高中數(shù)學(xué)考試壓軸題講義-欲證不等恒成立結(jié)論再造是利器（含答案）

【題型綜述】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的策略：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解決導(dǎo)數(shù)壓軸題，謹(jǐn)記兩點(diǎn)：（Ⅰ）利用常見結(jié)論，如：，，等；（Ⅱ）利用同題上一問結(jié)論或既得結(jié)論．【典例指引】例1．已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．（I）求直線的方程及m的值；（II）若，求函數(shù)的最大值．（III）當(dāng)時(shí)，求證：例2．設(shè)函數(shù)，，其中R，…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（Ⅱ）求證：(參考數(shù)據(jù)：)．例3．設(shè)．（l）若對(duì)一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【新題展示】1．【2019安徽安慶上學(xué)期期末】（1）已知函數(shù)，求函數(shù)在時(shí)的值域；（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：.（本題中可以參與的不等式：，）2．【2019河南駐馬店上學(xué)期期末】設(shè)和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，.（1）求的取值范圍；（2）若，求的最大值.3．【2019湖南益陽上學(xué)期期末】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，比較與的大小；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.4．【2019廣東韶關(guān)1月調(diào)研】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）證明：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，.（2）是否存在最大的整數(shù)，使得函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.5．【2019天津部分區(qū)期末】已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）記的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)，，（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，……）．（1）令，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，，求的最小值．2．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍；（3）令，，證明：．3．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立的的取值范圍，并證明．4．已知函數(shù)與．（1）若曲線與直線恰好相切于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）若函數(shù)與的圖像在點(diǎn)處有相同的切線，求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值；（Ⅲ）證明：．6．已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，7．設(shè)函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)，且時(shí)證明不等式：8．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若，證明：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方；（3）證明：．9．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：．10．已知函數(shù)(其中，)．(1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(3)當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)，都有．11．已知函數(shù)(Ⅰ)若有唯一解，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，（附：）12．已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)（記為和）時(shí)，求證：．13．已知（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：對(duì)一切，恒成立．14．已知函數(shù)，．（I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【題型綜述】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的策略：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解決導(dǎo)數(shù)壓軸題，謹(jǐn)記兩點(diǎn)：（Ⅰ）利用常見結(jié)論，如：，，等；（Ⅱ）利用同題上一問結(jié)論或既得結(jié)論．【典例指引】例1．已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．（I）求直線的方程及m的值；（II）若，求函數(shù)的最大值．（III）當(dāng)時(shí)，求證：，取最大值，其最大值為2．（III）證明，當(dāng)時(shí)，學(xué)科&網(wǎng)例2．設(shè)函數(shù)，，其中R，…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（Ⅱ）求證：(參考數(shù)據(jù)：)．【思路引導(dǎo)】（1）先構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)其求導(dǎo)得到然后分和兩種情形分類討論進(jìn)行分析求解：（2）借助（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，再令，得到即；又由(Ⅰ)知，當(dāng)時(shí)，則在遞減，在遞增，則，即，又，即，令，即，則，故有．點(diǎn)評(píng)：解答本題的第一問時(shí)，先構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)其求導(dǎo)得到然后分和兩種情形分類討論進(jìn)行分析求解；證明本題的第二問時(shí)，充分借助（1）的結(jié)論及當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，令，得到即；進(jìn)而由(Ⅰ)知，當(dāng)時(shí)，則在遞減，在遞增，則，即，又，即，令，即，則，故有．從而使得問題巧妙獲證．學(xué)科&網(wǎng)例3．設(shè)．（l）若對(duì)一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）即在時(shí)，，從而求的參數(shù)的范圍，，所以函數(shù)，所以．（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，即，取，，得，即．累加可證到．所以．（2）設(shè)，則，令得．在時(shí)，遞減；在時(shí)，遞增．∴最小值為，故，取，，得，即．學(xué)科&網(wǎng)累加得．∴．故存在正整數(shù)，使得．當(dāng)時(shí)，取，有，不符合．故．學(xué)科&網(wǎng)【新題展示】1．【2019安徽安慶上學(xué)期期末】（1）已知函數(shù)，求函數(shù)在時(shí)的值域；（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：.