湖南省衡陽市實驗中學2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題（含解析）

衡陽市實驗中學2023年下學期期中考試試卷九年級數(shù)學一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分．）1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x＝﹣2 B．x1＝0，x2＝2 C．x＝2 D．x1＝0，x2＝﹣23．如圖，四邊形∽四邊形，則下列角的度數(shù)正確的是（

）A． B． C． D．4．如圖在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，點F在CD的延長線上，AF∥BC，AF＝1，BC＝3，則DE的值是（）A． B． C． D．5．將一元二次方程化成的形式，則的值為（

）A． B．2 C．3 D．46．某服裝公司今年月的營業(yè)額為萬元，按計劃第四季度的總營業(yè)額要達到萬元，求該公司、兩個月營業(yè)額的月均增長率，設該公司、兩個月營業(yè)額的月均增長率為，則根據(jù)題意可列的方程為（

）A． B．C． D．7．下列二次根式中與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．8．已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k+1=0，

若x1+x2=3，則k的值是（

）A．0 B．1 C．﹣1 D．29．若，則＝（）A． B． C． D．10．如圖，D為的邊AB上一點，，則AC長為（

）A．12cm B．cm C．cm D．2cm11．如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（）

A． B． C． D．12．如圖，D，E分別是的邊上的點，，若，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分．）13．計算：=．14．比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保?5．代數(shù)式的值等于．16．若關于的方程是一元二次方程，則17．如圖，已知E是平行四邊形ABCD的一邊AD延長線上的一點，AD＝3DE，則DF＝AB．18．在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為米．三、解答題（共8小題，19－20題每題6分，21－24題每題8分，25題10分，26題12分．）19．計算：．20．求值：，其中，．21．解方程：(1)；(2)．22．如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．23．已知關于的一元二次方程．(1)證明：無論取何值，此方程必有實數(shù)根；(2)等腰三角形中，，、的長是此方程的兩個根，求的值．24．某商店經(jīng)銷的某種商品，每件成本為30元，經(jīng)市場調(diào)查，當售價為每件70元時，可銷售20件，假設在一定范圍內(nèi)，售價每降低1元，銷售量平均增加2件．如果用x表示商品售價．(1)當售價為每件50元，銷量為________件：(2)用含x的代數(shù)式表示商品的銷量為________件；(3)如果降價后商店銷售這批商品獲利1200元，問這種商品每件售價是多少元？25．如圖，在中，是邊上的高，且(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．26．如圖所示，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于B點、A點，點P從點B開始沿邊向終點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點A開始沿邊向終點O以1厘米/秒的速度移動．若點P，Q同時出發(fā)，運動時間為t秒．(1)當時，①P點的坐標________（用b來表示）②當為直角三角形時，求b的值；(2)當?shù)拿娣e為8平方厘米時，求b與t的數(shù)量關系，并求出b的最小值．答案與解析1．A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、是一元二次方程，故本選項符合題意；B、不是一元二次方程，故本選項不符合題意；C、不是一元二次方程，故本選項不符合題意；D、不是一元二次方程，故本選項不符合題意；故選：A【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程是解題的關鍵．2．B【分析】用因式分解法求解即可．【詳解】解：∵x2﹣2x＝0，∴x(x﹣2)＝0，則x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．3．A【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和；根據(jù)相似多邊形的對應角相等，四邊形的內(nèi)角和是逐項判斷即可．【詳解】解：∵四邊形∽四邊形，∴，，，，故選：A．4．C【分析】通過證明△ADF∽△BDC，可求CD＝3DF，可得CF＝4DF，通過證明△CDE∽△CFA，可得，即可求解．【詳解】解：∵DE∥BC，∴△ADF∽△BDC，∴，∵AF＝1，BC＝3，∴，∴CD＝3DF，∴CF＝4DF，∵DE∥BC，∴△CDE∽△CFA，∴，∴＝，∴DE＝，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關鍵．5．D【分析】移項后配方，即可得出答案．【詳解】解：，，配方，得，，即，故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關鍵．6．B【分析】根據(jù)增長后的量=增長前的量（1+增長率），即可表示出月與12月的營業(yè)額，根據(jù)第四季的總營業(yè)額要達到萬元，即可列方程．【詳解】解：該服裝公司今年10月的營業(yè)額為萬元，該公司，兩個月營業(yè)額的月均增長率為，該服裝公司今年月的營業(yè)額為萬元，月的營業(yè)額為萬元．根據(jù)題意得：，即，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用——增長率問題，根據(jù)題意正確列出方程是解題關鍵．7．D【分析】先把每一個二次根式化為最簡二次根式，然后找出與2被開方數(shù)相同的二次根式．【詳解】解：=2；A、=3，被開方數(shù)是2；故本選項不符合題意；B、是最簡二次根式，被開方數(shù)是30；故本選項不符合題意；C、=4被開方數(shù)是3；故本選項不符合題意；D、=3，被開方數(shù)是6；故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．8．B【分析】利用根與系數(shù)的關系得出x1+x2=2k+1，進而得出關于k的方程求出即可．【詳解】解：設方程的兩個根分別為x1，x2，由x1+x2=2k+1=3，解得：k=1，故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，能把求k的值的問題轉(zhuǎn)化為解方程得問題是關鍵．9．