重慶郵電大學(xué)-信號(hào)與系統(tǒng)-楊曉非版-課件

第二章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析法2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的經(jīng)典時(shí)域分析法2.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時(shí)域分析法2.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)2.5卷積2.6卷和LTI連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是：常系數(shù)線性微分方程；

LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是：常系數(shù)線性差分方程；時(shí)域分析法：不經(jīng)變換，在時(shí)間域中直接求出系統(tǒng)的輸響應(yīng)；兩種時(shí)域分析方法：經(jīng)典求解法和卷積（和）分析法；數(shù)學(xué)模型Sy(t)f(t)?2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的經(jīng)典時(shí)域分析法一、微分方程的經(jīng)典解如果單輸入一單輸出系統(tǒng)的LTI連續(xù)系統(tǒng)激勵(lì)為f(t)，響應(yīng)為y(t)，則系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)微分方程。該方程的全解（系統(tǒng)的輸出）由兩部分組成：齊次解yh(t)非齊次特解yp(t)ai和bj為常數(shù)，且an=11、齊次解yh(t)的解

齊次微分方程的特征根：特征方程的n個(gè)根λi(i=1，2，…，n)；齊次解yh(t)的函數(shù)形式由特征根確定；特征方程解：特征方程為特征根為求微分方程的齊次解，已知:齊次解一般形式為:代入初始條件得:C1=4C2=-3得到齊次解:2、特解yp(t)

是t>0微分方程的一個(gè)解；特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)（f(t)）的形式有關(guān)，;

選定特解后，將其代入到微分方程，求出各待定系數(shù)Pi3、完全解

微分方程的完全解是齊次解與特解之和。若微分方程的特征根均為單實(shí)根，則其全解為：解：（1）求齊次解齊次解一般形式：求微分方程的全解已知：特征方程為：(2)求特解代入原微分方程(3)求全解齊次解特解自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)

齊次解的函數(shù)形式僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)。但齊次解的系數(shù)Ci的值是與激勵(lì)f(t)有關(guān)。

特解的函數(shù)形式由激勵(lì)信號(hào)f(t)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。

二、初始值的確定

若輸入f(t)是在t=0時(shí)刻接入，怎么確定求待定系數(shù)所需的一組初始條件？

初始條件：指t=0+時(shí)刻的值，即y(j)(0+)(j=0，1，…，n–1)。t=0–時(shí)，激勵(lì)尚未接入，t=0–時(shí)的值y(j)(0–)反映了系統(tǒng)過去的歷史狀況；

t=0+時(shí)，激勵(lì)已接入，因而y(j)(0+)則已包含輸入信號(hào)的作用。要求

如何由已知的初始狀態(tài)y(j)(0–)，設(shè)法求得初始條件y(j)(0+)。問題解決方法初始值確定的兩種情況：

若給定的是具體電路，根據(jù)電路分析中的換路定律來確定t=0+初始條件；

若給定的是微分方程和初始條件，根據(jù)激勵(lì)信號(hào)的情況，利用微分方程兩端各奇異信號(hào)相平衡的方法來判斷；已知：已知系統(tǒng)的微分方程為：求和已知：已知系統(tǒng)的微分方程為：求和三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)

：可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。

零輸入響應(yīng)yx(t)

：激勵(lì)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)；

零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)：系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí)，僅由輸入信號(hào)f(t)所引起的響應(yīng)；

微分方程式是齊次方程，yx(t)與齊次解yh(t)形式相同；求解的待定系數(shù)直接由給定的t=0-初始狀態(tài)y(j)(0-)確定；零輸入響應(yīng)是齊次微分方程滿足初始狀態(tài)（或零輸入響應(yīng)初值）的解1、零輸入響應(yīng)yx(t)

右端為零已知：已知系統(tǒng)的微分方程為：求零輸入響應(yīng)

