提優(yōu)題型六 幾何最值（專題訓(xùn)練）（解析版）

題型六幾何最值（專題訓(xùn)練）1.如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是()【答案】B【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA==2，設(shè)AE=a，BE=2a，則有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍棄），∴BE=2a=4，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，∴DH=BD，∴CD+BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4．故選B．2.如圖，在中，，，，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連接OD，作垂足為P交⊙O于F，此時(shí)垂線段OP最短，PF最小值為，∵，，∴∵，∴∵點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，∴，，∴，∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D，∴，∴，∴，∴，∴MN最小值為，如圖，當(dāng)N在AB邊上時(shí)，M與B重合時(shí)，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長(zhǎng)，MN最大值，,∴MN長(zhǎng)的最大值與最小值的和是6．故選B．3.如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長(zhǎng)的最小值是A． B．3 C． D．【答案】D【詳解】以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點(diǎn)在線段CE上時(shí)，的長(zhǎng)取最小值，如圖所示，根據(jù)折疊可知：．在中，，，，，的最小值．故選D．4.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，∴當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．5.如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)的最小值為________.【答案】2：【詳解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴點(diǎn)P在以AB為直徑的弧上（P在△ABC內(nèi)）設(shè)以AB為直徑的圓心為點(diǎn)O，如圖接OC，交☉O于點(diǎn)P，此時(shí)的PC最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴∴PC=5-3=26.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，本題是求CG最小值，可以將F點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，由此作出G點(diǎn)軌跡：考慮到F點(diǎn)軌跡是線段，故G點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時(shí)刻G點(diǎn)在位置，最終G點(diǎn)在位置（不一定在CD邊），即為G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡．CG最小值即當(dāng)CG⊥的時(shí)候取到，作CH⊥于點(diǎn)H，CH即為所求的最小值．根據(jù)模型可知：與AB夾角為60°，故⊥．過點(diǎn)E作EF⊥CH于點(diǎn)F，則HF==1，CF=，所以CH=，因此CG的最小值為．7.如圖，矩形中，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_____．【答案】【詳解】為矩形，又點(diǎn)到的距離與到的距離相等，即點(diǎn)線段垂直平分線上，連接，交與點(diǎn)，此時(shí)的值最小，且故答案為：8.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊△BPQ，連接CQ，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段CQ長(zhǎng)度的最小值是______．【答案】54【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，PE．

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBE=60°，

∵BE=AE，

∴CE=BE=AE，

∴△BCE是等邊三角形，

∴BC=BE，

∵∠PBQ=∠CBE=60°，

∴∠QBC=∠PBE，

∵QB=PB，CB=EB，

∴△QBC≌△PBE（SAS），

∴QC=PE，

∴當(dāng)EP⊥AC時(shí)，QC的值最小，

在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，

∴PE=12AE=54，

∴CQ的最小值為故答案為：59.如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM＝6．P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為．【答案】2【分析】作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接PN'，MN'，依據(jù)PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“＝”，再求得＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根據(jù)△N'CM為等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．【解答】解：如圖所示，作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接PN'，MN'，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“＝”，∵正方形邊長(zhǎng)為8，∴AC＝AB＝，∵O為AC中點(diǎn)，∴AO＝OC＝，∵N為OA中點(diǎn)，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM為等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值為2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．10.如圖，是等邊三角形，，N是的中點(diǎn)，是邊上的中線，M是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是________．【答案】【分析】根據(jù)題意可知要求BM+MN的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化BM，MN的值，從而找出其最小值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出CN，即可求出答案．【解析】解：連接CN，與AD交于點(diǎn)M，連接BM．（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短），是邊上的中線即C和B關(guān)于AD對(duì)稱，則BM+MN=CN，則CN就是BM+MN的最小值．∵是等邊三角形，，N是的中點(diǎn)，

∴AC=AB=6,AN=AB=3,,∴.即BM+MN的最小值為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．11.如圖，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是．【分析】首先對(duì)問題作變式2AD+3BD=，故求最小值即可．考慮到D點(diǎn)軌跡是圓，A是定點(diǎn)，且要求構(gòu)造，條件已經(jīng)足夠明顯．當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC邊時(shí)，DA=3，此時(shí)在線段CD上取點(diǎn)M使得DM=2，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，始終存在．問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM，BM長(zhǎng)度的3倍即為本題答案．12.如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠AMD＝90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于E，點(diǎn)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解決問題．【詳解】解：取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于E，點(diǎn)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，∴當(dāng)O，M，E共線時(shí)，ME的值最小，最小值為3﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，垂線段最短，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．13.如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．【答案】【詳解】將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM∵M(jìn)C=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．14.如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，把沿PE折疊，得到，連接CF．若AB＝10，BC＝12，則CF的最小值為_____．【答案】8【解析】【分析】點(diǎn)F在以E為圓心、EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí)，此時(shí)FC的值最小，根據(jù)勾股定理求出CE，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE＝EF＝5即可．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)F在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí)，此時(shí)CF的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB＝10，∴AE＝EF＝5，∵AD＝BC＝12，∴CE＝＝＝13，∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．15、如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．【答案】【詳解】如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，∵M(jìn)G=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∴△GAP是等邊三角形，∴PA=PG，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，∴當(dāng)M，G，P，C共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，∵AP+BP+CP的最小值為2，∴CM=2，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN⊥AC于N．則BN=AB=1，AN=，CN=2-，∴BC=．故答案為．16.如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，求周長(zhǎng)的最小值_____．【答案】周長(zhǎng)的最小值為8【詳解】如圖，作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、，交OA、OB于M、N，此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，，，且，，，，為等邊三角形，即周長(zhǎng)的最小值為8.17.在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無需寫畫法）；②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）①補(bǔ)圖見解析；②；（2）【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；②∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，∴y＝（4?x）