概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第二版）

世紀(jì)高等工科教育數(shù)學(xué)系列課程教材

21

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

(第二版)

孫海珍王麗英主編

王亞紅趙士欣李華副主編

內(nèi)容簡介

本系列教材為大學(xué)工科各專業(yè)公共課教材共四冊高等數(shù)學(xué)上下冊線性代數(shù)與幾何概率論與數(shù)理統(tǒng)

,:《()》《》《

計第二版本書是概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二版編者在第一版的基礎(chǔ)上根據(jù)工科數(shù)學(xué)教改精神在多個省部

()》.《》(),,,

級教學(xué)改革研究成果的基礎(chǔ)上結(jié)合多年的教學(xué)實踐進(jìn)行修訂書中融入了許多新的教學(xué)思想和方法改正吸收

,.,、

了近年教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的問題和經(jīng)驗全書共章包括隨機(jī)事件與概率隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及

.11,、、

其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征大數(shù)定律和中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計的基本概念參數(shù)估計假設(shè)檢驗方差分析回

、、、、、、、

歸分析與正交試驗每章有精心選配的習(xí)題用以鞏固知識書末附有部分習(xí)題參考答案

.,.

本書面向工科學(xué)生適合作為普通高等院校土木工程機(jī)械工程電氣自動化工程計算機(jī)工程交通工程工

,、、、、、

商管理經(jīng)濟(jì)管理等本科專業(yè)的教材或教學(xué)參考書也可供報考工科碩士研究生的人員參考

、,.

圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計孫海珍王麗英主編版北京

/,.2—:

中國鐵道出版社有限公司

,2019.8

世紀(jì)高等工科教育數(shù)學(xué)系列課程教材

21

ISBN9787113261283

概孫王概率論高等學(xué)校教材

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…Ⅲ.①

數(shù)理統(tǒng)計高等學(xué)校教材

②Ⅳ.①021

中國版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號

CIP(2019)167192

書名:概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二版

()

作者:孫海珍王麗英

策劃:李小軍編輯部電話:

責(zé)任編輯:李小軍田銀香

封面設(shè)計:劉穎

責(zé)任校對:張玉華

責(zé)任印制:郭向偉

出版發(fā)行:中國鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號

(100054,8)

網(wǎng)址:

/51eds/

印刷:北京銘成印刷有限公司

版次:年月第版年月第版年月第次印刷

201521201982201981

開本:印張字?jǐn)?shù)千

787mm×1092mm1/16:14.25:343

書號:

ISBN9787113261283

定價:元

33.00

版權(quán)所有侵權(quán)必究

凡購買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問題請與本社教材圖書營銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,,:(010)63550836

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:(010)51873659

世紀(jì)高等工科教育數(shù)學(xué)系列課程教材

21

編委會

主任劉響林

副主任陳慶輝張素娟孫海珍

編委王永亮范瑞琴趙曄李向紅

左大偉陳聚峰郭志芳郭秀英

李京艷趙士欣王亞紅王麗英

李華胡俊美

第二版前言

本教材第二版是在第一版的基礎(chǔ)上,根據(jù)教育部關(guān)于新工科建設(shè)的精神修訂的.修

訂的主要內(nèi)容有:

第二版融入了近年來教育部工科數(shù)學(xué)教學(xué)改革精神,嘗試反映概率論與數(shù)理統(tǒng)計相

關(guān)領(lǐng)域技術(shù)發(fā)展新趨勢;吸收編者近年來教學(xué)成果、教學(xué)實踐,力求教學(xué)內(nèi)容導(dǎo)入、講

解更加符合學(xué)生興趣,增強(qiáng)了教材的可讀性;改正了第一版中的少量錯誤和欠妥之處;

更新了部分例題和習(xí)題,以使教材內(nèi)容更契合學(xué)生基礎(chǔ),同時呈現(xiàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計相

關(guān)知識在工科各專業(yè)的應(yīng)用背景,以利于后續(xù)課程的銜接學(xué)習(xí).

