2024屆安徽省蚌埠市禹會(huì)區(qū)北京師范大學(xué)蚌埠附屬學(xué)校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆安徽省蚌埠市禹會(huì)區(qū)北京師范大學(xué)蚌埠附屬學(xué)校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，若方程有5個(gè)解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知向量=(),=(-1,1),若,則的值為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長(zhǎng)為，則的值是（）A．0 B． C．1 D．4．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．5．計(jì)算的值等于（）A． B． C． D．6．已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．7．已知，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2 B． C．3 D．8．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．9．已知向量是單位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影為，則A．36 B．21 C．9 D．610．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿足，則_____.12．在數(shù)列中，已知，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_________.13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，，前項(xiàng)和達(dá)到最大值時(shí)，的值為_(kāi)_____.14．已知樣本數(shù)據(jù)的方差是1，如果有，那么數(shù)據(jù)，的方差為_(kāi)_____.15．?dāng)?shù)列中，，以后各項(xiàng)由公式給出，則等于_____.16．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且，則面積的最大值為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知四棱臺(tái)中，平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，，，，，E為DC中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求三棱錐的高．（注：棱臺(tái)的兩底面相似）18．已知：的頂點(diǎn)，，．（1）求AB邊上的中線CD所在直線的方程；（2）求的面積．19．已知平面向量，，，其中，（1）若為單位向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若且與垂直，求向量，夾角的余弦值.20．已知點(diǎn)，圓．（1）求過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程；（2）若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，求的值．21．已知圓與軸交于兩點(diǎn)，且（為圓心），過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于兩點(diǎn)（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求的取值范圍；（Ⅲ）若向量與向量共線（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用因式分解法，求出方程的解，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可以求出的取值范圍.【題目詳解】，，或，由題意可知：，由題可知：當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解且有2個(gè)解且，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，故有，函數(shù)是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于縱軸對(duì)稱，即當(dāng)時(shí)有，，所以，綜上所述；的取值范圍是，故本題選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知方程解的情況求參數(shù)取值問(wèn)題，正確分析函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.2、D【解題分析】

對(duì)條件兩邊平方，得到該兩個(gè)向量分別垂直，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算參數(shù)，即可．【題目詳解】結(jié)合條件可知，，得到，代入坐標(biāo)，得到，解得，故選D．【題目點(diǎn)撥】本道題考查了向量的運(yùn)算，考查了向量垂直坐標(biāo)表示，難度中等．3、C【解題分析】

根據(jù)題意可知函數(shù)周期為，利用周期公式求出，計(jì)算即可求值.【題目詳解】由正切型函數(shù)的圖象及相鄰兩支截直線所得的線段長(zhǎng)為知，，所以，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正切型函數(shù)的周期，求值，屬于中檔題.4、B【解題分析】

由角的終邊上一點(diǎn)得，根據(jù)條件解出即可【題目詳解】由角的終邊上一點(diǎn)得所以解得故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡(jiǎn)單.5、C【解題分析】

由三角正弦的倍角公式計(jì)算即可．【題目詳解】原式．故選C【題目點(diǎn)撥】本題屬于基礎(chǔ)題，考查三角特殊值的正弦公式的計(jì)算．6、A【解題分析】

在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，依題意可得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合圖象即可得答案．【題目詳解】解：，在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，

設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，

則，即，

又，

所以，，即，

所以①；

又，故，即②，由①②得：，

故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，依題意可得是關(guān)鍵，考查作圖能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題．7、D【解題分析】

根據(jù)二角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)，，再切化弦，即可求解.【題目詳解】由題意又解得故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和與差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

分別考慮即時(shí)；即時(shí)，原不等式的解集，最后求出并集。【題目詳解】當(dāng)即時(shí)，，則等價(jià)于，即，解得：，當(dāng)即時(shí)，，則等價(jià)于，即，所以，綜述所述，原不等式的解集為故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式的解集，屬于基礎(chǔ)題。9、D【解題分析】

根據(jù)公式把模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，展開(kāi)后再根據(jù)和已知條件計(jì)算.【題目詳解】因?yàn)樵诜较蛏系耐队盀椋裕?故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量模有關(guān)的計(jì)算，常用公式有，.10、C【解題分析】

由流程圖循環(huán)4次，輸出，即可得出結(jié)果.．【題目詳解】初始值，，是，第一次循環(huán)：，，是，第二次循環(huán)：，，是，第三次循環(huán)：，，是，第四次循環(huán):S，，否，輸出．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖的循環(huán)，分析框圖的作用，逐步執(zhí)行即可，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由遞推公式逐步求出.【題目詳解】.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出該數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出數(shù)列的周期性，從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和的值.【題目詳解】對(duì)任意的，，.則，，，，，，所以，.，且，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查數(shù)列周期性的應(yīng)用，解題時(shí)要結(jié)合遞推公式求出數(shù)列的前若干項(xiàng)，找出數(shù)列的規(guī)律，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中等題.13、或【解題分析】

