2024屆江蘇省無錫市太湖高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆江蘇省無錫市太湖高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．一個圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，該圓錐的母線長為（）A． B．4 C． D．2．向正方形ABCD內(nèi)任投一點(diǎn)P，則“的面積大于正方形ABCD面積的”的概率是（）A． B． C． D．3．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．4．問題：①有1000個乒乓球分別裝在3個箱子內(nèi)，其中紅色箱子內(nèi)有500個，藍(lán)色箱子內(nèi)有200個，黃色箱子內(nèi)有300個，現(xiàn)從中抽取一個容量為100的樣本；②從20名學(xué)生中選出3名參加座談會.方法：Ⅰ.隨機(jī)抽樣法Ⅱ.系統(tǒng)抽樣法Ⅲ.分層抽樣法.其中問題與方法能配對的是()A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ5．若，則下列不等式成立的是A． B． C． D．6．函數(shù)的圖像的一條對稱軸是（）A． B． C． D．7．?dāng)?shù)列中，若，則下列命題中真命題個數(shù)是（）（1）若數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則；（2）若，數(shù)列都是單調(diào)遞增數(shù)列；（3）若，任取中的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列的子數(shù)（），則都是單調(diào)數(shù)列.A．個 B．個 C．個 D．個8．若，均為銳角，且，，則等于（）A． B． C． D．9．如圖，、兩點(diǎn)為山腳下兩處水平地面上的觀測點(diǎn)，在、兩處觀察點(diǎn)觀察山頂點(diǎn)的仰角分別為、若，，且觀察點(diǎn)、之間的距離為米，則山的高度為()A．米 B．米 C．米 D．米10．不等式4xA．-∞,-12C．-∞,-32二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中,,且,則．12．某校高一、高二、高三分別有學(xué)生1600名、1200名、800名，為了解該校高中學(xué)生的牙齒健康狀況，按各年級的學(xué)生數(shù)進(jìn)行分層抽樣，若高三抽取20名學(xué)生，則高一、高二共抽取的學(xué)生數(shù)為.13．已知，，且，則__________．14．在上，滿足的的取值范圍是______.15．已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1，則1a16．已知向量，，則在方向上的投影為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1（1）分別求數(shù)列an（2）若對任意的n∈N*,18．為了評估A，B兩家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，從兩家公司的客戶中各隨機(jī)抽取100名客戶作為樣本，進(jìn)行服務(wù)質(zhì)量滿意度調(diào)查，將A，B兩公司的調(diào)查得分分別繪制成頻率分布表和頻率分布直方圖．規(guī)定分以下為對該公司服務(wù)質(zhì)量不滿意．分組頻數(shù)頻率0.4合計（Ⅰ）求樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶人數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從樣本對A，B兩個公司服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶中，隨機(jī)抽取2名進(jìn)行走訪，求這兩名客戶都來自于B公司的概率；（Ⅲ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試對兩個公司的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評價，并闡述理由．19．某科研小組對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)作物種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析，分別記錄了每天晝夜溫差和每100顆種子的發(fā)芽數(shù)，其中5天的數(shù)據(jù)如下，該小組的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組求線性回歸方程，再用方程對其余的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).日期第1天第2天第3天第4天第5天溫度（℃）101113128發(fā)芽數(shù)（顆）2326322616（1）求余下的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；（2）若選取的是第2、3、4天的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與2組檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過1顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，請問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？（參考公式；線性回歸方程中系數(shù)計算公式：，，其中、表示樣本的平均值）20．如圖，已知四棱錐，側(cè)面是正三角形，底面為邊長2的菱形，，.（1）設(shè)平面平面，求證：；（2）求多面體的體積；（3）求二面角的余弦值.21．在四棱錐中，，．（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）當(dāng)平面平面時，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，利用扇形面積公式和圓錐表面積公式，求出圓錐的底面圓半徑和母線長．【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形又圓錐的表面積為，解得：母線長為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用扇形面積公式和圓錐表面積公式，是基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

由題意，求出滿足題意的點(diǎn)所在區(qū)域的面積，利用面積比求概率.【題目詳解】由題意，設(shè)正方形的邊長為1，則正方形的面積為1，要使的面積大于正方形面積的，需要到的距離大于，即點(diǎn)所在區(qū)域面積為，由幾何概型得，的面積大于正方形面積的的概率為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型的概率求法，解題的關(guān)鍵是明確概率模型，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.4、B【解題分析】解：（1）中由于小區(qū)中各個家庭收入水平之間存在明顯差別故（1）要采用分層抽樣的方法（2）中由于總體數(shù)目不多，而樣本容量不大故（2）要采用簡單隨機(jī)抽樣故問題和方法配對正確的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故選B．5、C【解題分析】

利用的單調(diào)性直接判斷即可?！绢}目詳解】因?yàn)樵谏线f增，又，所以成立。故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解題分析】對稱軸穿過曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，把代入后得到,因而對稱軸為，選.7、C【解題分析】

對（1），由數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則，解方程可得的值；對（2），由函數(shù)，，求得導(dǎo)數(shù)和極值，可判斷單調(diào)性；對（3），由，判斷奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．【題目詳解】數(shù)列中，若，，，（1）若數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則，解得或，故（1）不正確；（2）若，，，由函數(shù)，，，由，可得極值點(diǎn)唯一且為，極值為，由，可得，則，即有.由于，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，則數(shù)列都是單調(diào)遞增數(shù)列，故（2）正確；（3）若，任取中的9項(xiàng)，，，，，構(gòu)成數(shù)列的子數(shù)列，，2，，9，是單調(diào)遞增數(shù)列；由，可得，為奇函數(shù)；當(dāng)時，，時，；當(dāng)時，；時，，運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得或時，數(shù)列單調(diào)遞增；或時，數(shù)列單調(diào)遞減．所以數(shù)列都是單調(diào)數(shù)列，故（3）正確；故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及分類討論思想方法，屬于難題．8、B【解題分析】

