2024屆湖南省瀏陽(yáng)市第二中學(xué)、五中、六中三校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆湖南省瀏陽(yáng)市第二中學(xué)、五中、六中三校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng).若，則的解集為（）A． B．C． D．2．若，則下列結(jié)論中:(1)；(2)；(3)若，則；(4)若，則的最小值為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．43．如圖所示，向量，則（）A． B． C． D．4．若向量與向量不相等，則與一定（）A．不共線 B．長(zhǎng)度不相等 C．不都是單位向量 D．不都是零向量5．如圖，在等腰梯形中，，于點(diǎn)，則（）A． B．C． D．6．已知向量，，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．7．已知向量若與平行，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．28．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．9．以分別表示等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為A．7 B． C． D．10．已知等差數(shù)列中，，.若公差為某一自然數(shù),則n的所有可能取值為()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,70二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)在的值域是______________.12．已知，那么__________．13．正方體中，異面直線和所成角的余弦值是________.14．如圖，兩個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為2，.將繞旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與平面的距離最大值為_(kāi)_____.15．已知函數(shù)，則______.16．設(shè)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為_(kāi)________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．寫(xiě)出集合的所有子集．18．如圖，為圓的直徑，點(diǎn)，在圓上，，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知，.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求多面體的體積.19．設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足．（1）求證：為等差數(shù)列；（2）令，，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過(guò)去后交于，設(shè)，的面積為．（1）求的解析式及定義域；（2）求的最大值．21．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求邊長(zhǎng)；（2）若的面積為，求邊長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

首先根據(jù)題意得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫(huà)出草圖，解不等式即可.【題目詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)的草圖如下：所以或，解得：或.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，同時(shí)考查了函數(shù)的圖象平移變換，屬于中檔題.2、B【解題分析】

利用函數(shù)知識(shí)、換元法、絕對(duì)值不等式等知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一推理證明，即可得答案.【題目詳解】對(duì)（1），，∴或，∵或，∴原不等式成立，故（1）正確；對(duì)（2），∵，故（2）正確；對(duì)（3），令，則，顯然不成立，故（3）錯(cuò)誤；對(duì)（4），∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴的最小值為顯然不成立，故（4）錯(cuò)誤.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)與不等式的知識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意消元法、換元法的使用.3、A【解題分析】

根據(jù)平面向量的加法的幾何意義、平面向量的基本定理、平面向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合進(jìn)行求解即可.【題目詳解】.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量基本定理及加法運(yùn)算的幾何意義，考查了平面向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

由方向相同且模相等的向量為相等向量，再逐一判斷即可得解.【題目詳解】解：向量與向量不相等，它們有可能共線、有可能長(zhǎng)度相等、有可能都是單位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了相等向量的定義，屬基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，由平面向量的加法運(yùn)算法則結(jié)合向量平行的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，可得，故選.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及向量平行的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題解答（求最值與范圍問(wèn)題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單）6、D【解題分析】

直接利用向量的數(shù)量積和向量的投影的定義，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，向量，，則在方向上的投影為：．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

因?yàn)?，所以由于與平行，得，解得.8、B【解題分析】由題意不妨令棱長(zhǎng)為，如圖在底面內(nèi)的射影為的中心，故由勾股定理得過(guò)作平面，則為與底面所成角，且如圖作于中點(diǎn)與底面所成角的正弦值故答案選點(diǎn)睛：本題考查直線與平面所成的角，要先過(guò)點(diǎn)作垂線構(gòu)造出線面角，然后計(jì)算出各邊長(zhǎng)度，在直角三角形中解三角形．9、B【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即可把轉(zhuǎn)化為求解.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，故,選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于中檔題.10、B【解題分析】試題分析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得，公差，所以，可能為，的所有可能取值為選.考點(diǎn)：1.等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式；2.數(shù)的整除性.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用，即可得出．【題目詳解】解：由已知，，又

