高中數學復數講義.教師版

高中數學.復數 Page復數復數知識內容知識內容一、復數的概念虛數單位i:（1）它的平方等于，即；（2）實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立．（3）i與－1的關系:i就是的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是-i．（4）i的周期性：，，，．數系的擴充：復數復數的定義：形如的數叫復數，叫復數的實部，叫復數的虛部．全體復數所成的集合叫做復數集，用字母表示復數的代數形式:通常用字母表示，即，把復數表示成的形式，叫做復數的代數形式．復數與實數、虛數、純虛數及的關系：對于復數，當且僅當時，復數是實數；當時，復數叫做虛數；當且時，叫做純虛數；當且僅當時，就是實數復數集與其它數集之間的關系：兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等．這就是說，如果，，，，那么，二、復數的幾何意義復平面、實軸、虛軸：復數與有序實數對是一一對應關系．建立一一對應的關系．點的橫坐標是，縱坐標是，復數可用點表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，也叫高斯平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸．實軸上的點都表示實數．．對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應的有序實數對為，它所確定的復數是表示是實數．除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．復數復平面內的點這就是復數的一種幾何意義．也就是復數的另一種表示方法，即幾何表示方法．三、復數的四則運算復數與的和的定義：復數與的差的定義：復數的加法運算滿足交換律:復數的加法運算滿足結合律:乘法運算規(guī)則：設，(、、、)是任意兩個復數，那么它們的積其實就是把兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把換成，并且把實部與虛部分別合并．兩個復數的積仍然是一個復數．乘法運算律：（1）（2）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A由已知在復平面對應點如果在第一象限，則，而此不等式組無解．即在復平面上對應的點不可能位于第一象限．若，復數在復平面內所對應的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B結合正、余弦函數的圖象知，當時，．如果復數滿足，那么的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【答案】A設復數在復平面的對應點為，因為，所以點的集合是軸上以、為端點的線段．表示線段上的點到點的距離．此距離的最小值為點到點的距離，其距離為．滿足及的復數的集合是（）A．B．C．D．【答案】D復數表示的點在單位圓與直線上（表示到點與點的距離相等，故軌跡為直線），故選D．已知復數的模為，則的最大值為_______．【答案】，，故在以為圓心，為半徑的圓上，表示圓上的點與原點連線的斜率．如圖，由平面幾何知識，易知的最大值為．復數滿足條件：，那么對應的點的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】AA；設，則有，，化簡得：，故為圓．【點評】①的幾何意義為點到點的距離；②中所對應的點為以復數所對應的點為圓心，半徑為的圓上的點．復數，滿足，，證明：．設復數，在復平面上對應的點為，，由知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，，故可設，所以．也可設，則由向量與向量垂直知，，故．已知復數，滿足，，且，求與的值．【答案】；4．設復數，在復平面上對應的點為，，由于，故，故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則；．已知，，，求．設復數，在復平面上對應的點為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，記所對應的頂點為，由知，（可由余弦定理得到），故，從而．已知復數滿足，求的最大值與最小值．【答案】，設，則滿足方程．，又，故當時，；當時，有．復數的四則運算已知，若，則等于（）A． B． C． D．4【答案】B．計算：．【答案】原式．已知復數，，則的最大值為（）A． B． C． D．