桿件的拉伸與壓縮

第2章桿件的拉伸與壓縮提要：軸向拉壓是構件的基本受力形式之一，要對其進行分析，首先需要計算內力，在本章介紹了計算內力的基本方法一截面法，然后畫內力圖。但是僅僅知道內力還不能判斷材料是否會發(fā)生破壞，因此還必須了解內力在截面上的分布狀況，即應力。由試驗觀察得到的現(xiàn)象作出平面假設，進而得出橫截面上的正應力計算公式。根據(jù)有些構件受軸力作用后破壞形式是沿斜截面斷裂，進一步討論斜截面上的應力計算公式。為了保證構件的安全工作，需要滿足強度條件，根據(jù)強度條件可以進行強度校核，也可以選擇截面尺寸或者計算容許荷載。本章還研究了軸向拉壓桿的變形計算，一個目的是分析拉壓桿的剛度問題，另一個目的就是為解決超靜定問題做準備，因為超靜定結構必須借助于結構的變形協(xié)調關系所建立的補充方程，才能求出全部未知力。在超靜定問題中還介紹了溫度應力和裝配應力的概念及計算。不同的材料具有不同的力學性能，本章介紹了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳鋼和鑄鐵在拉伸和壓縮時的力學性能。2.1軸向拉伸和壓縮的概念在實際工程中，承受軸向拉伸或壓縮的構件是相當多的，例如起吊重物的鋼索、桁架中的拉桿和壓桿、懸索橋中的拉桿等，這類桿件共同的受力特點是：外力或外力合力的作用線與桿軸線重合；共同的變形特點是：桿件沿著桿軸方向伸長或縮短。這種變形形式就稱為軸向拉伸或壓縮，這類構件稱為拉桿或壓桿。本章只研究直桿的拉伸與壓縮?？蓪⑦@類桿件的形狀和受力情況進行化簡，得到如圖2.1所示的受力與變形的示意圖，圖中的實線為受力前的形狀，虛線則表示變形后的形狀。圖2.1軸向拉壓桿件變形示意圖2.2拉（壓）桿的內力計算2.2.1軸力的概念為了進行拉（壓）桿的強度計算，必須首先研究桿件橫截面上的內力，然后分析橫截面上的應力。下面討論桿件橫截面上內力的計算。取一直桿，在它兩端施加一對大小相等、方向相反、作用線與直桿軸線相重合的外力，使其產(chǎn)生軸向拉伸變形，如圖2.2（a）所示。為了顯示拉桿橫截面上的內力，取橫截面把拉桿分成兩段。

桿件橫截面上的內力是一個分布力系，其合力為，如圖桿件橫截面上的內力是一個分布力系，其合力為，如圖2.2(b)和2.2(c)所示。由于外力的作用線與桿軸線相重合，所以 的作用線也與桿軸線相重合，故稱 為軸力(axialforce)。由左段的靜力平衡條件 有：，得。為了使左右兩段同一橫截面上的軸力具有相同的正負號，對軸力的符號作如下規(guī)定：使桿件產(chǎn)生縱向伸長的軸力為正，稱為拉力(tension)；使桿件產(chǎn)生縱向縮短的軸力為負，稱為壓力(compression)。不難理解，拉力的方向是離開截面的，壓力的方向是指向截面的。圖2.2軸向拉壓桿橫截面的內力2.2.2用截面法求軸力在上面分析軸力的過程中所采用的方法稱為截面法(sectionmethod)，它是求內力的一般方法，也是材料力學中的基本方法之一。截面法的基本步驟是：在需要求內力的截面處，假想地將桿件截開為兩部分。任取一部分為研究對象，畫出其受力圖，注意，要將另一部分對其的作用力(或力偶)加到該研究對象的受力圖中。利用平衡條件建立平衡方程，求出截面內力。為了便于由計算結果直接判斷內力的實際指向，無論截面上實際內力指向如何，一律先設為正方向，即未知軸力均設為拉力。求出來的結果如果是正值，說明實際指向與所設方向相同，即為拉力；如果求出來的結果是負值，說明實際指向與所設方向相反，即為壓力。