，

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了反三角函數(shù)的求值、單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12、2017【解題分析】，故，由此得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)解析式的求解方法，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算公式.對(duì)于函數(shù)解析式的求法，有兩種，一種是換元法，另一種的變換法.解析中運(yùn)用的方法就是變換法，即將變換為含有的式子.也可以令.等比數(shù)列求和公式為.13、【解題分析】

由，可得異面直線和所成的角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋援惷嬷本€和所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則直角三角形中，，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角，先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對(duì)值.14、【解題分析】

繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，點(diǎn)的軌跡是圓.過(guò)作平面平面，交平面于.的軌跡在平面內(nèi).畫(huà)出圖像，根據(jù)圖像判斷出圓的下頂點(diǎn)距離平面的距離最大，解三角形求得這個(gè)距離的最大值.【題目詳解】繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，故點(diǎn)的軌跡是圓.過(guò)作平面平面，交平面于.的軌跡在平面內(nèi).畫(huà)出圖像如下圖所示，根據(jù)圖像作法可知，當(dāng)位于圓心的正下方點(diǎn)位置時(shí)，到平面的距離最大.在平面內(nèi)，過(guò)作，交于.在中，,.所以①.其中，，所以①可化為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體的概念，考查空間點(diǎn)到面的距離的最大值的求法，考查空間想象能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.15、【解題分析】

根據(jù)題意令f（x）＝，求出x的值，即可得出f﹣1（）的值．【題目詳解】令f（x）＝+arcsin（2x）＝，得arcsin（2x）＝﹣，∴2x＝﹣，解得x＝﹣，∴f﹣1（）＝﹣．故答案為：﹣．【題目點(diǎn)撥】本題考查了反函數(shù)以及反正弦函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

試題分析：試題分析：由得，平移直線由圖象可知，當(dāng)過(guò)時(shí)目標(biāo)函數(shù)的最大值為，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為．考點(diǎn)：1、利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)的最值；2、利用基本不等式求最值．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查可行域、含參數(shù)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解和均值不等式求最值，屬于難題．含參變量的線性規(guī)劃問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧、增加了解題的難度，此類(lèi)問(wèn)題的存在增加了探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開(kāi)放性，此類(lèi)問(wèn)題一般從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)目標(biāo)函數(shù)變化過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位，是求最優(yōu)解的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解題分析】

根據(jù)集合的子集的定義列舉出即可．【題目詳解】集合的所有子集有：【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的子集的定義，掌握子集的定義是解題的關(guān)鍵，本題是一道基礎(chǔ)題．18、(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解題分析】

（1）由題可得，，從而可得平面，由此證明平面平面；（2）過(guò)作交于，所以為四棱錐的高，多面體的體積，利用體積公式即可得到答案．【題目詳解】（1）證明：∵平面平面，矩形，，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又∵為圓的直徑，∴，又，∴平面，∵平面，平面平面；（2）過(guò)作交于，由面面垂直性質(zhì)可得平面，即為四棱錐的高，由是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，可得，又正方形的面積為4，∴..所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查面面垂直的證明，以及求多面體的體積，要求熟練掌握相應(yīng)判定定理以及椎體、柱體的體積公式，屬于中檔題．19、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)與的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）可求出，采用裂項(xiàng)相消法求出，要恒成立，只需即可求出．【題目詳解】（1）由題知：，當(dāng)?shù)茫?，解得：?dāng)，①②得：，即．是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知：所以即．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查與的關(guān)系，等差數(shù)列的定義，裂項(xiàng)相消法以及恒成立問(wèn)題的解法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）（2）的最大值為.【解題分析】

（1）利用周長(zhǎng)，可以求出的長(zhǎng)，利用平面幾何的知識(shí)可得，再利用勾股定理，可以求出的值，由矩形的周長(zhǎng)為，可求出的取值范圍，最后利用三角形面積公式求出的解析式；（2）化簡(jiǎn)（1）的解析式，利用基本不等式，可以求出的最大值．【題目詳解】（1）如下圖所示：∵設(shè)，則，又，即，∴，得，∵，∴，∴的面積．（2）由（1）可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為，此時(shí)．【題目點(diǎn)撥】本題考查了求函數(shù)解析式，考查了基本不等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21、（