3【答案】A，故當時，有最大值．對任意一個非零復數，定義集合．（１）設是方程的一個根，試用列舉法表示集合．若在中任取兩個數，求其和為零的概率；（2）若集合中只有個元素，試寫出滿足條件的一個值，并說明理由．【答案】（1）；（2）．（1）∵是方程的根，∴或，不論或，，于是．（2）取，則及．于是或?。ㄕf明：只需寫出一個正確答案）．解關于的方程．【答案】．錯解：由復數相等的定義得．分析：“，且成立”的前提條件是，但本題并未告訴是否為實數．法一：原方程變形為，．由一元二次方程求根公式得，．原方程的解為，．法二：設，則有，，由②得：，代入①中解得：或，故方程的根為．已知，，對于任意，均有成立，試求實數的取值范圍．【答案】．，，對恒成立．當，即時，不等式恒成立；當時，．綜上，．關于的方程有實根，求實數的取值范圍．【答案】誤：方程有實根，．解得或．析：判別式只能用來判定實系數一元二次方程根的情況，而該方程中與并非實數．正：設是其實根，代入原方程變形為，由復數相等的定義，得，解得．設方程的根分別為，，且，求實數的值．【答案】或．若，為實數，則且，解得．若，為虛數，則且，共軛，，解得．綜上，或．用數學歸納法證明：．并證明，從而．時，結論顯然成立；若對時，有結論成立，即，則對，由歸納假設知，上式，從而知對，命題成立．綜上知，對任意，有．易直接推導知：故有．．若是方程（）的解，求證：．將解代入原方程得：，將此式兩邊同除以，則有：，即，，由復數相等的定義得．設、為實數，且，則=________．【答案】4由知，，即，故，解得，故．已知是純虛數，求在復平面內對應點的軌跡．【答案】以為圓心，為半徑的圓，并去掉點和點．法一：設（），則是純虛數，故，即的對應點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，并去掉點和點．法二：∵是純虛數，∴（且）∴，∴，得到，設（），則（）∴的對應點的軌跡以為圓心，為半徑的圓，并去掉點和點．設復數滿足，求的最值．由題意，，則．設，則．當時，，此時；當時，，此時．若，，試求．【答案】∵，∴又知，∴設（），則，∴，即，由復數相等定義得，解得．∴．故．【點評】復數的共軛與模長的相關運算性質：①設（）的共軛復數為，則；；②為實數；③為純虛數；④對任意復數有；；，特別地有；；．⑤，．，，．以上性質都可以通過復數的代數形式的具體計算進行證明．已知虛數為的一個立方根，即滿足，且對應的點在第二象限，證明，并求與的值．【答案】0；法一：，解得：或．由題意知，證明與計算略；法二：由題意知，故有．又實系數方程虛根成對出現，故的兩根為．由韋達定理有．．．【點評】利用的性質：，可以快速計算一 些相關的復數的冪的問題．若（），求證：設，則有，即，，解得，即．設是虛數，是實數，且．（1）求的值及的實部的取值范圍；（2）設，求證：為純虛數；（3）求的最小值．【答案】（1）；的實部的取值范圍是；（3）1．（1）設，，則，因為是實數，，所以，即．于是，，，所以的實部的取值范圍是．（2）．因為，，所以為純虛數．（3）．因為，所以，故．當，即時，取得最小值．對任意一個非零復數，定義集合．（1）設是方程的一個根，試用列舉法表示集合；（2）設復數，求證：．【答案】（1）；（2）略（1）∵是方程的根，∴或，當時，∵，．∴，當時，∵，∴．∴；（2）∵，∴存在，使得．于是對任意，．由于是正奇數，，∴．已知復數，和，其中均為實數，為虛數單位，且對于任意復數，有，．（1）試求的值，并分別寫出和用表示的關系式；（2）將作為點的坐標，作為點的坐標，上述關系式可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點．當點在直線上移動時，試求點經該變換后得到的點的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上?若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）這樣的直線存在，其方程為或（1）由題設，，∴，于是由，且，得，因此由，得關系式．（2）設點在直線上，則其經變換后的點滿足，消去，得，故點的軌跡方程為．（3）假設存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，∴所求直線可設為．∵該直線上的任一點，其經變換后得到的點仍在該直線上，∴，即，當時，方程組無解，故這樣的直線不存在．當，由，得，解得或．故這樣的直線存在，其方程為或．課后檢測課后檢測已知，復數的實部為，虛部為1，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C，而，∴設為銳角三角形的兩個內角，則復數對應的點位于復平面的（