華師大版 八年級下第19章 矩形、菱形與正方形19.2 菱形2. 菱形的判定

菱形的判定數(shù)學(xué)華師大版八年級下新知導(dǎo)入取兩根長度不等的細(xì)紙條，將兩根紙條的中點重合并固定在一起，用筆和直尺畫出紙條四個端點的連線，則這四條線段組成一個什么圖形，若轉(zhuǎn)動其中一根紙條，使兩根紙條之間的夾角等于90°，請猜想這時圖形的形狀是什么圖形？新知講解1．定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．菱形的定義作為我們判定菱形的基本方法，接下來我們從邊上來研究菱形的判定方法．∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD．∴四邊形ABCD是菱形．?dāng)?shù)學(xué)語言新知講解四條邊相等的四邊形是菱形．菱形的四條邊相等．逆命題這個逆命題成立嗎？新知講解作一個四條邊都相等的四邊形．步驟：1．畫兩條相等的線段AB、CD；2．分別以點B和點D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點C；3．連結(jié)BC、CD，即得一個四條邊都相等的四邊形ABCD．這個四邊形是菱形嗎？新知講解命題：四條邊相等的四邊形是菱形．已知：在四邊形ABCD中，

AB=BC=CD=DA．求證：四邊形ABCD是菱形．證明：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形．定理：四條邊相等的四邊形是菱形．菱形判定定理1新知講解有三條邊相等的四邊形是菱形嗎？請同學(xué)動手畫一畫，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？結(jié)論：有三條邊相等的四邊形不是菱形．新知講解數(shù)學(xué)語言：在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形．菱形的判定1：四條邊都相等的四邊形是菱形．新知講解例4如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是四條邊的中點，試問四邊形EFGH是什么圖形？并說明理由．解：∵H點為AD的中點，∴AH=HD，∵E點為AB的中點，AE=AB，G點為DC的中點，DG=CD，又∵AB=DC，∴AE=DG．∵∠HAE=∠HDG，∴△EAH≌△GDH，∴HE=HG，同理EF=FG=HG=HE，∴四邊形EFGH是菱形．新知講解若四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則四邊形ABCD是不是菱形？結(jié)論：對角線互相垂直的四邊形不能判定為菱形．對角線互相垂直的平形四邊形是菱形嗎？新知講解作一個兩條對角線互相垂直的平行四邊形．步驟：1．作兩條互相垂直的直線m，n，記交點為點O；2．以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，在直線m上截取相等的兩條線段OA、OC；3．以點O為圓心，另一適當(dāng)長為半徑畫弧，在直線n上截取相等的兩條線段OB、OD；4．順次連結(jié)所行的四點，即得一個對角線互相垂直且平分的四邊形ABCD，顯然，它是一個對角線互相垂直的平行四邊形．這個平行四邊形是菱形嗎？新知講解命題：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．已知：在平行四邊形ABCD中，AC⊥BD．求證：平行四邊形ABCD是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC．又∵AC⊥BD，∴BA=BC，

∴平行四邊形ABCD是菱形．（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．新知講解數(shù)學(xué)語言：∵在□ABCD中，AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．菱形的判定2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．平行四邊形ABCDAC⊥BD菱形ABCD新知講解取兩根長度不等的細(xì)紙條，將兩根紙條的中點重合并固定在一起，用筆和直尺畫出紙條四個端點的連線，則這四條線段組成一個什么圖形，若轉(zhuǎn)動其中一根紙條，使兩根紙條之間的夾角等于90°，請猜想這時圖形的形狀是什么圖形？這四條線段組成平行四邊形，理由：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．當(dāng)兩根紙條之間的夾角等于90°時，這時圖形是菱形，理由：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．新知講解例5如圖，已知矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F．

求證：四邊形AFCE是菱形．分析：要證四邊形AFCE是菱形，由已知條件可知EF⊥AC，所以只需證明四邊形AFCE是平行四邊形，又知EF垂直平分AC，所以只需證明OE=OF．新知講解證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠1=∠2，∵EF平分AC，∴OA=OC．又∵∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF．∴四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．1、判斷題（1）對角線互相垂直的四邊形是菱形（）（2）一條對角線垂直另一條對角線的四邊形是菱形（）（3）對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形（）（4）對角線相等的四邊形是菱形（）（5）對角線互相平分且鄰邊相等的四邊形是菱形（）（6）兩組對邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形（）課堂練習(xí)×√××√√課堂練習(xí)2．□ABCD的對角線AC與BD相交于點O，

（1）若AB=AD，則□ABCD是

形；

（2）若AC=BD，則□ABCD是

形；

（3）若∠ABC是直角，則□ABCD是

形；

（4）若∠BAO=∠DAO，則□ABCD是

形．菱矩矩菱課堂練習(xí)3、下列命題中正確的是（）A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．三條邊相等的四邊形是菱形C．四條邊相等的四邊形是菱形D．四個角相等的四邊形是菱形4、對角線互相垂直且平分的四邊形是（）A．矩形B．一般的平行四邊形C．菱形D．以上都不對5、下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD，AC與BD互相平分B．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDC．AB=BC=CD=DAD．AB=CD，AD=BC，AC⊥BDCCB課堂練習(xí)6、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點，且AE∥CD，CE∥AB．證明：四邊形ADCE是菱形．證明：∵∠ACB=90°，D為AB的中點，∴AD=CD=BD．∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形且AD=CD，∴四邊形ADCE是菱形．拓展提高7、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，BD平分∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）過點D作DE⊥BD，交BC的延長線于點E，若BC=5，BD=8，求四邊形ABED的周長．拓展提高（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AD=AB，∵BA=BC，∴AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵BA=BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°，∵CB=CD，∴∠DBC=∠BDC，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE=BC，∴BE=2BC=10，∵BD=8，∴DE==6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=5，∴四邊形ABED的周長=AD+AB+BE+DE=26．中考鏈接【2018?四川】如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點，且DE=BF，AC⊥EF．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD//BC，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵AE//CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴四邊形AECF是菱形．

課堂總結(jié)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．對角線互相垂直的平