湖南省衡陽市衡陽縣五校聯(lián)考2023-2024學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試題

湖南省衡陽市衡陽縣五校聯(lián)考2023-2024學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試題一、選擇題（共8小題，滿分32分，每小題4分）1．若y＝x?3+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．計算：(30A．67 B．?67 C．2033．如圖，在甲、乙兩個大小不同的6×6的正方形網格中，正方形ABCD，EFGH分別在兩個網格上，且各頂點均在網格線的交點上．若正方形ABCD，EFGH的面積相等，甲、乙兩個正方形網格的面積分別記為S甲，S①正方形ABCD的面積等于S甲的一半；②正方形EFGH的面積等于S乙的一半；③上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．③ D．①②③4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別為CA、CB的中點，AF平分∠BAC，交DE于點F，若AC=6，BC=8，則EF的長為（）A．2 B．1 C．4 D．55．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，則方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，56．已知a＞b，則aa?bA．a B．?a C．?a D．7．已知，在平面直角坐標系中點A、B的坐標分別為A（1，4），B（5，0）．點M、N分別為x軸、y軸上的兩個動點．動點P從點A出發(fā)以1秒1個單位的速度沿A→N→M到點M，再以1秒2個單位的速度從點M運動到點B后停止．則點P運動花費的時間最短為（）秒．A．52 B．42 C．5 D．48．實數(shù)a，b，c滿足a﹣b+c＝0，則（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0二、填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）9．我們規(guī)定運算符號?的意義是：當a＞b時，a?b＝a+b；當a≤b時，a?b＝a﹣b，其它運算符號意義不變．按上述規(guī)定，計算(3?310．已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）關于x軸對稱，則（a+b）2022的值為．11．設x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的兩個根，則x21+2x1+x2＝12．如圖△ABC中，E、F為BC的三等分點，M為AC的中點，BM與AE、AF分別交于G、H，則BG：GH：HM＝．13．將函數(shù)f（x）的圖象上每個點的橫、縱坐標都乘以﹣1，所得的新函數(shù)記作g（x），我們稱f（x）與g（x）互為位似函數(shù)．則函數(shù)y＝3x2﹣1的位似函數(shù)是．14．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是15．如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點O，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F，交AD、BC于點M、N．下列結論：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤點O在M、N兩點的連線上．其中正確的是．三、解答題（共6小題，滿分60分）16．已知a＝15+2，b＝（1）求a+b的值；（2）設m是a小數(shù)部分，n是b整數(shù)部分，求代數(shù)式4m2+4mn+n2的值．17．接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑.現(xiàn)有甲、乙兩個社區(qū)疫苗接種點，已知甲社區(qū)接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)是乙社區(qū)接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)的1.25倍，且甲社區(qū)接種點完成3000人的疫苗接種所需的時間比乙社區(qū)接種點完成4000人的疫苗接種所需的時間少（1）求甲、乙兩個社區(qū)疫苗接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)；（2）一段時間后，乙社區(qū)疫苗接種點加大了宣傳力度.該接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)比原來平均每天接種疫苗的人數(shù)增加了25%，受乙社區(qū)疫苗接種點宣傳的影響，甲社區(qū)疫苗接種點平均每天接種疫苗的人數(shù)比原來平均每天接種疫苗的人數(shù)減少了5m人，但不低于800人，這樣乙社區(qū)接種點(m+15)天接種疫苗的人數(shù)比甲社區(qū)接種點2m天接種疫苗的人數(shù)多6000人，求m18．閱讀下面的解題過程體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題化簡：(1?3x解：隱含條件1﹣3x≥0，解得：x?1∴1﹣x＞0．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．（1）【啟發(fā)應用】

按照上面的解法，試化簡(x?3（2）【類比遷移】

實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：a2（3）已知a，b，c為ABC的三邊長．化簡：(a+b+c19．如圖（1），在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），過C作CB⊥x軸，且滿足（a+b）2+a?b+4=0．（1）求三角形ABC的面積．（2）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數(shù)．（3）在y軸上是否存在點P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．20．閱讀材料，根據(jù)上述材料解決以下問題：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x材料2：已知實數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求nm解：由題知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以nm（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0兩個根為x1，x2，則：x1+x2＝，x1x2＝．（2）類比探究：已知實數(shù)m，n滿足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思維拓展：已知實數(shù)s、t分別滿足7s2+7s+1＝0，t2+7t+7＝0，且st≠1．求2st+7s+2t21．如圖，在正方形ABCD中，邊長為4，∠MDN＝90°，將∠MDN繞點D旋轉，其中DM邊分別與射線BA、直線AC交于E、Q兩點，DN邊與射線BC交于點F；連接EF，且EF與直線AC交于點P.（1）如圖1，點E在線段AB上時，①求證：AE＝CF；②求證：DP垂直平分EF；（2）當AE＝1時，求PQ的長.