微分方程式的初始狀態(tài)為零，有輸入信號(hào)，是非齊次方程；零狀態(tài)響應(yīng)包含齊次解和特解兩部分，由于要求齊次解中的待定系數(shù)，需要確定微分方程的初始條件y(j)(0+)；時(shí)域中求解零狀態(tài)響應(yīng)較麻煩，但對(duì)理解系統(tǒng)的物理概念有幫助；2、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)激勵(lì)信號(hào)：已知微分方程為：求:系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)沖激平衡法2.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時(shí)域分析法一、差分方程的經(jīng)典解差分方程的經(jīng)典解分為齊次解yh(k)和特解yp(k)。n階常系數(shù)線性差分方程1、差分方程的齊次解n階前向齊次差分方程其特征方程為：根據(jù)特征根取值的不同，有不同齊次解的形式特征根λ齊次解yh(k)實(shí)數(shù)單根Cλkr重實(shí)根Cr-1kr-1γk+Cr-2kr-2γk+…+C1kγk+C0γk一對(duì)共軛復(fù)根λ1,2=a＋jb=ρe±jβρk[Ccos(βk)+Dsin(βk)]或Aρkcos(βk-θ)Aejθ=C+jDr重共軛復(fù)根Ar-1kr-1ρkcos(βk-θr-1)+……+A0ρkcos(βk-θ0)

特解與激勵(lì)f(k)的形式相關(guān)，常見激勵(lì)的幾種形式和相應(yīng)的響應(yīng)形式如下表：激勵(lì)f(k)特解yp(k)kmPmkm+Pm-1km-1+…+P1k+P0所有特征根不等于1kr[Pmkm+Pm-1km-1+…+P1k1+P0]r重等于1的特征根akP0aka不等于特征根

P1kak+P0aka等于特征單根

Prkrak+Pr-1kr-1ak-1+…+P1kak+P0aka是r重特征根Acos(βk)或Asin(βk)P1cos(βk)+P2sin(βk)所有的特征根均不等于e±jβ

或Pcos(βk?θ)其中，Pejθ=P2+jP2k[P1cos(βk)+P2sin(βk)]當(dāng)特征根均等于e±jβ2、差分方程的特解LTI差分方程的完全解：3、差分方程的完全解激勵(lì)信號(hào)：已知某離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為：，y(0)=0，y(1)=2，求:系統(tǒng)的完全解。LTI離散系統(tǒng)的全響應(yīng)y(k)分為：零輸入響應(yīng)yx(k)

和零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)

。二、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)

零輸入響應(yīng)yx(k)

：當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)完全由初始狀態(tài)所引起的系統(tǒng)響應(yīng)；

零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)

：當(dāng)初始狀態(tài)為零時(shí)完全由激勵(lì)f(t)所引起的系統(tǒng)響應(yīng)。1、零輸入響應(yīng)yx(k)

用齊次解的經(jīng)典求解方法求零輸入響應(yīng)是齊次方程，yx(k)與yh(k)具有相同的模式描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：初始條件為yx(0)=2，yx(1)=3,試求其零輸入響應(yīng)。2、零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)

以下通過舉例來說明經(jīng)典法求解零狀態(tài)響應(yīng)的方法：描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：已知：,試求其零狀態(tài)響應(yīng)。3、經(jīng)典法求全響應(yīng)

自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)都是齊次解的形式，但它們的系數(shù)并不相同；

Cxi僅由初始狀態(tài)所決定；

Cfi僅由輸入激勵(lì)f(t)所決定，

Ci是由起始狀態(tài)和激勵(lì)共同決定。其中，某離散系統(tǒng)的差分方程為：已知：,初始狀態(tài)y(-1)=0，y(-2)=1/2，試求系統(tǒng)的全響應(yīng)。2.3連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)本節(jié)解決兩個(gè)問題：

單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的概念；

h(t)的求取方法一、單位沖激響應(yīng)h(t)1、單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的概念

