第十四章機械振動

機械振動機械振動第十四章振動vibrationmechanical第十四章振動簡諧振動的描畫簡諧振動的動力學(xué)阻尼振動受迫振動同方向同頻率簡諧振動的合成同方向不同頻率簡諧振動的合成諧振分析機械振動廣義振動：任一物理量(如位移、電流等)在某一數(shù)值附近作周期性變化。機械振動：物體在一定位置附近作周期性往復(fù)運動。自然界的振動心跳簡諧振動物體發(fā)活力械振動的條件：物體遭到一直指向平衡位置的回復(fù)力；物體具有慣性。掌握機械振動的根本規(guī)律是研討其它方式振動的根底。簡諧振動〔simpleharmonicvibration)是最簡單、最根本的振動理想模型。它是研討各種復(fù)雜振動的重要根底。物體距平衡位置的位移(或角位移)隨時間按余弦(或正弦)函數(shù)變化動力學(xué)特征簡諧振動的特征及描畫14.1簡諧振動的特征及描畫1.兩個典型模型：力或力矩的大小與質(zhì)點的位置坐標(biāo)或角位置坐標(biāo)量值成正比并反號。共同特征：以物體受力為零的平衡位置為坐標(biāo)原點程度光滑面，彈簧勁度質(zhì)量可忽略，物體質(zhì)量物體在任一位置受的彈性力以鉛垂方向為擺角參考軸，單擺在任一角位置所受的重力矩為那么sinsin取擺幅很小〔A〕彈簧振子〔B〕單擺X正X向反X向運動學(xué)特征2.運動學(xué)與動力學(xué)特征簡諧振動的速度Asin簡諧振動的加速度cosA運用轉(zhuǎn)動定律，同理也可求得單擺的角振動方程cosX簡諧振動微分方程對于給定的彈簧振子為常量，其比值亦為常量。令那么即得A為微分方程求解時的積分常量，由系統(tǒng)的初始條件決議。簡諧振動方程cosA該微分方程的解通常表成余弦函數(shù)續(xù)4簡諧振動的加速度cosAcosA簡諧振動的振動方程簡諧振動的速度AsinAA最大最大最大AAA簡諧振動參量3.描畫簡諧振動的物理量XAA振幅：的最大絕對值A(chǔ)周期：完成一次振動需時頻率：角頻率：彈簧振子單擺cosAAsin相位：是界定振子在時辰的運動形狀的物理量運動形狀要由位置和速度同時描畫，而和的正負取決于，不是指開場振動，而是指開場觀測和計時。所謂時質(zhì)點的運動形狀cosAAsin位置速度初始條件即為初相：是時，振子的相位。續(xù)6由和求給定振子的振幅AAcosAAsin消去得初相由和求給定振子的cosAAsinA消去得tan但由于在0~2p范圍內(nèi)，同一正切值對應(yīng)有兩個值，因此，還必需再根據(jù)和的正負進展判別。聯(lián)絡(luò)振子運動直觀圖不難作出判別且假設(shè)那么假設(shè)且那么且假設(shè)那么且假設(shè)那么〔第一象限〕〔第二象限〕〔第三象限〕〔第四象限〕旋轉(zhuǎn)矢量法AAXXOjM(0)Aj初相M(t)twtwM(t)twM(t)twM(t)M(t)twM(t)twM(T)Tw周期T4.簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法M(t)twM(t)twXOjM(0)j初相M(t)twA矢量端點在X軸上的投影對應(yīng)振子的位置坐標(biāo)t時辰的振動相位(wt﹢j)旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速逆時針轉(zhuǎn)動循環(huán)往復(fù)x=Acos(wt﹢j)簡諧振動方程續(xù)8旋轉(zhuǎn)矢量端點M作勻速圓周運動振子的運動速度〔與X軸同向為正〕wA其速率coscoswAsinsinjtwAXAAXOwjtwO旋轉(zhuǎn)矢量端點M的加速度為法向加速度，其大小為wA振子的運動加速度〔與X軸同向為正〕wAcoscosjtw和任一時辰的和值，其正負號僅表示方向。同號時為加速異號時為減速例一例1知0.040.0412簡諧振動的曲線完成下述簡諧振動方程cos解法提要A=0.04(m)T=2(s)w=2p/T=p(rad/s)cos0.04pp2Aw=p/2t=0v0從t=0作反時針旋轉(zhuǎn)時，A矢端的投影從x=0向X軸的負方運動，即，與知X~t曲線一致。v0SI試證明，假設(shè)選取受力平衡點作為位置坐標(biāo)原點，垂直彈簧振子與程度彈簧振子的動力學(xué)方程和振動方程一樣。平衡點在受力平衡點小球受彈性力大小選取受力平衡點作為位置坐標(biāo)原點小球在位置坐標(biāo)處所受彈性力合外力動力學(xué)方程微分方程的解：振動方程cosA均與程度彈簧振子結(jié)果一樣解法提要例二例三例3知彈簧振子x0=0t=0時v0=0.4m·s-1m=5×10-3kgk=2×10-4N·m-1完成下述簡諧振動方程coskm0.2(rad·s–1)x0v02(m)cos20.2(SI)解法提要v0x0=0知w相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為v0例四知例4某物體沿X軸簡諧運動，振幅A=0.12m，周期T=2s，t=0時x0=0.06m處初相j,t=0.5s時的位置x,速度v,加速度a物體背叛原點挪動到位置A=0.12m，T=2s,w=2p/T=prad·s-1,將j=p/3rad及t=0.5s代入諧振動的x,