A【分析】由已知可設，，代入原式，計算化簡即可．【詳解】解：∵，∴設，，將，代入中，得，，故選：A．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，運用分式基本性質(zhì)進行正確運算是解題的關鍵．10．B【分析】由且∠A=∠A可證△ACD≌△ABC，則通過其比例關系可得：AC2=AD×AB.【詳解】∵∠A=∠A，∴△ACD≌△ABC，∴,∴AC2=AD×AB=3×4=12∴AC=cm故選擇B.【點睛】本題考查了“有兩角對應相等的三角形相似”的判定方法及相似三角形的性質(zhì).11．C【分析】本題考查相似三角形的判定定理，熟悉掌握判定定理是解決本題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，A.添加，可得到相似，不符合題意；B.添加，可得到相似，不符合題意；C.添加，不能得到相似，符合題意；D.添加，可得到相似，不符合題意；故選C．12．C【分析】本題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)；解題的關鍵是證明，得出；證明，得到，由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，，故選C．13．3【分析】原式利用平方計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：=3，故答案為3．【點睛】本題考查了二次根式的平方，熟練掌握二次根式的計算方法是解本題的關鍵．14．【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，運用比差法計算是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．15．10【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)可求出，再代入計算即可．【詳解】解：∵，，∴，∴原式．故答案為：10．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值．根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)求出是解題關鍵．16．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可求得的m值．【詳解】解：依題意得：1-m≠0且3-m=2,解得：m=【點睛】此題考查了一元二次方程的定義，熟悉掌握相關知識是解題關鍵.17．.【分析】由AD＝3DE，可得DE∶AE=1∶4,而后證明△DEF∽△AEB，列出比例式即可解決問題．【詳解】解：∵AD＝3DE，∴DE∶AE=1∶4∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DF∥AB，∴△DEF∽△AEB，∴DF∶AB=DE∶AE=1∶4即．故答案為:.【點睛】該命題以平行四邊形為載體，以考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應用為核心構(gòu)造而成；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、解答．18．##【分析】根據(jù)點E是AB的黃金分割點，可得，代入數(shù)值得出答案．【詳解】∵點E是AB的黃金分割點，∴．∵AB=2米，∴米．故答案為：（）．【點睛】本題主要考查了黃金分割的應用，掌握黃金比是解題的關鍵．19．2．【分析】根據(jù)平方差公式計算，再根據(jù)立方根、平方根化簡即可．【詳解】【點睛】本題考查平方差公式、立方根、平方根的含義，二次根式的混合運算，會識別公式是關鍵，正確計算是重點．20．2032【分析】本題主要查了因式分解的應用．根據(jù)完全平方公式原式變形為，再把，代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴原式21．(1)(2)【分析】本題主要查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先把原式化為一般式，得，再利用因式分解法解答，即可求解．【詳解】（1）解：∴，∴，解得：；（2）解：，整理得：，∴，∴，解得：．22．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，從而可證明∠AED=∠ACB，進而可證明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易證△EAF∽△CAG，所以，從而可求解．【詳解】（1）證明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=23．(1)見解析(2)【分析】（1）證明即可；（2）根據(jù)是等腰三角形分類討論即可．【詳解】（1）證明：，無論取何值，此方程必有實數(shù)根；（2）解：當為腰時，則或有一條邊為腰，的解為，，解得：，時原方程兩根為和，此時三角形三邊為，，，這樣的三角形不存在，不合題意，應舍去，當為底時，則，為腰，方程有兩個相等的實數(shù)根，，解得，綜上所述，的值．【點睛】本題考查了根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根的判別式的求法是解題的關鍵．24．(1)60(2)(3)60元或50元【分析】本題考查的知識點是生活中常見的商品打折銷售問題：（1）根據(jù)銷量等于原來的銷量降低的價格，即可求解；（2）根據(jù)銷量等于原來的銷量降低的價格，即可求解；（3）根據(jù)題意得出，(售價成本)(原來的銷量降低的價格)，據(jù)此列方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：當售價為每件50元，銷量為件；故答案為：60（2）解：根據(jù)題意得：商品的銷量為件；故答案為：（3）解：設每件商品應降價y元時，根據(jù)題意，得整理得：，解這個方程得：，答：每件商品售價60元或50元時，該商店銷售利潤達到1200元．25．(1)(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是關鍵．（1）是邊上的高，且，就可以得出，可得，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）證明，可得，再把，代入可得答案．【詳解】（1）解：∵是邊上的高，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴．26．(1)①

②或或(2)關系式為或，的最小值為【分析】（1）①當時，根據(jù)點和點的與運動可分別求出和的長，過點作垂直軸于點，則根據(jù)比例可求出和的長，進而可得到的長，即可得出點的坐標；②根據(jù)點和點的運動可表示出，然后分和是直角兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可；（2）過點作于，利用的正弦求出，然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解即可.【詳解】（1）①∵直線與軸，軸分別交于點、點，∴，，∴，當時，由點和點的運動可知，，如圖，過點作軸于點D，則，，即，，，