先利用兩角和的余弦公式求出，通過條件可求得，進(jìn)而可得.【題目詳解】解：，因?yàn)?，則，故，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和的正切公式，注意角的范圍的確定，是基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

過點(diǎn)作延長線于，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系解得高.【題目詳解】過點(diǎn)作延長線于，設(shè)山的高度為故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于簡單題.10、B【解題分析】

因式分解不等式，可直接求得其解集?！绢}目詳解】∵4x2-4x-3≤0，∴【題目點(diǎn)撥】本題考查求不等式解集，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

∵在△ABC中，∠ABC＝60°，且AB＝5，AC＝7，

∴由余弦定理，可得：，

∴整理可得：，解得：BC＝8或?3（舍去）．考點(diǎn)：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形內(nèi)角和定理及兩角和的余弦公式．12、70【解題分析】設(shè)高一、高二抽取的人數(shù)分別為，則，解得.【考點(diǎn)】分層抽樣.13、【解題分析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可求得；代入兩角和差正切公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和差正切公式的應(yīng)用，涉及到向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由，結(jié)合三角函數(shù)線，即可求解，得到答案.【題目詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以滿足的的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及三角函數(shù)線的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、9【解題分析】

利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【題目詳解】解：∵正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1，∴1a+12b=（2a+b∴1a+故答案為：9【題目點(diǎn)撥】本題考查了“乘1法”和基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由平面向量投影的定義可得出在方向上的投影為，從而可計算出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，則在方向上的投影為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量投影的計算，熟悉平面向量投影的定義是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an=3n-1【解題分析】

（1）設(shè)等差數(shù)列bn公差為d，則b解得d=3，bn當(dāng)n≥2時，an=2Sn-1a2=2a1+1=3aan是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，則．；（2）由（1）知，Sn原不等式可化為k≥6(n-2)若對任意的n∈N*恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列6(n-2)3令cn=6(n-2)解得52≤n≤7即cn的最大項(xiàng)為第3項(xiàng)，c3=62718、（Ⅰ）3人；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率為，即概率為0.03，易求解．（Ⅱ）共有5名客服不滿意，將每種情況都列出來即可算出全來自于B公司的概率．（Ⅲ）可通過頻率對比，服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)，服務(wù)質(zhì)量得70分（或80分）以上的頻率幾個方面進(jìn)行對比．【題目詳解】（Ⅰ）樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率為，所以樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有人．（Ⅱ）設(shè)“這兩名客戶都來自于B公司”為事件M．對A公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有2人，分別記為，；對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有3人，分別記為，，．現(xiàn)從這5名客戶中隨機(jī)抽取2名客戶，不同的抽取的方法有，，，，，，，，，共10個；其中都來自于B公司的抽取方法有，，共3個，所以．所以這兩名客戶都來自于B公司的概率為．（Ⅲ）答案一：由樣本數(shù)據(jù)可以估計客戶對A公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率比對B公司服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率小，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量好．答案二：由樣本數(shù)據(jù)可以估計A公司的服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)與B公司服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)相同，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量與B公司的服務(wù)質(zhì)量相同．答案三：由樣本數(shù)據(jù)可以估計A公司的服務(wù)質(zhì)量得70分（或80分）以上的頻率比B公司得70分（或80分）以上的頻率小，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量差．答案四：由樣本數(shù)據(jù)可以估計A公司的服務(wù)質(zhì)量得分的平均分比B公司服務(wù)質(zhì)量得分的平均分低，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量差．【題目點(diǎn)撥】此題考查概率，關(guān)鍵理解清楚頻率分布表和頻率分布直方圖表示的含有，簡單數(shù)據(jù)可通過列表法求概率或者可以組合數(shù)求解，屬于較易題目．19、（1）；（2）；（3）線性回歸方程是可靠的.【解題分析】

（1）用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值；（2）由已知數(shù)據(jù)求得與，則線性回歸方程可求；（3）利用回歸方程計算與8時的值，再由已知數(shù)據(jù)作差取絕對值，與1比較大小得結(jié)論．【題目詳解】解：（1）設(shè)“余下的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)為事件”，從5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)，余下的2組數(shù)據(jù)共10種情況：，，，，，，，，，．其中事件的有6種，；（2）由數(shù)據(jù)求得，，且，．代入公式得：，．線性回歸方程為：；（3）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，．故得到的線性回歸方程是可靠的．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，考查古典概型的概率計算問題，屬于中檔題．20、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）由，證得平面，再由線面平行的性質(zhì)，即可得到；（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，推得，，得到平面，再由多面體的體積，結(jié)合體積公式，即可求解；（3）由，設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)，推得，從而得到就是二面角的平面角，由此可求得二面角的余弦值.【題目詳解】證明：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，平面平面，所以；?）取中點(diǎn)，連結(jié)，由得，同理，又因?yàn)?，所以平面，在中，，所以，所以多面體的體積；（3）由題意知，底面為邊長2的菱形，，所以，又，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)，由側(cè)面是正三角形知，，所以，因此就是二面角的平面角，在中，，，由余弦定理得，二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面位置關(guān)系的判定，多面體的體積的計算，以及二面角的求解，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，以及而面積的平面角的定義，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.21、（1）見解析；（2）.【解題分析】

(I)結(jié)合平面與平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,結(jié)合平面與平面性質(zhì),證明結(jié)論.(II)建立空間坐標(biāo)系,分別計算平面PCD和平面PDB的法向量,結(jié)合向量數(shù)量積公式,計算余弦