（本題中可以參與的不等式：，）【思路引導(dǎo)】(1)首先可對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后分析函數(shù)在上的單調(diào)性并求出最值，最后即可求出函數(shù)在上的值域；(2)①首先將“有兩個(gè)不同極值點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“有兩個(gè)不同的正實(shí)根”，再根據(jù)(1)中所給出的函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果；②可利用分析法進(jìn)行證明。【解析】②由條件有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，知：，于是有所以，即要證成立，只需證明只需證只需證只需證只需證，令，只需證，，而題中已給出該不等式成立.即證。2．【2019河南駐馬店上學(xué)期期末】設(shè)和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，.（1）求的取值范圍；（2）若，求的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）求出,方程有兩個(gè)不等的正根，（其中）.由韋達(dá)定理可得，,由此可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）設(shè)，則，求出,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值，從而可得結(jié)果.【解析】∵，∴,故的取值范圍是：.記，，則，∴在上單調(diào)遞減，，故的最大值是：.3．【2019湖南益陽上學(xué)期期末】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，比較與的大??；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.【思路引導(dǎo)】(1),可得，可得故在時(shí)為增函數(shù)，可得結(jié)論；（2），，可得在上有兩個(gè)零點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，②故.此時(shí)，即，整理得，即.可得，故要證成立，只需證，即證，不妨設(shè)，即證.令，原不等式化為.由（1）得當(dāng)時(shí)，.故只需證，化為，故原式得證.【解析】（2），.則在上有兩個(gè)零點(diǎn).令，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，.當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故.此時(shí)，即，整理得，即..故要證成立，只需證，即證，4．【2019廣東韶關(guān)1月調(diào)研】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）證明：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，.（2）是否存在最大的整數(shù)，使得函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)①直接作差，構(gòu)建新函數(shù)研究最值即可；②同樣作差構(gòu)建函數(shù)，研究最值即可；(2)由題意可得，變量分離研究最值即可.【解析】①令，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上為增函數(shù)，因此，故.②令，，因此為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，故.故為增函數(shù)，又，，因此在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，記它為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因此，其中由（1）可知恒成立，且當(dāng)時(shí)，成立故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因此.又因此，即存在最大的整數(shù)28，使得在其定義域上是增函數(shù).5．【2019天津部分區(qū)期末】已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）記的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，（1）．，可得（1）．利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程．（Ⅱ），．不等式，化為：．令在上恒成立，（1）．可得在上恒成立，化為：即可得出．（Ⅲ）根據(jù)可得和關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，可得=0在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，．因此，得出a的取值范圍．并根據(jù)，滿足，代入簡化，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)果．【解析】（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，，．存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，．因此，且，．解得．，，滿足，．化為：．【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)，，（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，……）．（1）令，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，，求的最小值．【思路引導(dǎo)】（1）由對(duì)任意的恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即可得到實(shí)數(shù)的值；（2）由（1）知，即，令（，）則，所以，令，求和后利用放縮法可得，從而可得的最小值．所以．（2）由（1）知，即，令（，）則，所以，所以，所以，又，所以的最小值為．學(xué)科&網(wǎng)2．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍；（3）令，，證明：．【思路引導(dǎo)】（1）當(dāng)時(shí)，求出，由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，從而確定的范圍；（3）當(dāng)時(shí)，先證明即，，得，則疊加得化簡即可得結(jié)果．（3）令，∵，∵，得即．學(xué)科&網(wǎng)3．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立的的取值范圍，并證明．【思路引導(dǎo)】(1)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于=在（，+）上有兩實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可得結(jié)果；（2）結(jié)合(1)可得<，令，，各式相加，化簡即可得結(jié)果．點(diǎn)評(píng)：不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn)，命題主要是和導(dǎo)數(shù)、絕對(duì)值不等式及柯西不等式相結(jié)合，導(dǎo)數(shù)部分一旦出該類型題往往難度較大，要準(zhǔn)確解答首先觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明．4．已知函數(shù)與．（1）若曲線與直線恰好相切于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，即得實(shí)數(shù)的值；（2）利用分參法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題（x>1）最大值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：單調(diào)遞減，最后根據(jù)洛必達(dá)法則求最大值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍(3)先根據(jù)和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)的關(guān)系：，再利用（2）的結(jié)論，令，則代入放縮得證方法二：（先找必要條件）注意到時(shí)，恰有令則在恒成立的必要條件為即學(xué)科&網(wǎng)（3）不妨設(shè)為前項(xiàng)和，則要證原不等式，只需證而由（2）知：當(dāng)時(shí)恒有即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)取，則即即即成立，從而原不等式獲證．