編者

年月

20197

第一版前言

本系列教材是在多年教學(xué)改革、教學(xué)研究和教學(xué)實踐基礎(chǔ)上,廣泛征求意見,參照

教育部教學(xué)指導(dǎo)委員會年頒布的《工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)基本要求》(修改

2012

版),緊扣近年教育部頒布的《全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試》數(shù)學(xué)考試大綱,并結(jié)合

編者豐富的教學(xué)經(jīng)驗編寫而成的編寫中力求滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想,淡化計算技巧,加強(qiáng)

.

應(yīng)用能力的培養(yǎng)本系列教材的原講義在多年的教學(xué)實踐中受到了廣大師生的歡迎和同

.

行的肯定,在總體結(jié)構(gòu)、編寫思想和特點、難易程度把握等方面,經(jīng)受了實踐的考驗

.

本系列教材包括《高等數(shù)學(xué)》(上下冊)、《線性代數(shù)與幾何》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》

.

本書是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教材努力體現(xiàn)以下特色:

.

()既突出概率論和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科特點,又兼顧與《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)與幾

1

何》等先修課程的聯(lián)系,實現(xiàn)課程間的自然銜接.

()在概率論部分的內(nèi)容選擇與安排上,注意將理論體系的系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性與豐富

2

的背景、廣泛的應(yīng)用有機(jī)結(jié)合,使讀者能夠?qū)靖拍钣懈钊氲睦斫?并能夠重視理

論聯(lián)系實際在數(shù)理統(tǒng)計部分的內(nèi)容選擇與安排上,注重統(tǒng)計思想的闡述及統(tǒng)計方法的

.

應(yīng)用

.

()在基本概念的引入或基本方法的應(yīng)用中,注意從實際問題出發(fā),抽象為理論,

3

再應(yīng)用于實踐,以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

.

()為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的興趣,在部分章節(jié)簡介了相關(guān)的研究背景

4

及應(yīng)用

.

全書內(nèi)容包括:隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)變量及其分布、二維隨機(jī)變量及其分布、隨

機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、參數(shù)估計、假設(shè)

檢驗、方差分析、回歸分析與正交試驗本書適合作為普通高等院校工科各專業(yè)公共數(shù)

.

學(xué)基礎(chǔ)課的教材或教學(xué)參考書,也可供報考工科碩士研究生的人員參考

.

本書由孫海珍、王麗英任主編,王亞紅、趙士欣、李華任副主編孫海珍、王麗英

.

負(fù)責(zé)總體方案的設(shè)計、具體內(nèi)容的安排及統(tǒng)稿工作編寫分工如下:趙士欣(第章),

.1

王亞紅(第、章),孫海珍、李華(第、、、章),王麗英(第章)在

234510116~9.

編寫過程中,得到了劉響林、陳慶輝等老師的大力支持石家莊鐵道大學(xué)的許多任課老

.

師提出了寶貴意見,在此一并表示感謝

.

由于編者水平有限,書中仍可能有不妥之處,敬請讀者批評指正

.

