，的周期為6，令，得（1）（1）（1），解得，又，（2）（1），（3）（2）（1），（4）（3）（2），（5）（4）（3），（6）（5）（4），，（1）（2）（3）（4）．故選：．6．（2021?甲卷）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當，時，．若（3），則A． B． C． D．【答案】【解析】為奇函數(shù)，（1），且，偶函數(shù)，，，即，．令，則，，．當，時，．（2），（3）（1），又（3），，解得，（1），，當，時，，．故選：．7．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的定義域為不恒為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則A． B． C．（2） D．（4）【答案】【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，，為奇函數(shù)，，用替換上式中，得，，，即，故函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，為奇函數(shù)，，即，用替換上式中，可得，，關(guān)于對稱，又（1），（1）．故選：．8．（2020?新課標Ⅱ）若，則A． B． C． D．【答案】【解析】方法一：由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以，即，由于，故．方法二：取，，滿足，此時，，可排除．故選：．9．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則．【答案】2．【解析】根據(jù)題意，設(shè)，其定義域為，若為偶函數(shù)，則，變形可得，必有．故答案為：2．10．（2023?全國）為上奇函數(shù)，，（1）（2）（3）（4）（5），．【答案】6．【解析】，則函數(shù)的周期為4，為上奇函數(shù)，（4），令，則（2）（2），解得（2），令，則（1）（3），（1）（5），所以（1）（2）（3）（4）（5）（3）（2）（3）（4）．故答案為：6．11．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則．【答案】1．【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，故也為上的奇函數(shù)，所以，所以．法二：因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，即，即，所以．故答案為：1．考點一：函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用例1．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，得.令，得，解得，則不等式轉(zhuǎn)化為，因為是增函數(shù)，且，所以不等式的解集為.故選：A例2．（2023·貴州黔東南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，若，都有成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為對于，都有成立，所以函數(shù)是增函數(shù)，則函數(shù)和均為增函數(shù)，且有，即，解得.故選：C.例3．（2023·甘肅天水·高三校聯(lián)考階段練習）已知是偶函數(shù)，，且當時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意是偶函數(shù)，可知關(guān)于對稱，且，又時，單調(diào)遞增，所以時，單調(diào)遞減，則在區(qū)間上時，函數(shù)值為正，在區(qū)間上，函數(shù)值為負，又易知，所以的解集為.故選：A例4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知，，，.則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，∴，，令，，，∴在單調(diào)遞減，所以，∴，∴.，令，，，在單調(diào)遞減，，∴，∴，∴，故選：A.例5．（2023·安徽蚌埠·高三固鎮(zhèn)縣第二中學?？茧A段練習）若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因此，即，則，于是，A正確，B錯誤；由，顯然當時，，CD錯誤.故選：A考點二：函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用例6．（2023·廣東惠州·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)滿足：對任意的，，，且是上的偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，是上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又由函數(shù)滿足對任意的，，，則函數(shù)在上是增函數(shù)，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則有，即，解得：或，所以的取值范圍是．故選：D．例7．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期中）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意，有，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)，由，所以該函數(shù)是上的增函數(shù)，，或，，，或，因此有，或，或，綜上所述：不等式的解集是，故選：B例8．（2023·江蘇連云港·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，若對任意，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對函數(shù)求導得，對函數(shù)繼續(xù)求導得，由基本不等式得，所以在上單調(diào)遞增，又注意到，所以、隨的變化情況如下表：由上表可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，成立當且僅當，而成立當且僅當，所以原問題轉(zhuǎn)化成了對任意，不等式組恒成立，將不等式組變形為，所以對任意，只需，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，綜上所述：滿足題意的實數(shù)的取值范圍是.故選：C.例9．（2023·安徽銅陵·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】一方面由題意有，另一方面若有成立，結(jié)合以上兩方面有，且注意到，所以由復合函數(shù)單調(diào)性可得在上嚴格單調(diào)遞增，若，則只能，因此當且僅當；又已知，所以，即，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：C.例10．（2023·河北唐山·開灤第二中學校考一模）已知函數(shù),則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，所以，令，可得令且，可得在上恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又由，即，即，整理得，解得或，即不等式的解集為.故選：B.考點三：已知f(x)=奇函數(shù)+M例11．（2023·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習）函數(shù)的最大值為M，最小值為N，則（

）A．3 B．4 C．6 D．與m值有關(guān)【答案】C【解析】由題意可知，，設(shè)，則的定義域為，所以，所以為奇函數(shù)，所以，所以,故選：C.例12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由令，因為，所以；那么轉(zhuǎn)化為，，令，，則，所以是奇函數(shù)可得的最大值與最小值之和為0，那么的最大值與最小值之和為2．故選：B．例13．（2023春·福建廈門·高三廈門一中校考階段練習）已知，若，則等于（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】，，，，故選：A.例14．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A．－1 B． C． D．1【答案】A【解析】是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則.∴.故選：A例15．（2023春·河南洛陽·高一孟津縣第一高級中學?？茧A段練習）已知關(guān)于的函數(shù)在上的最大值為M，最小值N，且，則實數(shù)t的值是（

