山西省太原市高中數(shù)學競賽解題策略-幾何分冊第13章-根軸

第13章根軸定義從一點作一圓周的任一割線，從點起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點對于這個圓周的冪①沈文君.根軸的性質及應用[J].中等數(shù)學，2004〔1〕：610.．①沈文君.根軸的性質及應用[J].中等數(shù)學，2004〔1〕：610.由相交弦定理及割線定理，知點的冪是定值．假設點在圓內，那么點的冪等于以該點為中點的弦半弦長的平方；假設點在圓外，那么點的冪等于從該點所引圓周的切線長的平方；假設點在圓周上，那么點的冪等于0．由定義，關于圓周的冪有以下結論．結論1點對于以為圓心、以為半徑的圓周的冪，等于及半徑的關系式．結論2對于兩圓有等冪的點的軌跡，是一條過連心線上一定點且垂直連心線的直線．事實上，設點到圓和圓的冪相等，圓，圓的半徑分別為，〔〕，那么，即如圖13-1，設的中點為，于點，那么易得所以，過定點的垂線即是兩圓等冪點的軌跡．這條直線稱為兩圓的根軸或等冪軸．特別地，假設兩圓同心，那么．從而，同心圓的根軸不存在；假設，圓變成一點，那么點對于圓的冪是．此時，直線〔軌跡〕稱為一圓與一定點的根軸．根軸有下面的性質．性質1假設兩圓相交，其根軸就是公共弦所在的直線．性質2假設兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點的公切線．性質3三個圓，其兩兩的根軸或相交于一點，或互相平行．事實上，假設三條根軸中有兩條相交，那么這一交點對于三個圓的冪均相等，所以必在第三條根軸上，這一點，稱為三個圓的根心．顯然，當三個圓的圓心的一條直線上時，三條根軸互相平行．當三個圓的圓心不共線時，根心存在．性質4假設兩圓相離，那么兩圓相離，那么兩圓的四套公切線的中點在根軸上．性質5一點對于不同心兩圓、的冪為，，是這兩圓的等冪軸，于，那么．即一點對于不同心兩圓的冪之差等于等冪軸到該點的距離乘以圓心距之積的2倍．證明設于，作于，便得推論假設兩圓不同心，那么其中一個圓的任何點對于另一圓的冪的絕對值，必等于該點到等冪軸的距離乘以圓心距之積的2倍．即假設點在上，那么，此時．下面給出運用上述性質解題的例子．例1〔IMO50預選題〕的內切圓分別與邊，切于點，，與交于點，點，滿足四邊形和四邊形式平行四邊形．證明：．證明如圖13-3，設的內切圓和內的旁切圓分別為圓和圓，圓和圓與邊分別切于點，，圓與直線，分別切于點，．由，得，．因此，對于點，，它們到點的距離等于它們向圓所引的切線段的長．從而，是點圓和圓的根軸．同理，是點圓和圓的根軸．于是，與的交點為圓，圓，圓的根心．所以．例2〔2007年第45屆越南數(shù)學奧林匹克題〕下底邊為〔即，且〕的梯形內接于．是在直線上移動的點，且使得不與相切．以為直徑的圓交于點，記與交于點，是與的交點〔〕．求證：直線通過一定點．證明如圖13-4，記關于的對稱點為．下面證明：、、三點共線，也就是直線通過定點．記以為直徑的圓為，以為直徑的圓為，注意到，那么直線、分別為與，的根軸．記以為直徑的圓為，以為直徑的圓為，注意到，那么之心啊、分別為與，的根軸．記與直線交于點，由，知，而，于是，知點在圓上，從而，直線是、的根軸．由根心定理，知三個圓、、的根軸、、交于點．因此，、、三點共線．例3〔2023年美國數(shù)學奧林匹克題〕如圖13-5，設圓和交與點、．過的圓心的直線交圓于點、，過的圓心的直線交于點、．證明：假設、、、四點共圓，那么該圓的圓心在直線上．證明設、分別為圓、的圓心，聯(lián)結，過作的垂線，過作的垂線，設與交于點．記過、、、的圓為，那么為的圓心．注意到、、分別為圓與，圓與，圓與的根軸．于是，直線、、共點，設為〔當、、兩兩平行時，視為無窮遠點〕．由知．同理，．于是，知為的垂心〔當為無窮遠點時，在所在直線上〕．因此，．又為上一點，而．故在直線上．例4〔2006年第19屆韓國數(shù)學奧林匹克題〕在中，，的內切圓與，，的切點分別為，，．記與的不同于點的交點為，過點作的垂線交于點，，分別是與直線，的交點．求證：是線段的中點．