編者

年月

201412

目錄

第1章隨機(jī)事件與概率…………

1

隨機(jī)事件和樣本空間……………………

1.11

概率的定義………………

1.25

古典概型和幾何概型……………………

1.37

條件概率與全概率公式…………………

1.411

隨機(jī)事件的獨立性………………………

1.516

習(xí)題…………………………

120

第2章隨機(jī)變量及其分布……………………

22

隨機(jī)變量和分布函數(shù)……………………

2.122

離散型隨機(jī)變量…………

2.224

連續(xù)型隨機(jī)變量…………

2.329

正態(tài)分布…………………

2.434

隨機(jī)變量函數(shù)的分布……………………

2.536

習(xí)題…………………………

240

第3章二維隨機(jī)變量及其分布………………

42

二維隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)……………………

3.142

二維離散型隨機(jī)變量……………………

3.243

二維連續(xù)型隨機(jī)變量……………………

3.348

習(xí)題…………………………

359

第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征…………………

63

數(shù)學(xué)期望…………………

4.163

方差………………………

4.270

協(xié)方差相關(guān)系數(shù)和矩…………………

4.373

習(xí)題…………………………

476

第5章大數(shù)定律和中心極限定理……………

79

大數(shù)定律…………………

5.179

中心極限定理……………

5.281

習(xí)題…………………………

583

第6章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念…………………

84

樣本與統(tǒng)計量……………

6.184

抽樣分布…………………

6.287

習(xí)題…………………………

692

第7章參數(shù)估計………………

94

參數(shù)的點估計……………

7.194

參數(shù)的區(qū)間估計………………………

7.2101

習(xí)題…………………………

7107

第8章假設(shè)檢驗………………

109

假設(shè)檢驗的基本思想…………………

8.1109

假設(shè)檢驗的基本概念和方法…………

8.2110

單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗………

8.3113

兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗………

8.4118

分布擬合檢驗…………

8.5123

秩和檢驗簡介…………

8.6127

習(xí)題…………………………

8130

第9章方差分析………………

133

單因素方差分析………………………

9.1133

雙因素方差分析………………………

9.2144

習(xí)題…………………………

9154

第10章回歸分析……………

157

一元線性回歸…………

10.1157

一元非線性回歸………………………

10.2165

多元線性回歸…………

10.3168

習(xí)題………………………

10171

第11章正交試驗……………

172

正交表及正交試驗步驟………………

11.1172

二水平正交試驗………………………

11.2174

r水平正交試驗………………………

11.3183

混合水平的正交試驗…………………

11.4187

習(xí)題………………………

11193

附錄………………

195

附表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表…………………

A195

附表泊松分布表…………

B196

附表t分布表……………

C198

附表χ2分布表…………

D199

附表F分布表……………

E201

附表多重比較的qαrf表……………

F(,)207

附表正交表………………

G209

部分習(xí)題參考答案………………

215

第1章隨機(jī)事件與概率

概率論源于世紀(jì)中葉當(dāng)時歐洲經(jīng)濟(jì)蕭條許多達(dá)官貴人沉迷于非常盛行的賭博之

17.,,

中在賭博過程中人們就提出一些問題如投資一定的金錢參與賭博在何時結(jié)束最好針對

.,,,.

這些問題和賭博中輸贏的偶然性數(shù)學(xué)家們進(jìn)行了認(rèn)真的思考和研究通常大家都認(rèn)為概率

,.

的數(shù)學(xué)理論是由法國數(shù)學(xué)家帕斯卡和費馬首創(chuàng)的他們成功地導(dǎo)

(1623-1662)(1601-1665).

出了包括擲骰子在內(nèi)的一些賭博的實際概率在巴斯加爾費馬伯努利等人的努力下現(xiàn)在

.、、,

廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的概率論逐步建立起來了同時隨著航海航空保險業(yè)的發(fā)展這些領(lǐng)

.,、、,

域中提出的問題也促使概率論得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善到世紀(jì)初等概率論已經(jīng)走向

.19,

成熟初期研究概率論的代表人物有歐美派的拉普拉斯高斯泊松

.(Laplace)、(Gauss)、

等和俄國的切比雪夫馬爾可夫柯爾莫哥洛夫格涅堅科等現(xiàn)在概率論已經(jīng)廣泛

(Poisson)、、、.,

應(yīng)用到物理數(shù)學(xué)軍事科學(xué)天文學(xué)經(jīng)濟(jì)和金融學(xué)生物和醫(yī)學(xué)電子學(xué)等領(lǐng)域

、、、、、、.