2.2.3軸力圖多次利用截面法，可以求出所有橫截面上的內力，一般以與桿件軸線平行的坐標軸表示各橫截面的位置，以垂直于該坐標軸的方向表示相應的內力值，這樣作出的圖形稱為軸力圖(axialforcediagram)，也稱為圖。軸力圖能夠簡潔明了的表示桿件各橫截面的軸力大小及方向，它是進行應力、變形、強度、剛度等計算的依據(jù)。下面說明軸力圖的繪制方法：選取一坐標系，其橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示相應橫截面的軸力，然后根據(jù)各段內的軸力的大小與符號，就可繪出表示桿件軸力與截面位置關系的圖線，即所謂軸力圖。這樣從軸力圖上不但可以看出各段軸力的大小，而且還可以根據(jù)正負號看出各段的變形是拉伸還是壓縮?！纠?.1】一等直桿，其受力情況如圖2.3所示，試作其軸力圖。圖2.3例2.1圖解：一般來說解題首先應搞清問題種類，由該桿的受力特點可知它是軸向拉壓桿，其內力是軸力。下面用截面法求內力。在AB之間任取一橫截面1-1，將桿件分為兩部分，取左邊部分為研究對象（以右邊部分為研究對象也可），由靜力平衡條件列方程由有得在BC之間任取一橫截面2-2，截面將桿件分為兩部分，取左邊部分為研究對象（以右邊部分為研究對象也可），由靜力平衡條件列方程由有得在CD之間任取一橫截面3-3，截面將桿件分為兩部分，取左邊部分為研究對象（以右邊部分為研究對象也可），由靜力平衡條件列方程由有得根據(jù)AB、BC、CD段內軸力的大小和符號，畫出軸力圖，如圖2.4所示。注意，畫軸力圖時一般應與受力圖對正，當桿件水平放置或傾斜放置時，正值應畫在與桿件軸線平行的橫坐標軸的上方或斜上方，而負值則畫在下方或斜下方，并且標出正負號。當桿件豎直放置時，正負值可分別畫在不同側并標出正負號；軸力圖上應該標明所有橫截面的內力值，可以適當?shù)禺嬕恍┛v標線，縱標線必須垂直于坐標軸；旁邊應標明內力圖的名稱。熟練以后可以不必畫各隔離體的受力圖。圖2.4例2.1圖2.3橫截面及斜截面上的應力2.3.1橫截面上的應力橫截面是垂直于桿軸線的截面，前面已經(jīng)介紹了如何求桿件的軸力，但是僅知道桿件橫截面上的軸力，并不能立即判斷桿在外力作用下是否會因強度不足而破壞。例如，兩根材料相同而粗細不同的直桿，受到同樣大小的拉力作用，兩桿橫截面上的軸力也相同，隨著拉力逐漸增大，細桿必定先被拉斷。這說明桿件強度不僅與軸力大小有關，而且與橫截面面積有關，所以必須用橫截面上的內力分布集度(即應力)來度量桿件的強度。在拉(壓)桿橫截面上，與軸力相對應的是正應力，一般用表示。要確定該應力的大小，必須了解它在橫截面上的分布規(guī)律。一般可通過觀察其變形規(guī)律，來確定正應力 的分布規(guī)律。取一等直桿，在其側面上面兩條垂直于軸線的橫線 和，如圖2.5(a)所示，在兩端施加軸向拉力，觀察發(fā)現(xiàn)， 和 仍為直線，且仍然垂直于軸線，只是分別平移到了 和(圖2.5(a)中虛線)，這一現(xiàn)象是桿件變形的外在反應。根據(jù)這一現(xiàn)象，從變形的可能性出發(fā)，可以作出假設：原為平面的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于軸線，這個假設稱為平面假設(planesectionassumption)，該假設意味著桿件變形后任意兩個橫截面之間所有縱向線段的伸長相等。又由于材料的均質連續(xù)性假設，由此推斷：橫截面上的應力均勻分布，且方向垂直于橫截面，即橫截面上只有正應力且均勻分布，如圖2.5(b)所示(這一推斷已被彈性試驗證實)。