2024屆海南省白沙中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆海南省白沙中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，，，，則=（）A． B．C． D．2．已知各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上的正方體的棱長(zhǎng)為2，則這個(gè)球的表面積為（）A． B． C． D．3．已知是第二象限角，且，則的值為A． B． C． D．4．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（）A． B． C． D．5．將兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5，4，3的長(zhǎng)方體壘在一起，使其中兩個(gè)面完全重合，組成一個(gè)大長(zhǎng)方體，則大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．6．袋中有個(gè)大小相同的小球，其中個(gè)白球，個(gè)紅球，個(gè)黑球，現(xiàn)在從中任意取一個(gè)，則取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為（）A． B． C． D．7．若直線被圓截得弦長(zhǎng)為4，則的最小值是（）A．9 B．4 C． D．8．設(shè)是△所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則△與△的面積之比是（）A． B． C． D．9．如果，且，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．10．設(shè)x、y滿足約束條件，則z＝2x﹣y的最大值為（）A．0 B．0.5 C．1 D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．將一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知截得的圓臺(tái)的上、下底面面積之比是1:4，截去的小圓錐母線長(zhǎng)為2，則截得的圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為________.12．球的內(nèi)接圓柱的表面積為，側(cè)面積為，則該球的表面積為_______13．若，則函數(shù)的最小值是_________.14．已知圓錐的底面半徑為3，體積是，則圓錐側(cè)面積等于___________.15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為______.16．將正整數(shù)按下圖方式排列，2019出現(xiàn)在第行第列，則______；12345678910111213141516………三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)平面三點(diǎn)、、.（1）試求向量的模；（2）若向量與的夾角為，求；（3）求向量在上的投影．18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．求點(diǎn)的坐標(biāo)：若點(diǎn)在軸上，且直線與直線垂直，求點(diǎn)的坐標(biāo)．19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)的距離之比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作軌跡的切線，求該切線的方程.20．已知向量，，.（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，，求的值．21．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足.（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)正弦定理,代入即可求解.【題目詳解】因?yàn)橹?,,由正弦定理可知代入可得故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

先求出外接球的半徑，再求球的表面積得解.【題目詳解】由題得正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查多面體的外接球問(wèn)題和球的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、B【解題分析】試題分析：因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，所以．考點(diǎn)：兩角和的正切公式．4、B【解題分析】

由題意和余弦定理可得，再由余弦定理可得，可得角的值．【題目詳解】在中，，由余弦定理可得，，，又，．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用余弦定理解三角形，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

要計(jì)算長(zhǎng)方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合；（2）長(zhǎng)高的兩個(gè)面重合；（3）高寬兩個(gè)面重合，分別計(jì)算出新長(zhǎng)方體的對(duì)角線，然后分別計(jì)算出外接球的表面積，最后通過(guò)比較即可求出最大值.【題目詳解】（1）當(dāng)長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5，寬為4，高為6，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長(zhǎng)高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)5，寬為8，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為10，寬為4，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為，顯然大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了長(zhǎng)方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、D【解題分析】

利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【題目詳解】從袋中個(gè)球中任取一個(gè)球，取出的球恰好是一個(gè)紅色或黑色小球的基本事件數(shù)為，因此，取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率的計(jì)算，解題時(shí)要確定出全部基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，并利用古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

圓方程配方后求出圓心坐標(biāo)和半徑，知圓心在已知直線上，代入圓心坐標(biāo)得滿足的關(guān)系，用“1”的代換結(jié)合基本不等式求得的最小值．【題目詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線被圓截得弦長(zhǎng)為4，則圓心在直線上，∴，，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是1．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查用基本不等式求最值，解題時(shí)需根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得的關(guān)系，然后用“1”的代換法把湊配出可用基本不等式的形式，從而可求得最值．8、B【解題分析】試題分析：依題意，得，設(shè)點(diǎn)到的距離為，所以與的面積之比是，故選B．考點(diǎn)：三角形的面積．9、D【解題分析】

由，且，可得．再利用不等式的基本性質(zhì)即可得出，．【題目詳解】，且，．，，因此．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【題目詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，3），化目標(biāo)函數(shù)z＝2x﹣y為y＝2x﹣z，由圖可知，當(dāng)直線y＝2x﹣z過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2×2﹣3＝1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】