零狀態(tài)系統(tǒng)：在激勵(lì)f(t)的作用下將產(chǎn)生零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)；如果激勵(lì)是單位沖激信號(hào)δ(t)，產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，用h(t)表示。如果激勵(lì)是單位階躍信號(hào)ε(t)，產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用g(t)表示。零狀態(tài)系統(tǒng)f(t)=ε(t)yf(t)=g(t)注意：為方便起見，對(duì)單一零狀態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行討論時(shí)常常僅用y(t)代表yf(t)。2、h(t)的求解方法此方法適用于簡單電路，前提是階躍響應(yīng)g(t)簡單易求。（1）利用階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系求解（2）利用微分方程的經(jīng)典求解法求h(t)某二階LTI系統(tǒng)的微分方程為：試求其單位沖激響應(yīng)h(t)。注意兩點(diǎn)：1、初始值的確定：n階微分方程，右端只含有激勵(lì)f(t)t=0+的初始值為：2、微分方程的右端由激勵(lì)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合時(shí)：設(shè)微分方程右端僅有f(t)時(shí)的沖激響應(yīng)為h0(t)2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)本節(jié)解決兩個(gè)問題：

單位序列響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的概念；

h(k)的求取方法一、單位序列響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的概念

單位序列響應(yīng)h(k)：離散系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為

(k)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)；單位階躍響應(yīng)g(k)：離散系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為ε(k)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)；零狀態(tài)系統(tǒng)==ε(k)g(k)二、h(k)的求取方法1、利用單位階躍響應(yīng)與單位序列響應(yīng)的關(guān)系求h(t)ε(k)g(k)LTI性質(zhì)=▽?duì)?k)=▽g(k)2、利用差分方程的經(jīng)典求解法求解求下列差分方程的單位序列響應(yīng)注意兩點(diǎn)：1、初始值的確定：n階差分方程初始條件為：2、差分方程的右端由序列f(k)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合時(shí)：設(shè)微分方程右端僅有f(k)時(shí)的單位序列響應(yīng)為h0(k)2.5卷積積分本節(jié)解決幾個(gè)問題：

LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷積積分卷積的求取方法卷積的存在性卷積的性質(zhì)利用卷積求yf(t)一、LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷積積分1、卷積積分的定義（1）任意信號(hào)f(t)表示為沖激函數(shù)的積分f(t)是其自身與δ(t)的卷積積分LTI零狀態(tài)系統(tǒng)激勵(lì)f(t)

零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)

時(shí)不變性齊次性積分性結(jié)論：零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積積分(2)關(guān)于h(t)

是系統(tǒng)時(shí)域特性的一種描述；可以用來計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)；LTI為因果系統(tǒng)f(t)為因果信號(hào)二、卷積的基本計(jì)算方法1、圖解法兩個(gè)函數(shù)x1(t)和x2(t)的波形如下圖所示：y(t)是x1(τ)和x2(t–τ)波形相乘后組成的曲線與橫軸τ之間構(gòu)成的圖形的面積?？偨Y(jié)卷積的圖解法的步驟（1）變量替換：將自變量由t變成τ（2）反轉(zhuǎn)：將h(τ)折疊成h(–τ)。注意：可將兩函數(shù)的任意一個(gè)折疊。（3）移位：將h(–τ)移位成h(t–τ),由于t是變化的，這種移位是動(dòng)態(tài)的，使兩個(gè)函數(shù)從不重疊到重疊甚至脫離重疊；（4）相乘：

f(τ)與h(t–τ)相乘；（5）積分：重疊區(qū)域進(jìn)行積分；重疊區(qū)域的面積即為t時(shí)刻的卷積值；注意：圖解法是借助曲線圖求解卷積積分，而不是繪圖。此方法可清晰地判定積分的上下限。（2）反轉(zhuǎn)：h(τ)為h(–τ)兩函數(shù)f(t)和h(t)波形如圖所示，試求卷積解：（1）變量替換（4）分段求卷積：