）A．674 B．1011 C．2022 D．4044【答案】B【解析】，，∴令，，則，定義域關(guān)于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，∴（奇函數(shù)的性質(zhì)），∴，∴，即.故選：B考點四：利用軸對稱解決函數(shù)問題例16．（2023·江蘇徐州·高三邳州市新城中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，又在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞增，進而在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，解得，所以原不等式的解集為.故選：A.例17．（2023·安徽淮南·高三校考階段練習）函數(shù)滿足：對，都有，則a+b為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因為函數(shù)滿足：對，都有，所以，即，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，所以，故選：C.例18．（2023·全國·高三競賽）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，其中（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點在函數(shù)的圖像上，則點關(guān)于直線的對稱點，則，則，則，即與關(guān)于直線對稱，則，得.故選：D例19．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A．(0，2] B．C．[2，＋∞) D．∪[2，＋∞)【答案】B【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞減函數(shù)，令，可得，則不等式可化為，即，即，又因為，且在上單調(diào)遞減，在為偶函數(shù)，所以，即，解得，所以不等式的解集為.故選：B.例20．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學校?？计谥校┮阎瘮?shù)，則的大小關(guān)系（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先設(shè)函數(shù)判斷函數(shù)是偶函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)平移關(guān)系，可判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，再將，，以及，所以是偶函數(shù)；當時，，在上是增函數(shù)，將圖像向右平移一個單位得到圖像，所以關(guān)于直線對稱，且在單調(diào)遞增.∵，，，∴，∴，又∵關(guān)于直線對稱，∴，∴.故選：A考點五：利用中心對稱解決函數(shù)問題例21．（2023·陜西漢中·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與的圖象的交點為，，…，，則等于（

）A．0 B．m C． D．【答案】B【解析】由得，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，顯然也是函數(shù)的對稱中心，所以當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；綜上.故選：B.例22．（2023·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，若函數(shù)與的圖象的交點為，，…，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為為奇函數(shù)，所以，所以關(guān)于對稱，因為，所以的對稱中心為，，所以也關(guān)于對稱，所以與兩個圖象的交點也關(guān)于對稱，所以對于每組對稱點和均滿足，，所以.故選：B.例23．（2023·北京通州·高一統(tǒng)考期中）我們知道函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的對稱中心是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，為奇函數(shù)，定義域為關(guān)于原點對稱，故，，，即，即，故，故，即對稱中心為.故選：A.例24．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中學校考期中）設(shè)函數(shù)的定義域為D，，，當時，恒有，則稱點為函數(shù)圖象的對稱中心．利用對稱中心的上述定義，研究函數(shù)，可得到（

）A．0 B．2023 C．4046 D．4047【答案】D【解析】的定義域為R.因為，所以的圖象關(guān)于點對稱.所以.故選：D例25．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，所以，.所以，，即，所以.則由不等式可得，.又恒成立，當且僅當，即時等號成立，所以，在R上單調(diào)遞增.則由可得，，解得.所以，滿足的的取值范圍是.故選：D.考點六：利用周期性和對稱性解決函數(shù)問題例26．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由為奇函數(shù)，得，故①，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；由為偶函數(shù)，得②，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；由①②得，則，故的周期為，所以，由，令得，即③，已知，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，得所以，即，所以④，聯(lián)立③④解得故時，，由關(guān)于對稱，可得.故選：A.例27．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)有，若的圖象關(guān)于直線對稱，，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，所以，從而可得，所以，所以函數(shù)的一個周期為6．因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．又，，所以，所以，所以．由于23除以6余5，所以．故選：C．例28．（2023·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)是定義域為的非常數(shù)函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．關(guān)于點中心對稱C． D．的最小正周期為4【答案】A【解析】因為為偶函數(shù)，所以，即，又因，所以，即，所以，所以函數(shù)是以為周期的一個周期函數(shù)，故D錯誤；因為，所以函數(shù)圖象關(guān)于對稱，所以函數(shù)圖象關(guān)于對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對于B，若關(guān)于點中心對稱，則關(guān)于點中心對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，這與函數(shù)是定義域為的非常數(shù)函數(shù)矛盾，故假設(shè)不成立，故B錯誤；對于C，由，可得，又因為不關(guān)于點中心對稱，所以無法判斷是否相等，故C錯誤.故選：A.例29．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且為奇函數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，令，得，所以，由為奇函數(shù)，得，所以，故①．又②，由①和②得，即，所以，③令，得，得，令，得，得，又④，由③④得，即，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，故，所以，所以，故選：B．例30．（2023·四川遂寧·高三射洪中學校考階段練習）已知函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為，為奇函數(shù)，，，則正確的有（