證明如圖13-6．記過點且平行于的直線與過點且垂直的直線交點為，直線與的交點為，直線與的交點為．由，知，，，共線．由，知．又，知，，，，五點共圓．記此圓為．由，知，，，四點共圓，記此圓為．由根軸性質3，知，圓，圓兩兩相交的根軸，，交于點，而之間與相交于，從而與重合．于是，由，有，即知．由，有，即知．注意懂啊，故，即是線段的中點．例5〔2007年第45屆越南數(shù)學奧林匹克題〕下底邊為〔即，且〕的題型內接于．是在直線上移動的點，且使得不與相似．以為直徑的圓交于點，記與交于點，是與的交點〔〕．求證：直線通過一定點．證明如圖13-7，記關于對稱的點為．下面證明：、、三點共線，也就是直線通過頂點．注意到直線是和以為直徑的圓〔記為圓〕的根軸，由于，因此直線是和以為直徑的圓〔記為圓〕的根軸．記與直線交于點，由，得，而，于是，知點在圓上，從而，直線是圓和的根軸．由根軸定理，知三個圓，，的根軸，，交于根心．因此，、、三點共線．例6〔2023土耳其國家隊選拔賽題〕以為圓心，為半徑的圓為四邊形的內切圓．設，分別為與、與的交點，為對角線與的交點．證明：，其中為點到直線的距離．證明如圖13-8，設，，，分別為四邊形與內切圓相切的切點，且分別在邊，，，上．過作于，那么在上．一方面，由牛頓定理，知與的交點和對角線與的交點重合，即與的交點為．另一方面，，，，和，，，分別四點共圓，為這兩個圓的另一交點，因此，直線，，分別為這兩個圓和四邊形內切圓的根軸，從而由根軸定理，為其根心．故．例7〔2003年第29解俄羅斯數(shù)學奧林匹克題〕如圖13-9，在銳角的邊和上各取一點和，四邊形的兩條對角線相于點．和的垂心分別為，．證明：如果直線經過和的外接圓的交點，那么它必定經過和的外接圓的交點．證明分別以對角、為直徑作圓和圓．設，，、分別是和的高，其中，在圓上，點、在圓上．于是，、、、四點共圓．從而，即點位于圓和圓的根軸上．同理，點也位于圓和圓的根軸上．于是，該根軸就是直線取對角線、的中點分別為、，那么、分別為圓、圓的圓心．根據題設，點位于圓和圓的根軸上，所以．〔*〕注意到同弧上的圓周角相等，有，．所以，．因此，〔*〕式中的平方差或者等于0，或者是它們的相似比的平方．假設該平行差為，有，于是，這與為銳角三角形矛盾．故該平方差相似比的平方，又由有．從而有，故，于是，知．同樣，由，，有，亦有．而，那么，即關于圓和圓的冪相等．故點在圓和圓的根軸上．練習十三1．從半圓上的一點向直徑引垂線，設垂足為，作圓分別切、、于點，，．求證：．2．〔1992年中國臺北數(shù)學奧林匹克〕設是的內心，過作的垂線分別交邊，于點，．求證：分別與、相切于、的圓必與的外接圓圓相切．3．〔1972年全蘇數(shù)學奧林匹克競賽試題〕凸四邊形的兩條對角線交于點，和的垂心分別為和，和的重心分別為和．證明：．4．在凸五邊形中，，，為形內一點，使得，．證明：．5．〔第30屆俄羅斯數(shù)學奧林匹克競賽試題〕設銳角的外心為，的外心為，點邊的中點，在邊，上分別取點，，使得．證明：．6．〔1995年第36屆IMO試題〕設，，，是一條直線上依次排列的四個不同的點，分別以，為直徑的圓交于和，直線交于．假設為直線上異于的一點，直線與以為直徑的圓交于及，直線與以Wie直徑的圓交于及．試證：，和共點．7．〔1998年第35屆IMO預選題〕一圓圓切于兩條平行線和；第二個圓圓切于，外切圓于；第三個圓圓切于，外切圓于，外切圓于，交于，求證：是的外心．8．〔2004~2005年第22屆伊朗數(shù)學奧林匹克題〕的外接圓的圓心為，是邊的中點，與外接圓交于點，，點在上，過點的外接圓的切線與相交于點．用同樣的方式，可以構造點和，證明：，，三點共線．9．〔2006年第9屆香港數(shù)學奧林匹克題〕凸四邊形的外接圓的圓心為，，與交于點，假設為四邊形內部一點，使得．求證：，，三點共線．10．〔2005年第31屆俄羅斯數(shù)學奧林匹克11年級題〕非等腰銳角，，是它的兩條高，又線段與平行于的中位線相交于點，證明：經過的外心和垂心的直線與直線垂直．11．〔2023年國家隊集訓測試題〕設，分別為的邊，上點，是內一點，使得，且