圖2.5平面假設示意圖設桿的橫截面面積為，微面積上的內力分布集度為，由靜力關系得:得拉桿橫截面上正應力的計算公式(2.1)式中為橫截面上的正應力，為橫截面上的軸力，為橫截面面積。公式(2.1)也同樣適用于軸向壓縮的情況。當為拉力時，為拉應力當為壓力時，為壓應力，根據(jù)前面關于內力正負號的規(guī)定，所以拉應力為正，壓應力為負。應該指出，正應力均勻分布的結論只在桿上離外力作用點較遠的部分才成立，在荷載作用點附近的截面上有時是不成立的。這是因為在實際構件中，荷載以不同的加載方式施加于構件，這對截面上的應力分布是有影響的。但是，實驗研究表明，加載方式的不同，只對作用力附近截面上的應力分布有影響，這個結論稱為圣維南(Saint-Venant)原理。根據(jù)這一原理，在拉(壓)桿中，離外力作用點稍遠的橫截面上，應力分布便是均勻的了。一般在拉(壓)桿的應力計算中直接用公式(2.1)。當桿件受多個外力作用時，通過截面法可求得最大軸力 ，如果是等截面桿件，利用公式就可立即求出桿內最大正應力 ；如果是變截面桿件，則一般需要求出每段桿件的軸力，然后利用公式(2.1)分別求出每段桿件上的正應力，再進行比較確定最大正應力 ?！纠?.2】一變截面圓鋼桿 ，如圖2.6(a)所示，已知， ， ，， ， 。試求：各截面上的軸力，并作軸力圖。桿的最大正應力。解：(1)求內力并畫軸力圖分別取三個橫截面IT、11-11、IIITII將桿件截開，以右邊部分為研究對象，各截面上的軸力分別用 、 、表示，并設為拉力，各部分的受其中負號表示軸力與所設方向相反，即為壓力。作出軸力圖如圖2.6(c)所示。圖2.6例2.2圖(2)求最大正應力由于該桿為變截面桿， 、及 三段內不僅內力不同，橫截面面積和段內也不同，這就需要分別求出各段橫截面上的正應力。利用式(2.1)分別求得的正應力為和段內由上述結果可見，該鋼桿最大正應力發(fā)生在 段內，大小為2.3.2斜截面上的應力前面討論了拉(壓)桿橫截面上的正應力，但實驗表明，有些拉(壓)桿的破壞往往發(fā)生在斜截面上。為了全面研究桿件的強度，還需要進一步討論斜截面上的應力。設直桿受到軸向拉力的作用，其橫截面面積為，用任意斜截面 將桿件假想的切開，設該斜截面的外法線與軸的夾角為，如圖2.7a所示。設斜截面的面積為則設為 截面上的內力，由左段平衡求得為 ，如圖2.7(b)所示。仿照橫截面上應力的推導方法，可知斜截面上各點處應力均勻分布。用 表示其上的應力，則式中的為橫截面上的正應力。將應力 分解成沿斜截面法線方向分量 和沿斜截面切線方向分量，稱為正應力(normalstress)，稱為剪應力(shearstress)，如圖2.7c所示。關于應力的符號規(guī)定為：正應力符號規(guī)定同前，剪應力繞截面順時針轉動時為正，反之為負。的符號規(guī)定：由軸逆時針轉到外法線方向時為正，反之為負。由圖2.7c可知(2.2)(2.3)從公式(2.2)、(2.3)可以看出， 和均隨角度而改變。當 時， 達到最大值，其值為，斜截面 為垂直于桿軸線的橫截面，即最大正應力發(fā)生在橫截面上；當時，達到最大值，其值為，最大剪應力發(fā)生在與軸線成 角的斜截面上。圖2.7斜截面的應力以上分析結果對于壓桿也同樣適用。盡管在軸向拉(壓)桿中最大剪應力只有最大正應力大小的二分之一，但是如果材料抗剪比抗拉(壓)能力要弱很多，材料就有可能由于剪應力而發(fā)生破壞。有一個很好的例子就是鑄鐵在受軸向壓力作用的時候，沿著45°斜截面方向發(fā)生剪切破壞。2.3.3應力集中的概念前面所介紹的應力計算公式適用于等截面的直桿，對于橫截面平緩變化的拉壓桿按該公式計算應力在工程實際中一般是允許的；然而在實際工程中某些構件常有切口、圓孔、溝槽等幾何形狀發(fā)生突然改變的情況。