2.2 基本不等式 第1課時 課件

2.2基本不等式第1課時1.理解基本不等式2.能用基本不等式解決簡單的最值問題

思考：乘法公式在代數(shù)式的運算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的重要作用呢？知識點：基本不等式前面我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：?a,b∈R，a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.如果a＞0,b＞0,我們用分別代替上式中的a,b，可得到什么結(jié)論？當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.替換后得到：即：即：基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).基本不等式幾何平均數(shù)算數(shù)平均數(shù)正數(shù)a,b正數(shù)a,b注：a,b均為正數(shù)提問：能否直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？只要把上述過程倒過來，就能直接推出基本不等式了．顯然，⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.要證①要證②，只要證

③只要證②要證③，只要證

④要證④，只要證

⑤分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.探究如圖,AB是圓的直徑,點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？可證△ACD∽△DCB則有，則．由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即當(dāng)a=b時，上述不等式的等號成立.適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0重要不等式與基本不等式的比較例1已知x>0，求的最小值.解：因為x>0，所以因此所求的最小值為2.當(dāng)且僅當(dāng)即x2=1，x=1時，等號成立，思考：這里2只是

的一個取值，試想一下當(dāng)y0＜2時，

成立嗎？這時候能說明y0是的最小值嗎？能夠利用基本不等式求代數(shù)式最值的條件：

代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個正數(shù)的和積的形式，它們的和或者積是一個定值，不等式中的等號能夠取到，即“一正、二定、三相等”.歸納總結(jié)例2已知x，y都是正數(shù)，求證：證明：因為x，y都是正數(shù)，所以（1）如果xy等于定值P,那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值；（2）如果x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值；（1）當(dāng)積xy等于定值P時，所以，x+y≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，上式等號成立.所以，當(dāng)x=y時，和x+y有最小值.兩個正變量積為定值，則和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時取最值.簡記“積定和最小”.例2已知x，y都是正數(shù)，求證：（2）如果x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值；（2）當(dāng)積x+y等于定值S時，所以，,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立.所以，當(dāng)x=y時，積xy有最大值.兩個正變量和為定值，則積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時取最值.簡記“和定積最大”.1.已知a>0，b>0，a+b=18,求ab的最大值.練一練解：∵∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=9時，等號成立，所以，ab的最大值為812.已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證.練一練