提優(yōu)題型九 二次函數(shù)綜合題1 二次函數(shù)公共點(diǎn)問題（專題訓(xùn)練）（解析版）

題型九二次函數(shù)綜合題類型一二次函數(shù)公共點(diǎn)問題（專題訓(xùn)練）1.已知拋物線（，，是常數(shù)），，下列四個結(jié)論：①若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；②若，則方程一定有根；③拋物線與軸一定有兩個不同的公共點(diǎn)；④點(diǎn)，在拋物線上，若，則當(dāng)時，．其中正確的是__________（填寫序號）．【答案】①②④【分析】①將代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，則原方程可化為x2+x-2=0，則一定有根x=-2；③當(dāng)b2-4ac≤0時，圖像與x軸少于兩個公共點(diǎn)，只有一個關(guān)于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③錯誤；④若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對稱軸，因?yàn)閍>0在對稱軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1<x2<1時，y1>y2，故④正確．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)∴，即9a-3b+c=0∵∴b=2a故①正確；∵b=c，∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正確；當(dāng)b2-4ac≤0時，圖像與x軸少于兩個公共點(diǎn)，只有一個關(guān)于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③錯誤；若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對稱軸，因?yàn)閍>0在對稱軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1<x2<1時，y1>y2，故④正確．故填：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二元一次方程，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．2.已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交點(diǎn)．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；②若點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(2)如圖②，直線與軸交于點(diǎn)，同時與拋物線交于點(diǎn)，以線段為邊作菱形，使點(diǎn)落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)①，②存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-），理由見解析(2)b<或b>【分析】（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)點(diǎn)P（m，m2-2m-3）若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5，因?yàn)樗倪呅蜟DFE是菱形，由此得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．再根據(jù)該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進(jìn)行討論，求出b的取值范圍．(1)①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y=x-3，設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)、點(diǎn)P（m，m2-2m-3）若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，即或，解得：m=2或m=或m=3，經(jīng)檢驗(yàn)，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-）(2)解：把點(diǎn)D（-3，0）代入直線，解得n=4，∴直線，當(dāng)x=0時，y=4，即點(diǎn)C（0，4）∴CD==5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點(diǎn)E（5，4）∵點(diǎn)在拋物線上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，分情況討論當(dāng)CE在拋物線內(nèi)時52+5b+3b-9<4解得：b<當(dāng)CE在拋物線右側(cè)時，3b-9>4解得：b>綜上所述，b<或b>【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論3.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，2），且與軸交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)k是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；M是拋物線的點(diǎn)，常數(shù)m>0，S為△ABM的面積．已知使S=m成立的點(diǎn)M恰好有三個，設(shè)T為這三個點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和．(1)求c的值；(2)直接寫出T的值；(3)求的值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）將點(diǎn)（0，2）帶入直接求解；（2）找到三個點(diǎn)M的縱坐標(biāo)之間的而關(guān)系，即可求解；（3）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，即可表示出，，帶入原式即可求解．(1)解：∵將點(diǎn)（0，2）帶入得：．(2)由（1）可知，拋物線的解析式為，∵當(dāng)S=m時恰好有三個點(diǎn)M滿足，∴必有一個M為拋物線的頂點(diǎn)，且M縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．當(dāng)時，．即此時M（，），則另外兩個點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．∴．(3)由題可知，，則∴則．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、代數(shù)式求值等，屬于綜合題目，靈活運(yùn)用代數(shù)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4.已知拋物線的對稱軸為直線．（1）求a的值；（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與拋物線交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．【答案】（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)對稱軸，代值計(jì)算即可（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果（3）先根據(jù)求根公式計(jì)算出，再表示出，=，即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）由題意得：（2）拋物線對稱軸為直線，且當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，y隨x的增大而增大．當(dāng)時，y1隨x1的增大而減小，時，，時，同理：時，y2隨x2的增大而增大時，．時，（3）令令A(yù)B與CD的比值為【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對稱軸、函數(shù)的交點(diǎn)、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，利用交點(diǎn)的特點(diǎn)解題是重點(diǎn)5.拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)E，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r，求的長．【答案】（1）；（2）或；（3）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線的解析式求解即可得；（3）先根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短求解即可得．【詳解】解：（1）由題意，將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的解析式為；（2）對于二次函數(shù)，當(dāng)時，，解得或，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，解得，，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得或，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，解得，，則平移后的二次函數(shù)的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，軸，，，由兩點(diǎn)之間線段最短得：的最小值為，由垂線段最短得：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取得最小值，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即，解得，則，，．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、垂線段最短等知識點(diǎn)，較難的是題（3），正確求出平移后的拋物線的解析式是解題關(guān)鍵．6.已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求的值（用含的代數(shù)式表示）；（2）若二次函數(shù)在時，的最大值為1，求的值；（3）將線段向右平移2個單位得到線段．若線段與拋物線僅有一個交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入即可（2）根據(jù)拋物線圖像分析得在范圍內(nèi)，的最大值只可能在或處取得，進(jìn)行分類討論①若時，②若，③，計(jì)算即可（3）先利用待定系數(shù)法寫出直線AB的解析式，再寫出平移后的解析式，若線段與拋物線僅有一個交點(diǎn)，即方程在的范圍內(nèi)僅有一個根，只需當(dāng)對應(yīng)的函數(shù)值小于或等于0，且對應(yīng)的函數(shù)值大于或等于即可．【詳解】（1）∵拋物線過點(diǎn)，，∴，∴，∴．（2）由（1）可得，在范圍內(nèi)，的最大值只可能在或處取得．當(dāng)時，，當(dāng)時，．①若時，即時，得，∴，得．②若，即時，得，此時，舍去．③，即時，得，∴，，舍去．∴綜上知，的值為．（3）設(shè)直線的解析式為，∵直線過點(diǎn)，，∴，∴，∴．將線段向右平移2個單位得到線段，∴的解析式滿足，即．又∵拋物線的解析式為，∴．又∵線段與拋物線在