答案解析部分1．【答案】D【知識點】二次根式有意義的條件；解一元一次不等式組；點的坐標與象限的關系【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：x?3≥06?2x≥0解得：x=3，∴y=3?3∴點P(3，∴點P(x，故答案為：D。

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x、y的值，再根據(jù)平面直角坐標系內各象限點的坐標特征直接判斷即可．2．【答案】A【知識點】二次根式的混合運算【解析】【解答】解：(30+21?3)(3+10?7故答案為：A.

【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則，結合平方差公式和完全平方公式計算。3．【答案】B【知識點】勾股定理；正方形的性質【解析】【解答】解：設甲正方形網格中每一小格長度為a，乙正方形網格中每一小格長度為b，則S甲=6a?6a=36a2，AB∴S正方形ABCD＝AB2=20a2∴正方形ABCD的面積大于S甲的一半；正方形EFGH的面積等于S∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH，∴20a∴a2∴36a2：∴符合題意結論的序號是②③，故答案為：B．

【分析】先求出正方形ABCD的面積大于S甲的一半；正方形EFGH的面積等于S乙的一半，再結合S正方形ABCD＝S正方形EFGH，可得20a2=18b24．【答案】A【知識點】平行線的判定與性質；勾股定理的應用；三角形的中位線定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=AC2+BC2

=62+82

=10

∵D、E分別為CA、CB的中點

∴DE是△ABC的中位線

∴DE=12AB=5，DE//AB

∴∠AFD=∠BAF

∵AF平分∠BAC

∴∠DAF=∠BAF

∴∠DAF=∠AFD

故答案為：A.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角形中位線定理求出DE的長和DE∥AB，然后根據(jù)平行線的性質并結合角平分線的定義看得到∠DAF=∠DFA，進而得到DF=AD，即可求出EF的長。5．【答案】B【知識點】一元二次方程的根【解析】【解答】解：記y=x?2，則a(x+m?2)2+n=0即a故x=y+2=?1，3.故答案為：B.

【分析】利用換元法令y=x?2，可得到y(tǒng)的值，即可算出x的值，即方程a(x+m?2)6．【答案】D【知識點】二次根式的性質與化簡【解析】【解答】解：由題意可得：?(b?a)2∴a<0∵a>b∴0>a>b∴a故答案為：D.

【分析】利用二次根式的定義可得a<0，即0>a>b，再根據(jù)二次根式的性質求解．7．【答案】A【知識點】二次根式的應用【解析】【解答】解：如圖，作點A(1，4)關于y軸的對稱點A′過點B作x軸的垂線，在此垂線上取一點C使BC=BM，∴CM=2連接A′N，MN，CM，AA′交當點A′，N，M，C在同一條線上時，AN+MN+2BM在Rt△CBM中，BM=BC，∴∠BMC=45°，∴∠OMN=∠BMC=45°，∴∠ONM=90°?∠OMN=45°，∴∠A∵A(1，4)，∴A′D=1，∴OD=4，Rt△A′DN中，∴ON=3，∴點N(0，3)，∴A′C的解析式為當y=0時，則x=3，∴M(3，0)，A′M=42∴點P運動花費的時間最短為42故答案為：A.

【分析】先確定出當A′，N，M，C在同一條直線上時，點P運動時路程最短，最短為A′C8．【答案】C【知識點】配方法的應用【解析】【解答】解：∵a?b+c=0∴b=a+c∴b====(a?c)∵(a?c)∴b2故答案為：C.

【分析】先由a?b+c=0得到b=a+c，然后化簡b2?4ac，利用配方法轉化為9．【答案】2【知識點】二次根式的加減法；定義新運算【解析】【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：(===23故答案為：23

【分析】根據(jù)題中的新定義式，結合二次根式加減法則計算．10．【答案】1【知識點】代數(shù)式求值；關于坐標軸對稱的點的坐標特征【解析】【解答】解：∵P1(a?1，5)和P2∴a?1=2，解得a=3，∴(a+b)2022故答案為：1.

【分析】根據(jù)關于x軸對稱的兩個點，橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，求得a，11．【答案】2022【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關系【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程∴x1∴x1∴x1故答案為：2022.

【分析】一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若x12．【答案】5：3：2【知識點】平行線分線段成比例【解析】【解答】解：過點M作MK∥BC，交AF，AE分別于K，N，∵M是AC的中點，∴MNEC∵E、F為BC的三等分點，∴BE=EF=FC，∴MN=2NK，∵MHBH=MK∴MH=14BH設MH=a，BH=4a，BG=GM=5∴GH=GM?MN=3∴BG：GH：HM=5故答案為：5：3：2.