v,a定義式得xAcos(wt﹢j)0.104(m)Asin0.19(m·s-1)cosA1.03(m·s-2)解法提要x=Acos(wt﹢j)由簡諧振動方程t=0時0.06=0.12cosj得j=±p/3再由題意知t=0時物體正向運動，即Asin0且j=p/3，那么j在第四象限，故取例五解法提要AcosAcos或因且在第一象限應(yīng)取AcosAcos兩質(zhì)點振動相位差從旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出：時，質(zhì)點1第一次經(jīng)過平衡點A轉(zhuǎn)過1.06(s)A轉(zhuǎn)過時，質(zhì)點2第一次經(jīng)過平衡點2.13(s)知例5周期均為T=8.5s用旋轉(zhuǎn)矢量法兩質(zhì)點振動相位差兩質(zhì)點第一次經(jīng)過平衡點的時辰兩質(zhì)點1、2同在X軸上作簡諧振動t=0時在處質(zhì)點2AA向平衡點運動質(zhì)點1在處向平衡點運動振幅A一樣AAJ為m繞O點轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量。復(fù)擺〔物理擺〕可見，復(fù)擺的運動也滿足諧振動方程。且其圓頻率與周期為當(dāng)時簡諧振動的判別式平動轉(zhuǎn)動振動能量簡諧振動的能量簡諧振動的能量〔以X=0處為零勢點〕系統(tǒng)的動能Asin系統(tǒng)的勢能Acos系統(tǒng)的機械能AA振子運動速度cosAAsin簡諧振動方程振動系統(tǒng)：彈簧勁度振子質(zhì)量振動角頻率如程度彈簧振子均隨時間而變且能量相互轉(zhuǎn)換變到最大時變?yōu)榱阆到y(tǒng)的機械能守恒。及A變?yōu)榱阕兊阶畲髸r時間能量例六動能Asin勢能Acos解法提要tan那么其中得tan當(dāng)時tan振動相位tan或例1一程度彈簧振子彈簧勁度振子質(zhì)量振幅A知沿X軸振動當(dāng)振動系統(tǒng)的以平衡點為原點位置坐標(biāo)x相等時動能值與勢能值振子的cosA代入中，解得能量位置例2有一程度彈簧振子。K=24N/m，重物質(zhì)量m=6kg，靜止在平衡位置。設(shè)以一程度恒力F=10N作用于物體〔不計摩擦〕，使之從平衡位置向左運動了0.05m，此時撤去力F。當(dāng)重物運動到左方最遠位置時開場計時，求：振子的運動方程。OA?A！cosA例七該擺動系統(tǒng)的機械能守恒數(shù)學(xué)表達式該擺的運動學(xué)微分方程及擺動周期動能剛體〔直棒〕轉(zhuǎn)動動能勢能系統(tǒng)的重力勢能以垂態(tài)直棒中心點C為重力零勢點解法提要cossin令機械能機械能守恒，即為恒量，即得簡諧角振動微分方程該擺的振動周期例3勻質(zhì)細直懸棒質(zhì)量m、長L知在鉛直面內(nèi)擺動擺幅很小轉(zhuǎn)動慣量振動合成一簡諧振動的合成簡諧振動的合成簡諧振動的合成同頻率同方向一、兩個coscos且一樣同在X軸合成振動用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動方程coscosarctanarctanarctancossinsincos與計時起始時辰有關(guān)合成初相分振動初相差與計時起始時辰無關(guān)，但它對合成振幅屬相長or相消合成起決議作用續(xù)18簡諧振動同頻率同方向兩個合成振幅的討論coscos合振動分振動；coscos其中，合振幅假設(shè)...那么cos為合振幅能夠到達的最大值假設(shè)那么假設(shè)為其它值，那么處于與之間假設(shè)...那么cos為合振幅能夠到達的最小值假設(shè)那么例1試用最簡單的方法求出以下兩組簡諧振動合成后所得合振動的振幅：第一組：第二組：0.05cos(3t+π/3)mx1=0.05cos(3t+7π/3)mx2=0.05cos(3t+π/3)mx1=0.05cos(3t+4π/3)mx2=A=A1+A2=0.05+0.05=0.10(m)A=A1-A2=0==3π73ππΦΔ2解：第一組：==3π43ππΦΔ第二組例2三個同方向、同頻率的諧振動為試?yán)眯D(zhuǎn)矢量法求出合振動的表達式。x0.1cos(10t+π/6)m1=0.1cos(10t+π/2)mx2=0.1cos(10t+5π/6)mx3=解：=A1A2A3==0.1=56πφ3=2πφ2=6πφ1A2Aφ2A′φ1A3A1xoφ3+=A1A3A′+=A2A′=A+A1A2A3+=A1A2=0.2=2πφ0.2cos(10t+π/2)mx=例3一質(zhì)點同時參與兩個在同不斷線上的簡諧振動:試求：其合振動的振幅和初相位(式中x以m計,t以s計)。0.04cos(2t+π/6)mx1=0.03cos(2t-5π/6)mx2==0.01mφ2A1A2cos()++=A22A1A22φ1=(0.04)2+(0.04)2+2×0.04×0.03cos(-π)解：arctg+=φ1A1sinφ2A2sinφ1A1cosφ2A2cos+φ()+arctg=230.04×210.04×210.04×()+0.04×23()3arctg=1=π6例八cos0.05cos0.06cos