2024屆福建省莆田四中高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆福建省莆田四中高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．2．已知為的一個內(nèi)角，向量.若，則角()A． B． C． D．3．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地攪混在一起，從中任意取出一個，則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是()A．127 B．29 C．44．當為第二象限角時，的值是（）．A． B． C． D．5．若都是正數(shù)，則的最小值為().A．5 B．7 C．9 D．136．某高校進行自主招生，先從報名者中篩選出400人參加筆試，再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試．現(xiàn)隨機抽取了24名筆試者的成績，統(tǒng)計結果如下表所示．分數(shù)段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90]人數(shù)234951據(jù)此估計允許參加面試的分數(shù)線大約是()A．90 B．85C．80 D．757．若，則下列結論不正確的是（）A． B． C． D．8．已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為()A． B．C． D．10．棱柱的側面一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．正方形 D．菱形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一湖中有不在同一直線的三個小島A、B、C，前期為開發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經(jīng)建有索道供游客觀賞，經(jīng)測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現(xiàn)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，游客對在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風光，現(xiàn)決定在上選擇一個點D建立索道供游客游覽，經(jīng)研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當△ADC面積最大時建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）12．如圖，在內(nèi)有一系列的正方形，它們的邊長依次為，若，，則所有正方形的面積的和為___________.13．若Sn為等比數(shù)列an的前n項的和，8a14．如圖，已知，，任意點關于點的對稱點為，點關于點的對稱點為，則向量_______（用，表示向量）15．已知向量，，若，則______；若，則______.16．若復數(shù)z滿足z?2i=z2+1（其中i三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：.18．如圖，長方形材料中，已知，.點為材料內(nèi)部一點，于，于，且，.現(xiàn)要在長方形材料中裁剪出四邊形材料，滿足，點、分別在邊，上.（1）設，試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；（2）試確定點在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.19．一扇形的周長為20，當扇形的圓心角等于多少時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？20．已知圓心在軸的正半軸上，且半徑為2的圓被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設動直線與圓交于兩點，則在軸正半軸上是否存在定點，使得直線與直線關于軸對稱？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.21．已知向量．(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【題目詳解】解：因為，，所以，，的大小關系為.故選：D.【題目點撥】本題考查三個數(shù)的大小比較，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，屬于基礎題.2、C【解題分析】

帶入計算即可．【題目詳解】即,選C.【題目點撥】本題考查向量向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．3、C【解題分析】

先求出基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，由此能求出在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率．【題目詳解】∵一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，∴基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，則在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率P=1227=故選：C【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體性質(zhì)等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．4、C【解題分析】

根據(jù)為第二象限角，，，去掉絕對值，即可求解．【題目詳解】因為為第二象限角，∴，，∴，故選C．【題目點撥】本題重點考查三角函數(shù)值的符合，三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號可以結合口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦，增加記憶印象，屬于基礎題5、C【解題分析】

把式子展開，合并同類項，運用基本不等式，可以求出的最小值.【題目詳解】因為都是正數(shù)，所以，（當且僅當時取等號），故本題選C.【題目點撥】本題考查了基本不等式的應用，考查了數(shù)學運算能力.6、C【解題分析】

根據(jù)題意可從樣本中數(shù)據(jù)的頻率考慮，即按成績擇優(yōu)選擇頻率為的，根據(jù)題意得到所選的范圍后再求出對應的分數(shù)．【題目詳解】由題意得，參加面試的頻率為，結合表中的數(shù)據(jù)可得，樣本中[80，90]的頻率為，由樣本估計總體知，分數(shù)線大約為80分．故選C．【題目點撥】本題考查統(tǒng)計圖表的應用，解題的關鍵是理解題意，同時還要正確掌握統(tǒng)計中的常用公式，屬于基礎題．7、C【解題分析】

A、B利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出；C利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出；D利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出.【題目詳解】A，

∵b<a<0,∴?b>?a>0,∴，正確；B，∵b<a<0,∴，正確；C，

，因此C不正確；D，，正確，綜上可知：只有C不正確，故選：C.【題目點撥】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎題.解答過程注意考慮參數(shù)的正負，確定不等號的方向是解題的關鍵.8、B【解題分析】

