2024屆江西省贛州市大余縣新城中學數(shù)學高一第二學期期末檢測試題含解析

2024屆江西省贛州市大余縣新城中學數(shù)學高一第二學期期末檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，，，，點P是內（包括邊界）的一動點，且（），則的最大值為（）A．6 B． C． D．62．若，則下列結論成立的是（）A． B．C．的最小值為2 D．3．等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1 B．a(chǎn)3＝1 C．a(chǎn)4＝1 D．a(chǎn)5＝14．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．245．方程的解所在區(qū)間是（）A． B．C． D．6．我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽，創(chuàng)立了用圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積的方法，稱為“割圓術”，為圓周率的研究提供了科學的方法.在半徑為1的圓內任取一點，則該點取自圓內接正十二邊形外的概率為A． B．C． D．7．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S9＝S4，則S13＝（）A．13 B．7 C．0 D．18．有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為A． B． C． D．9．從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為A． B． C． D．10．用數(shù)學歸納法證明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在驗證n=1成立時，左邊的項是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線l與圓C：交于A，B兩點，，則滿足條件的一條直線l的方程為______.12．如圖，在正方體中，有以下結論：①平面；②平面；③；④異面直線與所成的角為.則其中正確結論的序號是____（寫出所有正確結論的序號）.13．在四面體ABCD中，平面ABC，，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．14．圓上的點到直線4x+3y－12=0的距離的最小值是15．給出下列四個命題：①在中，若，則；②已知點，則函數(shù)的圖象上存在一點，使得；③函數(shù)是周期函數(shù)，且周期與有關，與無關；④設方程的解是，方程的解是，則.其中真命題的序號是______.（把你認為是真命題的序號都填上）16．在中，若，，，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．18．正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，側棱長為x.（1）求出其表面積S（x）和體積V（x）；（2）設，求出函數(shù)的定義域，并判斷其單調性（無需證明）.19．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，，.（1）求：（2）求的面積.20．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，且，．(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和.21．某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機抽樣133個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組

頻數(shù)

頻率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合計

133

（Ⅰ）請在上表中補充完成頻率分布表（結果保留兩位小數(shù)），并在圖中畫出頻率分布直方圖；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，已知標準乒乓球的直徑為2．33mm，試求這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率；（Ⅲ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)經(jīng)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間[1．99,2．31）的中點值是2．33作為代表．據(jù)此估計這批乒乓球直徑的平均值（結果保留兩位小數(shù)）．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

利用余弦定理和勾股定理可證得；取，作，根據(jù)平面向量平行四邊形法則可知點軌跡為線段，由此可確定，利用勾股定理可求得結果.【題目詳解】由余弦定理得：如圖，取，作，交于在內（包含邊界）點軌跡為線段當與重合時，最大，即故選：【題目點撥】本題考查向量模長最值的求解問題，涉及到余弦定理解三角形的應用；解題關鍵是能夠根據(jù)平面向量線性運算確定動點軌跡，根據(jù)軌跡確定最值點.2、D【解題分析】

由，根據(jù)不等式乘方性質可判斷A不成立；由指數(shù)函數(shù)單調性可判斷B不成立；由基本不等式可判斷C不成立，D成立．【題目詳解】對于A,若，則有，故A不成立；對于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性，函數(shù)單調遞減，，故B不成立；對于C,由基本不等式，a=b取得最小值，由不能取得最小值，故C不成立；則D能成立.故選：D.【題目點撥】本題考查基本不等式、不等式的基本性質，考查不等式性質的應用，屬于基礎題.3、B【解題分析】分析：由題意知，由此可知，所以一定有．詳解

，．

故選B．點睛：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．4、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質得到，再計算得到答案.【題目詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質，是數(shù)列的?？碱}型.5、D【解題分析】

令，則，所以零點在區(qū)間.方程的解所在區(qū)間是，故選D.6、D【解題分析】

由半徑為1的圓內接正十二邊形，可分割為12個頂角為，腰為1的等腰三角形，求得十二邊形的面積，利用面積比的幾何概型，即可求解.【題目詳解】由題意，半徑為1的圓內接正十二邊形，可分割為12個頂角為，腰為1的等腰三角形，所以該正十二邊形的面積為，由幾何概型的概率計算公式，可得所求概率，故選D.【題目點撥】本題主要考查了幾何概型的概率的計算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”，再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力.7、C【解題分析】

由題意，利用等差數(shù)列前n項和公式求出a1＝﹣6d，由此能求出S13的值．【題目詳解】∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S9＝S4，∴4a1，解得a1＝﹣6d，∴S1378d﹣78d＝1．故選：C．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式的應用，考查運算求解能力，是基礎題．8、C【解題分析】選取兩支彩筆的方法有種，含有紅色彩筆的選法為種，由古典概型公式，滿足題意的概率值為.本題選擇C選項.考點：古典概型名師點睛：對于古典概型問題主要把握基本事件的種數(shù)和符合要求的事件種數(shù)，基本事件的種數(shù)要注意區(qū)別是排列問題還是組合問題，看抽取時是有、無順序，本題從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，是組合問題，當然簡單問題建議采取列舉法更直觀一些.9、D【解題分析】分析：分別求出事件“2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務”的總可能及事件“選中的2人都是女同學”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設2名男同學為，3名女同學為，從以上5名同學中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學的概率為，故選D.點睛：應用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.10、C【解題分析】

在驗證時，左端計算所得的項，把代入等式左邊即可得到答案.【題目詳解】解：用數(shù)學歸納法證明，

在驗證時，把當代入，左端.