【分析】先過點M作MK∥BC，交AF，AE分別于K，N，由M是AC的中點與E、F為BC的三等分點，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得MH=14BH13．【答案】y＝﹣3x2+1【知識點】位似變換【解析】【解答】解：∵將函數(shù)f(x)的圖象上每個點的橫、縱坐標都乘以?1，所得的新函數(shù)記作g(x)，我們稱f(x)與g(x)互為位似函數(shù)，∴函數(shù)y=3x2?1即y=?3x故答案為：y＝﹣3x2+1.

【分析】根據(jù)“位似函數(shù)”函數(shù)的定義作答．14．【答案】3＜k≤4【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；三角形三邊關系【解析】【解答】解：由題意得：x?1=0，x∴x設x2?2x+k4=0的兩根分別是m、n∴m?n=(根據(jù)三角形三邊關系定理，得：m?n<1<m+n，即4?k<1<2∴4?k<14?k>0故答案為：3＜k≤4.

【分析】先根據(jù)題意得出方程的一個根為1，然后設另一個一元二次方程的兩個根為m和n，再根據(jù)根的判別式、完全平方公式、三角形三邊的關系m?n<1＜m+n即可求得k的取值范圍．15．【答案】①②③⑤【知識點】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定；正方形的性質【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AC、BD為對角線，∴∠MAE=∠EAP=45°，根據(jù)題意MP⊥AC，故∠AEP=∠AEM=90°，∴∠AME=∠APE=45°，在三角形△APE與△AME中，∠AEP=∠AEMAE=AE∴△APE≌△AME(ASA)，故①正確；∴ME=EP=AE=1同理，可證△PBF≌△NBF，PF=NF=1∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PM⊥AC，PN⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，∴四邊形PEOF為矩形，∴PF=OE，∴OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，又∵ME=EP=AE=1FP=FN=1∴PM+PN=AC，故②正確；∵四邊形PEOF為矩形，∴PE=OF，在直角三角形OPF中，OF∴PE2+P∵△BNF是等腰直角三角形，而P點是動點，無法保證△POF是等腰直角三角形，故④錯誤；連接MO、NO，在△OEM和△OEP中，OE=OE∴△OEM≌△OEP，OM=OP，同理可證△OFP≌△OFN，OP=ON，又∵∠MPN=90°，OM=OP=ON，∴M，N，P在以O為圓心，OP為半徑的圓上，又∵∠MPN=90°，∴MN是圓O的直徑，∴點O在M、N兩點的連線上．故⑤正確．故答案為：①②③⑤.

【分析】①根據(jù)題意及正方形的性質，利用ASA判斷△APE≌△AME；②根據(jù)△APE≌△AME及正方形的性質，得ME=EP=AE=12MP，同理可證PF=NF=12NP，根據(jù)題意可證四邊形OEPF為矩形，則OE=PF，則③根據(jù)四邊形PEOF為矩形的性質，在直角三角形OPF中，使用勾股定理，即可判斷；④△BNF是等腰直角三角形，而P點是動點，無法保證△POF是等腰直角三角形，故④可判斷；⑤連接MO、NO，證明OP=OM=ON，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可證明．16．【答案】（1）解：a＝15+2=a+b＝5﹣2+5+2＝25（2）解：∵2＜5＜3，∴0＜5﹣2＜1，4＜5+2＜5，∴m＝5﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（25﹣4+4）2＝20【知識點】代數(shù)式求值；分母有理化；二次根式的混合運算【解析】【分析】（1）根據(jù)分母有理化的方法，將a、b分別進行化簡，再將化簡結果代入計算即可；

（2）根據(jù)無理數(shù)的估算求出m、n的值，再代入求值。注意能分解因式的先分解因式后再代入。17．【答案】（1）解：設乙社區(qū)疫苗接種點平均每天接種x人，則甲社區(qū)疫苗接種點平均每天接種1.由題意得：30001解得：x=800，經檢驗，x=800是原分式方程的解，且符合題意，∴1.答：甲社區(qū)疫苗接種點平均每天接種1000人，乙社區(qū)疫苗接種點平均每天接種800人；（2）解：由題意得：(1000?5m)×2m+6000=800×(1+25%整理得：m2解得：m1=90，∵1000?5m≥800，∴m≤40，∴m答：m的值為10．【知識點】一元二次方程的其他應用；分式方程的實際應用；一元二次方程的實際應用-工程問題【解析】【分析】（1）設乙社區(qū)疫苗接種點平均每天接種x人，則甲社區(qū)疫苗接種點平均每天接種1.25x人，根據(jù)甲社區(qū)接種點完成3000人的疫苗接種所需的時間比乙社區(qū)接種點完成4000人的疫苗接種所需的時間少2天即可列出分式方程即可求解；