數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展是世紀(jì)中葉開始的在其奠基階段主要的代表人物有英國的統(tǒng)計學(xué)

19,,

家和主要研究利用一些數(shù)據(jù)來求頻率曲線從而描述所

K.PearsonR.A.Fisher.Pearson,

研究對象的特征的分布而則開創(chuàng)了試驗設(shè)計估計理論和方差分析等統(tǒng)計理論自從

;Fisher、.

年以來和創(chuàng)立了假設(shè)檢驗理論后數(shù)理統(tǒng)計開始蓬勃發(fā)展起來

1920,J.NeymanE.Pearson,,

逐步建立了統(tǒng)計判斷理論多元統(tǒng)計分析方差分析時間序列分析隨機(jī)模擬等數(shù)理統(tǒng)計分

、、、、

支隨著各學(xué)科不斷提出新問題和數(shù)理統(tǒng)計在各個領(lǐng)域的不斷應(yīng)用使數(shù)理統(tǒng)計和其他學(xué)科相

.,

互滲透產(chǎn)生了各種各樣的應(yīng)用統(tǒng)計分支如水文統(tǒng)計地質(zhì)統(tǒng)計生物統(tǒng)計工程統(tǒng)計質(zhì)量統(tǒng)

,,、、、、

計和計量經(jīng)濟(jì)等從數(shù)理統(tǒng)計的特點和發(fā)展過程看它是一門研究如何收集數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)和

.,、

分析數(shù)據(jù)的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科它在國民經(jīng)濟(jì)的各個領(lǐng)域中都有著重要的作用

,.

隨機(jī)事件和樣本空間

1.1

111隨機(jī)試驗

..

人們通常把自然界或社會中出現(xiàn)的現(xiàn)象分為兩類一類是必然的或稱為確定性的如重

:(),

物在高處總是垂直落到地面在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水在沸騰氣體在一定大氣壓下滿足狀

,,100℃,

態(tài)方程VnRT等早期的科學(xué)就是研究這一類現(xiàn)象的規(guī)律性所應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具有數(shù)學(xué)分

p=,,

析幾何代數(shù)微分方程等.另一類現(xiàn)象是事前不可預(yù)測的即在相同條件下重復(fù)進(jìn)行試驗每

、、、,,

次的結(jié)果未必相同這一類現(xiàn)象稱為偶然現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象如擲一枚硬幣其結(jié)果可能是正面

,,,,

也可能是反面其他如農(nóng)作物在收獲前的產(chǎn)量射擊時子彈的落點都是不能事先確定的.這些

,,

偶然現(xiàn)象的發(fā)生表面上看是偶然的但是在偶然的表面下蘊(yùn)含著必然的內(nèi)在規(guī)律性.概率論

,,

就是研究這種偶然現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律性的一門學(xué)科.

在概率論研究中我們把人們的某種活動稱為試驗.這里試驗的含義十分廣泛包括各種

,,

2概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二版

|()

各樣的科學(xué)試驗也包括進(jìn)行一次測量或進(jìn)行一次抽樣觀察.注意與物理化學(xué)等科學(xué)實驗的

,、

區(qū)別.

定義1.1將滿足如下條件的試驗稱為隨機(jī)試驗用E表示

():

在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行

(1);

每次試驗的可能結(jié)果有多個并且事先知道所有可能發(fā)生的結(jié)果

(2),;

每次試驗的具體結(jié)果不能事先確定.

(3)

以后我們提到的試驗都指的是隨機(jī)試驗例如

,:

E將一枚硬幣拋擲三次觀察正面H反面T出現(xiàn)的情況

1:,、;

E記錄尋呼臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)

2:;

E擲一顆骰子記錄其出現(xiàn)的點數(shù)

3:,;

E在一批燈泡中任取一只測試它的壽命.

4:,

112樣本空間

..

定義1.2隨機(jī)試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間記為Ω.樣本空間

,

的元素即E的每個結(jié)果稱為樣本點記為ω或ωω.