）①；②；③；④.A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，則，因為，，故可得，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，在等式中，令可得，則，因為函數(shù)為奇函數(shù)，即，可設(shè)，為常數(shù)，則，故，即，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，由可得，從而可得，則，即，所以，函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，故，在等式兩邊同時求導可得，即，在等式中，令可得，因為函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，等式兩邊求導可得，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，.而、的值根據(jù)已知條件無法推導其值，則②③對，①④錯.故選：C.考點七：類周期函數(shù)例31．（2023·四川·高三階段練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，函數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【解析】當x∈[0,1)時，f(x)=x2?x∈[?,0]當x∈[1,2)時，f(x)=?(0.5)|x?1.5|∈[?1,?]，∴當x∈[0,2)時，f(x)的最小值為?1，又∵函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=2f(x)，當x∈[?2,0)時，f(x)的最小值為，當x∈[?4,?2)時，f(x)的最小值為，若x∈[?4,?2]時，恒成立，∴恒成立．即t2?4t+3?0，即(t?3)(t?1)?0，即1?t?3，即t∈[1,3]，本題選擇D選項.例32．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學?？计谀┒x域為的函數(shù)滿足，當時，.若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當x∈(2,3),則x?2∈(0,1)，則f(x)=2f(x?2)?1=2(x?2)2?2(x?2)?1，即為f(x)=2x2?10x+11，當x∈[3，4]，則x?2∈[1，2]，則f(x)=2f(x?2)?1=.當x∈(0,1)時,當x=時,f(x)取得最小值,且為?；當x∈[1,2]時,當x=2時,f(x)取得最小值,且為；當x∈(2,3)時,當x=時,f(x)取得最小值,且為?；當x∈[3,4]時,當x=4時,f(x)取得最小值，且為0.綜上可得,f(x)在(0,4]的最小值為?.若x∈(0,4]時,恒成立，則有.解得.當x∈(0,2)時,f(x)的最大值為1,當x∈(2,3)時,f(x)∈[?,?1)，當x∈[3,4]時,f(x)∈[0,1]，即有在(0,4]上f(x)的最大值為1.由，即為，解得，綜上，即有實數(shù)t的取值范圍是.故選：C.例33．（2023·全國·高三專題練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為當時，不等式恒成立，所以，當時，當時，，當時，，因此當時，，選B.例34．（2023·全國·高三專題練習）已知定義域為R的函數(shù)滿足，當時，，設(shè)在上的最大值為則數(shù)列的前n項和的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】時，，最大值為，時，，易知時，遞增，時，遞減，因此最大值為，綜上，，，即，又，即，當時，，∴，∴是等比數(shù)列，公比為，∴．故選：D．考點八：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性例35．（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校?？计谥校┮阎瘮?shù)對都有，且函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，當時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．是上的偶函數(shù)D．函數(shù)有6個零點【答案】AD【解析】對都有，則，所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4，函數(shù)的圖像向左平移1個單位得函數(shù)的圖象，又函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時，，即函數(shù)在上遞增，在上單調(diào)遞增，而，因此在上遞增，由得，則的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在上遞減，對于A，，故A正確；對于B，因函數(shù)在上遞增，函數(shù)的周期為4，則在上遞增，故B錯誤；對于C，因，即有，則函數(shù)不是R上的偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，函數(shù)的零點，即函數(shù)與圖象交點的橫坐標，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)與的大致圖象，如圖，因函數(shù)的最大值為1，而當時，，因此函數(shù)與圖象的交點在內(nèi)，觀察圖象知，函數(shù)與圖象在內(nèi)只有6個交點，所以函數(shù)有6個零點，故D正確.故選：AD.例36．（多選題）（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且，，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱C． D．【答案】ABD【解析】因為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；因為，兩邊求導得.令，得.因為，所以，所以，，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；因為，又，所以，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，故C錯誤；因為，所以，所以，所以，又，所以，故D正確.故選：ABD.例37．（多選題）（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由為奇函數(shù)得，令，則，即，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以，因為，所以關(guān)于直線對稱，所以，由和知，，所以，所以的周期為8，由知，當時，，A正確；因為關(guān)于直線對稱，所以，由的周期為8知，，C正確；因為的周期為8，所以，題干所給條件不足，所以BD錯.故選：AC例38．（多選題）（2023·黑龍江牡丹江·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且為非常數(shù)函數(shù)，，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即，即，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，且，故A正確；由，兩邊求導，得，即.由的圖象關(guān)于點中心對稱，得，因此，故B正確；因為為函數(shù)的導函數(shù)，且，即，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以.又，所以，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，，，所以是周期函數(shù)，4為它的一個周期，所以，故錯誤；由，得.又，所以3，所以，所以，故D正確.故選：ABD.例39．（多選題）（2023·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期中）設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，，則（

）A．是奇函數(shù)B．C．的值域是D．方程在區(qū)間內(nèi)恰有1518個實數(shù)解【答案】ACD【解析】函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，所以，又因為，所以，所以是奇函數(shù)，A正確；由，得，所以以4為周期，因為，所以，故B錯誤；因為當時，，所以，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以．因為為奇函數(shù)，所以當時，，因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以當時，，因為的周期為4，所以當時，，故C正確；方程的解的個數(shù)，即的圖象與的圖象交點個數(shù)．因為的周期為4，且當時，與有3個交點，所以當時，與有個交點，故D正確．故選：ACD.考點九：函數(shù)性質(zhì)的綜合例40．（2023·河北張家口·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且，，若，則不等式的解集是.【答案】【解析】函數(shù)是上的奇函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因為，即.所以當時，，當時，，當時，，當時，，那么