（3）將h(–τ)移位成h(t–τ)（5）寫出y(t)表達(dá)式

兩函數(shù)f(t)和h(t)波形如圖所示，試求卷積122、函數(shù)式計(jì)算法（卷積積分上下限的確定）

對(duì)于兩個(gè)卷積信號(hào)有函數(shù)表達(dá)式，且不便于作出信號(hào)的圖形，則可以采用該方法，但關(guān)鍵的問題是如何確定卷積積分上下限。兩函數(shù)f(t)=ε(t)和h(t)=ε(t)，試求其卷積。兩函數(shù)f(t)=e-2tε(t)和h(t)=e-tε(t)，試求其卷積。兩函數(shù)為：試求其卷積。三、卷積積分的存在性1、假定f(t)與h(t)不包含沖激。在任何有限時(shí)刻t，若則兩函數(shù)的卷積存在。據(jù)此，可推出如下判定準(zhǔn)則：（1）設(shè)兩信號(hào)分別是因果（或有始）指數(shù)信號(hào)和反因果（或有終）指數(shù)信號(hào)，其中，為任意實(shí)數(shù)，則若，兩信號(hào)的卷積不存在；若，兩信號(hào)的卷積存在。

解：（1）在中，，故卷積不存在；求和。（2）在中，，故卷積存在。將兩無時(shí)限信號(hào)分解為：2、兩個(gè)有始信號(hào)的卷積和兩個(gè)有終信號(hào)的卷積一定存在；若

和至少有一個(gè)是時(shí)限信號(hào)，則兩者的卷積一定存在。3、若和都是無時(shí)限信號(hào)，可將它們分解成有始信號(hào)與有終信號(hào)之和。4、若和含有沖激及其導(dǎo)數(shù)，可將它們先分離出來，然后單獨(dú)處理。1212判斷是否存在。四、卷積的性質(zhì)1、卷積的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

(1)交換律(2)分配律h1(t)h2(t)h1(t)+h1(t)h1(t)h2(t)h1(t)*h2(t)(3)結(jié)合律系統(tǒng)的并聯(lián)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)2、卷積的時(shí)移性3、卷積的微積分運(yùn)算性質(zhì)(1)卷積的微分性質(zhì)(2)卷積的積分性質(zhì)有始信號(hào)對(duì)兩函數(shù)的條件：連續(xù)、只有有限的間斷點(diǎn)、必須絕對(duì)可積（3）卷積的微積分性質(zhì)微積分性質(zhì)：杜哈密爾積分：零狀態(tài)響應(yīng)也可由激勵(lì)的一次導(dǎo)數(shù)f′(t)與單位階躍響應(yīng)g(t)的卷積求得。推論：i和j為為正是求導(dǎo)；為負(fù)是求積分h(t)和f(t)皆為有始信號(hào)0.5（1）求：4、含有沖激函數(shù)δ(t)的卷積(1)(2)(3)（4）（5）推論：i為正表示求導(dǎo)次數(shù)；負(fù)表示積分次數(shù)；（2）系統(tǒng)如圖1所示，激勵(lì)f(t)為圖2所示信號(hào)時(shí)求響應(yīng)y(t)。延遲T圖1圖2……-（3）已知：2.6卷和本節(jié)解決幾個(gè)問題：

LTI離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷和卷和的求取方法卷和的性質(zhì)利用卷和求yf(k)一、LTI離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷和任意離散信號(hào)f(k)可以表示為單位序列和的形式:即：若f(k)是因果信號(hào)LTI離散系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)零狀態(tài)線性系統(tǒng)LTI離散系統(tǒng):二、卷和的求法自變量由k變成n將h(n)反折為h(-n);將h(-n)平移為h(k-n);h(k-n)與f(n)相乘;求各乘積之和1、圖解法求：解：（1）改換h(k)的自變量后反折迭得h(-n)（2）平移得h(k-n)（3）固定x(n),移動(dòng)h(k-n)后求和k<0時(shí)，兩信號(hào)不重合k=0時(shí)k=1時(shí)k=2時(shí)k=3時(shí)k=4時(shí)，k=5時(shí)，k=6時(shí)，k=7時(shí)，2、數(shù)值法求：解：固定f(k),折迭