令，求出的取值范圍，即可得出達(dá)到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.【題目詳解】令，解得，因此，當(dāng)或時(shí)，前項(xiàng)和達(dá)到最大值.故答案為：或.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求解，可以利用關(guān)于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得，也可以利用等差數(shù)列所有非正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)相加即得，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

利用方差的性質(zhì)直接求解．【題目詳解】根據(jù)題意，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是1，則有，對(duì)于數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，其方差為，故答案為1.【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的求法，考查方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

可以利用前項(xiàng)的積與前項(xiàng)的積的關(guān)系，分別求得第三項(xiàng)和第五項(xiàng)，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意知，數(shù)列中，，且，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，其中解答中熟練的應(yīng)用遞推關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為，即，由余弦定理得，再用基本不等式法求得，根據(jù)面積公式求解.【題目詳解】根據(jù)正弦定理可轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)得由余弦定理得因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取所以則面積的最大值為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的綜合應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【解題分析】

（1）連結(jié)，可證四邊形為平行四邊形，故可證平面；（2）連結(jié)BD，在中運(yùn)用余弦定理可得：，利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)，可得平面，因此可證；（3）根據(jù)題意，不難求，再利用即可求三棱錐的高．【題目詳解】（1）證明：連結(jié)，因?yàn)闉樗睦馀_(tái)，所以，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，，，所以，又，且，∴四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）證明：連結(jié)BD，在中運(yùn)用余弦定理可得：，∴由勾股定理逆定理得，即．又平面ABCD，，平面，所以．（3）在中，，，，所以，故．由（1）知，由（2）知，，所以．在中，由勾股定理得，在中，由，可得，設(shè)O為DB的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，又，所以，由勾股定理得，在中，因?yàn)?，，，所以，即，故，設(shè)所求棱錐的高為h，則，所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行、線線垂直的證明，棱錐的高，考查了三棱錐體積計(jì)算公式，利用體積轉(zhuǎn)化法求高，屬于中等題.18、（1）；（2）11.【解題分析】

（1）直接利用已知條件求出AB邊上的中點(diǎn)，即可求直線的方程．（2）利用所求出的直線方程利用分割法求出三角形的面積，或者求出及直線AB的方程，可得點(diǎn)C到直線AB的距離，求出三角形的面積.【題目詳解】（1）∵線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，所以，由兩點(diǎn)式方程可得，AB邊上的中線CD所在直線的方程為，即．（2）法1：因?yàn)?，點(diǎn)A到直線CD的距離是，所以的面積是．法2：因?yàn)椋蓛牲c(diǎn)式得直線AB的方程為：，點(diǎn)C到直線AB的距離是，所以的面積是．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程求法與點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）或；（2）.【解題分析】

(1)設(shè),根據(jù)和列出關(guān)于的方程求解即可.(2)根據(jù)垂直數(shù)量積為0,代入的模長(zhǎng),求解得.再根據(jù)夾角公式求解即可.【題目詳解】（1）設(shè),由和可得：∴或,∴或（2）∵,即,又,,∴,∴向量,夾角的余弦值【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量平行的性質(zhì)與單位向量的求解.同時(shí)也考查了根據(jù)數(shù)量積與模長(zhǎng)求解向量夾角的方法等.屬于中檔題.20、（1）或．（2）【解題分析】

(1)分切線的斜率不存在與存在兩種情況分析.當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)方程為,再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解即可.(2)利用垂徑定理根據(jù)圓心到直線的距離列出等式求解即可.【題目詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標(biāo)為,半徑,當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí),方程為．由圓心到直線的距離知,此時(shí),直線與圓相切．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,即．由題意知,解得,∴方程為．故過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為或．（2）∵圓心到直線的距離為,∴,解得．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與圓相切與相交時(shí)的求解.注意直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)分析斜率不存在與存在兩種情況.直線與圓相切用圓心到直線的距離等于半徑列式,直線與圓相交用垂徑定理列式.屬于中檔題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）由圓的方程得到圓心坐標(biāo)和；根據(jù)、為等腰直角三角形可知，從而得到，解方程求得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線方程為；利用點(diǎn)到直線距離公式求得圓心到直線距離；由垂徑定理可得到，利用可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（Ⅲ）直線方程與圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)可根據(jù)得到的取值范圍；設(shè)，，利用韋達(dá)定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共線定理可得到關(guān)于的方程，解方程求得滿足取值范圍的結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）由圓得：圓心，由題意知，為等腰直角三角