利用橢圓的性質(zhì)列出不等式求解即可．【題目詳解】方程1表示焦點在y軸上的橢圓，可得，解得1＜m．則m的取值范圍為：（1，）．故選B．【題目點撥】本題考查橢圓的方程及簡單性質(zhì)的應用，基本知識的考查．9、D【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是勻速運動，圖像為直線，然后再休息，路程不變，那么可知時間持續(xù)10min，那么最后還是同樣的勻速運動，直線的斜率不變可知選D.考點：函數(shù)圖像點評：主要是考查了路程與時間的函數(shù)圖像的運用，屬于基礎題．10、A【解題分析】根據(jù)棱柱的性質(zhì)可得：其側面一定是平行四邊形，故選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)題意畫出草圖，根據(jù)余弦定理求出的值，設點到的距離為，可得，分析可知取最大時，取最大值，然后再對為中點和不是中點兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據(jù)圓的有關性質(zhì)和正弦定理，即可求出結果．【題目詳解】根據(jù)題意可作出及其外接圓，連接，交于點，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內(nèi)角，可知，所以.設的半徑為，點到的距離為，點到的距離為，則,故取最大時，取最大值.①當為中點時，由垂徑定理知，即，此時，故；②當不是中點時，不與垂直，設此時與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時;綜上，當為中點時，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時點為優(yōu)弧的中點，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當△ADC面積最大時建立索道AD的長為公里.故答案為：．【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實際問題中的應用，屬于中檔題．12、【解題分析】

根據(jù)題意可知，可得，依次計算，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，構成是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，正方形的面積構成是公比為的等比數(shù)列．利用無窮等比數(shù)列的和公式可得所有正方形的面積的和．【題目詳解】根據(jù)題意可知，可得，依次計算，，是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，邊長依次為，，，，正方形的面積構成是公比為的等比數(shù)列．所有正方形的面積的和．故答案為：【題目點撥】本題考查了無窮等比數(shù)列的和公式的運用．利用邊長關系建立等式，找到公比是解題的關鍵．屬于中檔題．13、-7【解題分析】設公比為q，則8a1q=-a114、【解題分析】

先求得，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)，求得.【題目詳解】依題意，由于分別是線段的中點，故.【題目點撥】本小題主要考查平面向量減法運算，考查三角形中位線，屬于基礎題.15、6【解題分析】

由向量平行與垂直的性質(zhì)，列出式子計算即可.【題目詳解】若，可得，解得；若，則，解得.故答案為：6；.【題目點撥】本題考查平面向量平行、垂直的性質(zhì)，考查平面向量的坐標運算，考查學生的計算能力，屬于基礎題.16、1【解題分析】設z=a+bi,a,b∈R，則由z?2則-2b=a2+b2+12a=0三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）見證明【解題分析】

（1）由，得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）由（1）可得，得到，利用裂項法求得數(shù)列的和，即可作出證明.【題目詳解】（1）證明：由，得，兩式作差可得：，即，即，又，得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，數(shù)列的通項公式為，又由，所以.所以.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及數(shù)列“裂項法”求和的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和通項，以及合理利用數(shù)列的“裂項法”求得數(shù)列的前n項和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.18、(1)見解析;(2)當時，四邊形材料的面積最小，最小值為.【解題分析】分析：（1）通過直角三角形的邊角關系，得出和，進而得出四邊形材料的面積的表達式，再結合已知尺寸條件，確定角的范圍.（2）根據(jù)正切的兩角差公式和換元法，化簡和整理函數(shù)表達式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對應的點在上的位置.詳解：解：（1）在直角中，因為，，所以，所以，在直角中，因為，，所以，所以，所以，.（2）因為，令，由，得，所以，當且僅當時，即時等號成立，此時，，，答：當時，四邊形材料的面積最小，最小值為.點睛：本題考查三角函數(shù)的實際應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意換元法和基本不等式的合理運用.換元法求函數(shù)的值域，通過引入新變量（輔助式，輔助函數(shù)等），把所有分散的已知條件聯(lián)系起來，將已知條件和要求的結果結合起來，把隱藏在條件中的性質(zhì)顯現(xiàn)出來，或把繁瑣的表達式簡化，之后就可以利用各種常見的函數(shù)的圖象和性質(zhì)或基本不等式來解決問題.常見的換元方法有代數(shù)和三角代換兩種.要特別注意原函數(shù)的自變量與新函數(shù)自變量之間的關系.19、；；【解題分析】

設扇形的半徑為，弧長為，利用周長關系，表示出扇形的面積，利用二次函數(shù)求出面積的最大值，以及圓心角的大小.【題目詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，即，扇形的面積，將上式代入得，所以當且僅當時，有最大值，此時，可得，所以當時，扇形的面積取最大值，最大值為【題目點撥】本題考查了扇形的弧長公式、面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，需熟記扇形的弧長、面積公式，屬于基礎題.20、（1）（2）當點為時，直線與直線關于軸對稱，詳見解析【解題分析】

（1）設圓的方程為，由垂徑定理求得弦長，再由弦長為可求得，從而得圓的方程；（2）假設存在定點，使得直線與直線關于軸對稱，則，同時設，直線方程代入圓方程后用韋達定理得，即為，代入可求得，說明存在．【題目詳解】（1）設圓的方程為：圓心到直線的距離根據(jù)垂徑定理得，，解得，，故圓的方程為（2）假設存在定點，使得直線與