由截得圓臺(tái)上，下底面積之比可得上，下底面半徑之比，再根據(jù)小圓錐的母線即可得圓臺(tái)母線．【題目詳解】設(shè)截得的圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為.因?yàn)榻氐玫膱A臺(tái)的上、下底面面積之比是1:4，所以截得的圓臺(tái)的上、下底面半徑之比是1:2.因?yàn)榻厝サ男A錐母線長(zhǎng)為2，所以，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查求圓臺(tái)的母線，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

設(shè)底面半徑為，圓柱的高為，根據(jù)圓柱求得和的值，進(jìn)而利用圓柱的軸截面求得球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解．【題目詳解】由題意，設(shè)底面半徑為，圓柱的高為，則圓柱的底面面積為，解得，側(cè)面積，解得，則圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)分別為4和3的矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為5，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓柱的表面積和側(cè)面積公式的應(yīng)用，以及球的表面積公式應(yīng)用，其中解答中正確理解空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值.【題目詳解】，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】試題分析：求圓錐側(cè)面積必須先求圓錐母線，既然已知體積，那么可先求出圓錐的高，再利用圓錐的性質(zhì)(圓錐的高，底面半徑，母線組成直角三角形)可得母線，，，，．考點(diǎn)：圓錐的體積與面積公式，圓錐的性質(zhì)．15、－6【解題分析】

由題意可得，求解即可.【題目詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，，所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可得解得.故答案為-6.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、128【解題分析】

觀察數(shù)陣可知：前行一共有個(gè)數(shù)，且第行的最后一個(gè)數(shù)為，且第行有個(gè)數(shù)，由此可推斷出所在的位置.【題目詳解】因?yàn)榍靶幸还灿袀€(gè)數(shù)，且第行的最后一個(gè)數(shù)為，又因?yàn)?，所以在第行，且?5行最后數(shù)為，又因?yàn)榈谛杏袀€(gè)數(shù)，，所以在第列，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列在數(shù)陣中的應(yīng)用，著重考查推理能力，難度一般.分析數(shù)列在數(shù)陣中的應(yīng)用問(wèn)題，可從以下點(diǎn)分析問(wèn)題：觀察每一行數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與行號(hào)關(guān)系，同時(shí)注意每一行開始的數(shù)據(jù)或結(jié)尾數(shù)據(jù)，所有行數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)，注意等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）計(jì)算出、的坐標(biāo)，可計(jì)算出的坐標(biāo)，再利用平面向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示可計(jì)算出向量的模；（2）由可計(jì)算出的值；（3）由投影的定義得出向量在上的投影為可計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】（1）、、，，，因此，；（2）由（1）知，，，所以；（3）由（2）知向量與的夾角的余弦為，且.所以向量在上的投影為.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及平面向量夾角的坐標(biāo)表示、以及向量投影的計(jì)算，解題時(shí)要熟悉平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算律以及平面向量數(shù)量積、模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）由題意利用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【題目詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，又，所以，解得，從而．設(shè)，所以，由已知直線與直線垂直，所以則，解得，所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了推理與運(yùn)算能力．19、（1），（2）或【解題分析】

（1）首先根據(jù)題意列出等式，再化簡(jiǎn)即可得到軌跡方程.（2）首先根據(jù)題意設(shè)出切線方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑即可求出切線方程.【題目詳解】（1）設(shè)，有題知，，所以點(diǎn)的軌跡的方程：.（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線為圓心到的距離，舍去.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為.圓心到切線的距離，解得：或.即切線方程為：或.【題目點(diǎn)撥】本題第一問(wèn)考查了圓的軌跡方程，第二問(wèn)考查了直線與圓的位置關(guān)系中的切線問(wèn)題，屬于中檔題.20、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）或【解題分析】

（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．（2）由（1），根據(jù)，解得，利用正弦定理，求得，再利用余弦定理列出方程，即可求解．【題目詳解】（1）由題意，向量，，所以，因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）函數(shù)的解析式為，可得，解得，又由，根據(jù)正弦定理，可得，因?yàn)?，所以，所以為銳角，所以，由余弦定理可得，可得，即，解得或．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角恒等變換的應(yīng)用，以及正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