,,1,2,…

上述試驗Eii=的樣本空間Ωi為

(1,2,3,4)

Ω=HHHHHTHTHHTTTHHTHTTTHTTT

1{,,,,,,,};

Ω=

2{0,1,2,3,…};

Ω=

3{1,2,3,4,5,6};

Ω=t|t.

4{≥0}

113隨機(jī)事件

..

定義1.3在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果或事件稱為隨機(jī)事件簡稱事件

,,

用字母ABC表示把不可能再分或沒有必要再分的事件稱為基本事件即樣本點.樣本

,,,…;

空間一定會發(fā)生故也稱必然事件每次試驗不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件用表示.

,;,?

下面舉出一些隨機(jī)事件的例子.例如在試驗E中事件恰有一次正面朝上表示為

,1,“”

A=HTTTHTTTH

1{,,};

在試驗E中事件出現(xiàn)偶數(shù)點表示為

3,“”

A=

2{2,4,6};

在試驗E中事件壽命不超過表示為

4,“1000h”

A=t|t

3{0≤≤1000};

隨機(jī)事件還可以定義為隨機(jī)試驗E的樣本空間Ω的子集.

一次試驗中有且只有一個基本事件出現(xiàn)隨機(jī)事件A出現(xiàn)或發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A所含基本事

;

件之一出現(xiàn).

114隨機(jī)事件的關(guān)系與運算

..

進(jìn)行一次試驗會有這樣或那樣的事件發(fā)生它們各有不同的特點彼此之間又有一定的

,,,

聯(lián)系.下面我們引入一些事件之間的關(guān)系和運算來描述這些事件之間的聯(lián)系.

,

第章隨機(jī)事件與概率3

1|

1.事件的關(guān)系

包含關(guān)系

(1)

如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生則稱事件A包含于事件B或稱事件B包含事件

,,

A或稱事件A是事件B的子事件記為AB或BA.

,,??

顯然對任意事件A有AAΩ.

,,??,?

若AB且BA即A=B稱事件A與事件B相等.

??,,

互斥互不相容關(guān)系

(2)()

如果兩個事件AB不可能同時發(fā)生則稱事件A和事件B互斥或互不相容.必然事件和

,,

不可能事件互斥.

設(shè)AAAn為同一樣本空間Ω中的隨機(jī)事件若它們之間任意兩個事件是互斥的

1,2,…,,,

則稱AAAn是兩兩互斥的.

1,2,…,

2.事件的運算

事件的并或和

(1)()

若C表示事件A與事件B至少有一個發(fā)生這一事件則稱C為A與B的并或和記為

“”,,

C=AB.當(dāng)事件A與B互斥時將并事件記為C=A+B且稱C為A與B的直和.顯然有

∪,

AA=AAΩ=Ω.

∪,∪

事件的交或積

(2)()

若D表示事件A與事件B同時發(fā)生這一事件則稱D為A與B的交或積記為D

“”,,=

AB也可簡記為D=AB.顯然AA=AA=AΩ=A事件A與B互斥等

∩,∩,∩??,∩,

價于AB=.

?

事件的差

(3)

若F表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生這一事件則稱F為A與B的差事件記為F

“”,,=

A-B.顯然有A-A=A-=AA-Ω=.

?,?,?

事件的逆對立事件余事件

(4)(、)

稱事件A不發(fā)生為事件A的逆事件記為A.顯然AA=ΩAA=A-B=AB=A

“”,∪,?,

-AB.

如果以平面內(nèi)的某個正方形表示樣本空間用兩個小圓表示事件A和B則事件的運算可

,,

以通過平面圖形來表示這種更加直觀的表示方法被稱為文氏圖如圖.所示.

,(Venn),11

圖.

11

4概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二版

|()

事件的并和交可以推廣到有限多個或無窮多個事件的情形

:

有限個事件AAAn中至少有一個發(fā)生這一事件稱為AAAn的并記為

“1,2,…,”1,2,…,,

n

Ai

i=

∪1;