（2）根據(jù)乙社區(qū)接種點(m+15)天接種疫苗的人數(shù)比甲社區(qū)接種點2m天接種疫苗的人數(shù)多18．【答案】（1）解：隱含條件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）解：觀察數(shù)軸得隱含條件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）解：由三角形的三邊關系可得隱含條件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．【知識點】二次根式的性質與化簡；三角形三邊關系【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件判斷出x的范圍，再根據(jù)二次根式的性質化簡；（2）由a，b在數(shù)軸上的位置判斷出a+b<0、b?a>0，再利用二次根式的性質化簡即；（3）由三角形的三邊關系得出a?b?c<0，b?a?c<0，c?b?a<0，再利用二次根式的性質化簡計算．19．【答案】（1）解：∵（a+b）2≥0，a?b+4≥0，∴a=﹣b，a﹣b+4=0，∴a=﹣2，b=2，∵CB⊥AB∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2）∴三角形ABC的面積=12（2）解：∵CB∥y軸，BD∥AC，∴∠CAB=∠ABD，∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，過E作EF∥AC，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，∴∠AED=∠1+∠2=12（3）解：存在．理由如下：設P點坐標為（0，t），直線AC的解析式為y=kx+b，把A（﹣2，0）、C（2，2）代入得?2k+b=02k+b=2解得k=1∴直線AC的解析式為y=12∴G點坐標為（0，1），∴S△PAC=S△APG+S△CPG=12|t﹣1|?2+1∴P點坐標為（0，3）或（0，﹣1）．【知識點】點的坐標；三角形的面積【解析】【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質得到a=﹣b，a﹣b+4=0，解得a=﹣2，b=2，則A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），即可計算出三角形ABC的面積=4；

（2）由于CB∥y軸，BD∥AC，則∠CAB=∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6=90°，過E作EF∥AC，則BD∥AC∥EF，然后利用角平分線的定義可得到∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=×90°=45°；

（3）先根據(jù)待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=x+1，則G點坐標為（0，1），然后利用S△PAC=S△APG+S△CPG進行計算．20．【答案】（1）﹣2；?（2）解：∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，∴m+n＝1，mn=?1∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣17＝﹣1（3）解：把t2+7t+7＝0，兩邊同時除以t2得：7?（1t）2+7?1則實數(shù)s和1t可看作方程7x2∴s+1t＝﹣1，s?1t＝∴2st+7s+2＝2s+7?st+＝2（s+1t）+7?＝2×（﹣1）+7×1＝﹣1．【知識點】代數(shù)式求值；一元二次方程的根與系數(shù)的關系【解析】【解答】（1）x1+x故答案為?2；?15【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系直接得出答案；（2）由題意得出m、n可看作方程7x2?7x?1=0，據(jù)此知m+n=1（3）把t2+7t+7=0變形為1+7?1t+7?(1t)2=021．【答案】（1）解：①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，∴∠ADC＝∠MDN＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDE（ASA），∴AE＝CF.②∵△ADE≌△CDE（ASA），∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DAC＝45°，∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，∴△AQD∽△EQP，∴AQQE∴AQDQ∵∠AQE＝∠PQD，∴△AQE∽△DQP，∴∠DDP＝∠QAE＝45°，∴∠DPE＝90°，∴DP⊥EF，∵DE＝DF，∴PE＝PF，∴DP垂直平分線段EF.（2）解：作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G.在Rt△ADE中，DE＝AD∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HO＝QE＝AH＝EQ，設QH＝x，∵12×4×x+12×1×x＝∵x＝45∴AQ＝452，DQ＝DH2+H∵△AQD∽△EQP，∴AQ?PQ＝DQ?EQ，∴PQ＝4175【知識點】正方形的性質；相似三角形的判定與性質；線段垂直平分線的判定；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】（1）①由正方形的性質可得DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，由角的和差關系可推出∠ADE＝∠CDF，然后證明△ADE≌△CDE，據(jù)此可得結論；②由全等三角形的性質可得DE＝DF，求出∠DEF＝45°，證明△AQD∽△EQP，△AQE∽△DQP，求出∠DPE＝90°，據(jù)此證明；

（2）作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G，由勾股定理可得DE，易知HO＝QE＝AH＝EQ，設QH＝x，則由三角形的面積公式可得x的值，進而得到AQ、DQ、EQ的值，由相似三角形的性質可得AQ?PQ＝DQ?EQ，據(jù)此可得PQ的值.

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：120分分值分布客觀題（占比）40.0(33.3%)主觀題（占比）80.0(66.7%)題量分布客觀題（占比）10(