學(xué)科&網(wǎng)點(diǎn)評(píng)：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決．但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法．5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）若函數(shù)與的圖像在點(diǎn)處有相同的切線，求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值；（Ⅲ）證明：．【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)求出與，由且解方程組可求的值；（Ⅱ）恒成立等價(jià)于恒成立，先證明當(dāng)時(shí)恒成立，再證明時(shí)不恒成立，進(jìn)而可得結(jié)果；（Ⅲ））由，令，即，即，令，各式相加即可得結(jié)果．（Ⅲ）由，令，即，即由此可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，……當(dāng)時(shí)，．綜上：．即．學(xué)科&網(wǎng)6．已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，【思路引導(dǎo)】（1）對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，，代入x=1，可求得，切點(diǎn)坐標(biāo)再點(diǎn)斜式可求切線方程．(2)定義域因?yàn)橛值?，可得單調(diào)區(qū)間．（3），等價(jià)于在時(shí)恒成立，由（2）知，當(dāng)時(shí)，的最大值，即證．（Ⅲ）證明：因?yàn)?，所以，等價(jià)于在時(shí)恒成立，由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，的最大值，故，學(xué)科&網(wǎng)因?yàn)闀r(shí)，所以，因此任意，．7．設(shè)函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)，且時(shí)證明不等式：【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）代入時(shí)，求得，求得切線的斜率，即可求解切線的方程；（Ⅱ）求得的表達(dá)式，分和和三種情況分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）先由時(shí)，證得，再取得，進(jìn)而可證明上述不等式．（Ⅲ）證明：當(dāng)-1時(shí)，，令，則在上恒正，所以，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有，即當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意正整數(shù)，取得，所以，===點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在某點(diǎn)的切線方程的求解、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等關(guān)系的證明等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，試題有一定的難度，屬于中檔試題，其中解得中對(duì)導(dǎo)數(shù)的合理分類討論和根據(jù)題設(shè)合理變換和換元是解答的難點(diǎn)．8．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若，證明：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方；（3）證明：．【思路引導(dǎo)】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）時(shí)，，，設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出恒成立，由此能證明的圖象恒在圖象的上方；（3）由，設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而，令，得，從而證明結(jié)論成立即可．（3）由（2）知，即，令，則，即，學(xué)科&網(wǎng)點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減；考查將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合單調(diào)性求出或即得解，此題最大的難點(diǎn)在于構(gòu)造法證明不等式．9．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：．【思路引導(dǎo)】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可知其導(dǎo)數(shù)在大于，利用分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)求恒成立問題，可得的取值范圍；利用中結(jié)論可得，則有，利用累加和裂項(xiàng)可證不等式．所以，，，．．．．，，，所以，即，得證．10．已知函數(shù)(其中，)．(1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(3)當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)，都有．【思路引導(dǎo)】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒成立，解出的取值范圍即可；（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，比較端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求得結(jié)論；（3）利用（2）的結(jié)論，只要令，利用放縮法證明即可．在上有唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，又因?yàn)?，，，所以在上有的最大值是綜上所述，在上有的最大值是，最小值是011．已知函數(shù)(Ⅰ)若有唯一解，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，（附：）【思路引導(dǎo)】(Ⅰ）使有唯一解,只需滿足,且的解唯一，求導(dǎo)研究函數(shù)，注意分類討論利用極值求函數(shù)最大值；（Ⅱ）只需證即證，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性，極值求其最小值，證明其大于零即可．②當(dāng)，且時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以有唯一的一個(gè)最大值為,令，則,當(dāng)時(shí)，,故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，故單調(diào)遞增，所以，故令,解得，此時(shí)有唯一的一個(gè)最大值為，且，故的解集是，符合題意；綜上，可得（Ⅱ）要證當(dāng)時(shí)，即證當(dāng)時(shí)，,即證由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，,即，又，從而,故只需證，當(dāng)時(shí)成立；令，則,令，則，令，得因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，且,由零點(diǎn)存在定理，可知，使得，故當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的最小值是或由，得，,因?yàn)?，所?故當(dāng)時(shí)，所以,原不等式成立．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對(duì)，第三問爭取能寫點(diǎn)，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對(duì)于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對(duì)于含有不等式的函數(shù)問題，一般