故選：C.【題目點撥】此題主要考查數(shù)學歸納法證明等式的問題，屬于概念性問題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（答案不唯一）【解題分析】

確定圓心到直線的距離，即可求直線的方程.【題目詳解】由題意得圓心坐標，半徑，，∴圓心到直線的距離為，∴滿足條件的一條直線的方程為.故答案為：（答案不唯一）.【題目點撥】本題考查直線和圓的方程的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.12、①③【解題分析】

①：利用線面平行的判定定理可以直接判斷是正確的結論；②：舉反例可以判斷出該結論是錯誤的；③：可以利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再利用線面垂直的性質定理可以判斷是正確的結論；④：可以通過，可以判斷出異面直線與所成的角為，即本結論是錯誤的，最后選出正確的結論序號.【題目詳解】①：平面，平面平面，故本結論是正確的；②：在正方形中，，顯然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，則必有互相垂直，顯然是不可能的，故本結論是錯誤的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本結論是正確的；④：因為，所以異面直線與所成的角為，在正方形中，，故本結論是錯誤的，因此正確結論的序號是①③.【題目點撥】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、性質定理，考查了異面直線所成的角、線面垂直的性質.13、【解題分析】

易得四面體為長方體的一角,再根據(jù)長方體體對角線等于外接球直徑,再利用對角線公式求解即可.【題目詳解】因為四面體中,平面,且,.故四面體是以為一個頂點的長方體一角.設則因為四面體的外接球的表面積為,設其半徑為,故.解得.故四面體的體積.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了長方體一角的四面體的外接球有關問題,需要注意長方體體對角線等于外接球直徑.屬于中檔題.14、【解題分析】

計算出圓心到直線的距離，減去半徑，求得圓上的點到直線的最小距離.【題目詳解】圓的圓心為，半徑.圓心到直線的距離為，故最小距離為.【題目點撥】本小題主要考查圓上的點到直線距離最小值的求法，考查點到直線距離公式，屬于基礎題.15、①③【解題分析】

①利用三角形的內角和定理以及正弦函數(shù)的單調性進行判斷；②根據(jù)余弦函數(shù)的有界性可進行判斷；③利用周期函數(shù)的定義，結合余弦函數(shù)的周期性進行判斷；④根據(jù)互為反函數(shù)圖象的對稱性進行判斷.【題目詳解】①在中，若，則，則，由于正弦函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，故命題①正確；②已知點，則函數(shù)，所以該函數(shù)圖象上不存在一點，使得，故命題②錯誤；③函數(shù)的是周期函數(shù)，當時，，該函數(shù)的周期為.當時，，該函數(shù)的周期為.所以，函數(shù)的周期與有關，與無關，命題③正確；④設方程的解是，方程的解是，由，可得，由，可得，則可視為函數(shù)與直線交點的橫坐標，可視為函數(shù)與直線交點的橫坐標，如下圖所示：聯(lián)立，得，可得點，由于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則直線與函數(shù)和函數(shù)圖象的兩個交點關于點對稱，所以，命題④錯誤.故答案為：①③.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的周期、正弦函數(shù)單調性的應用、互為反函數(shù)圖象的對稱性的應用以及余弦函數(shù)有界性的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、2；【解題分析】

利用余弦定理可構造關于的方程，解方程求得結果.【題目詳解】由余弦定理得：解得：或（舍）本題正確結果：【題目點撥】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；（2）.【解題分析】試題分析：(1)由于為等差數(shù)列，根據(jù)已知條件求出的第一項和第三項求得數(shù)列的公差，即得數(shù)列的通項公式，移項可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可知,通過分組求和根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式求得的前項和.試題解析:（1）設數(shù)列的公差為，∵，∴，∴，∴．（2）考點：等差數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和.18、（1），；（2）x>，是減函數(shù).【解題分析】

（1）畫出圖形，分別求出四棱錐的高，及側面的高的表達式，即可求出表面積與體積的表達式；（2）結合表達式，可求出的范圍，即定義域，然后判斷其為減函數(shù).【題目詳解】（1）過點作平面的垂線，垂足為，取的中點，連結，因為為正四棱錐，所以，，，，所以四棱錐的表面積為，體積.（2），解得，是減函數(shù).【題目點撥】本題考查了四棱錐的結構特征，考查了表面積與體積的計算，考查了學生的空間想象能力與計算能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）由已知可先求，然后結合正弦定理可求的值；（2）利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得解．【題目詳解】（1），，，，由正弦定理，可得：.（2），．【題目點撥】本題考查正弦定理，三角形的面積公式，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解題分析】

（I）由得出，可得公比為2，再求出后可得；（II）由（I）得，則，可用錯位相減法求．【題目詳解】解：(Ⅰ)因為所以即.由因為所以，公比所以(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以.所以因為所以所以【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求和．數(shù)列求和根據(jù)數(shù)列的通項公式可采取不同的方法，一般有公式法、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等．21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【