試驗和理論分析表明，此時橫截面上的應力不再是均勻分布，而是在局部范圍內急劇增大，這種現(xiàn)象稱為應力集中(stressconcentration)o如圖2.8(a)所示的帶圓孔的薄板，承受軸向拉力 的作用，由試驗結果可知：在圓孔附近的局部區(qū)域內，應力急劇增大；而在離這一區(qū)域稍遠處，應力迅速減小而趨于均勻，如圖2.8(b)所示。在I-I截面上，孔邊最大應力 與同一截面上的平均應力 之比，用表示(2.4)稱為理論應力集中系數(shù)(theoreticalstressconcentrationfactor)，它反映了應力集中的程度，是一個大于1的系數(shù)。試驗和理論分析結果表明：構件的截面尺寸改變越急劇，構件的孔越小，缺口的角越尖，應力集中的程度就越嚴重。因此，構件上應盡量避免帶尖角、小孔或槽，在階梯形桿的變截面處要用圓弧過渡，并盡量使圓弧半徑大一些。各種材料對應力集中的反應是不相同的。塑性材料(如低碳鋼)具有屈服階段，當孔邊附近的最大應力到達屈服極限 時，該處材料首先屈服，應力暫時不再增大，若外力繼續(xù)增大，增大的內力就由截面上尚未屈服的材料所承擔，使截面上其它點的應力相繼增大到屈服極限，該截面上的應力逐漸趨于平均，如圖2.9所示。因此，用塑性材料制作的構件，在靜荷載作用下可以不考慮應力集中的影響。而對于脆性材料制成的構件，情況就不同了。因為材料不存在屈服，當孔邊最大應力的值達到材料的強度極限時，該處首先產(chǎn)生裂紋。所以用脆性材料制作的構件，應力集中將大大降低構件的承載力。因此，即使在靜載荷作用下也應考慮應力集中對材料承載力的削弱。不過有些脆性材料內部本來就很不均勻，存在不少孔隙或缺陷，例如含有大量片狀石墨的灰鑄鐵，其內部的不均勻性已經(jīng)造成了嚴重的應力集中，測定這類材料的強度指標時已經(jīng)包含了內部應力集中的影響，而由構件形狀引起的應力集中則處于次要地位，因此對于此類材料做成的構件，由其形狀改變引起的應力集中就可以不再考慮了。以上是針對靜載作用下的情況，當構件受到?jīng)_擊荷載或者周期性變化的荷載作用時，不論是塑性材料還是脆性材料，應力集中對構件的強度都有嚴重的影響，可能造成極大危害。圖2.8帶圓孔薄板的應力集中圖2.9塑性材料的應力集中2.4虎克定律桿件在軸向拉伸或壓縮時，其軸線方向的尺寸和橫向尺寸將發(fā)生改變。桿件沿軸線方向的變形稱為縱向變形，桿件沿垂直于軸線方向的變形稱為橫向變形。設一等直桿的原長為，橫截面面積為，如圖2.10所示。在軸向拉力 的作用下，桿件的長度由變?yōu)?，其縱向伸長量為圖2.10軸向伸長變形示意圖稱為絕對伸長，它只反映總變形量，無法說明桿的變形程度。將 除以得桿件縱向正應變?yōu)?2.5)當材料應力不超過某一限值 (以后將會講到，這個應力值稱為材料的“比例極限”)時，應力與應變成正比，即(2.6)這就是虎克定律(Hookelaw)，是根據(jù)著名的英國科學家RobertHooke命名的。公式(2.6)中的是彈性模量，也稱為楊氏模量(Young’smodulus)，根據(jù)另一位英國科學家ThomasYoung命名的，由于是無量綱量，故的量綱與相同，常用單位為 ( )，隨材料的不同而不同，對于各項同性材料它均與方向無關。公式(2.5)、(2.6)同樣適用于軸向壓縮的情況。將公式(2.1)和(2.6)代入公式(2.5)，可得虎克定律的另一種表達式為(2.7)由該式可以看出，若桿長及外力不變， 值越大，則變形 越小，因此，反映桿件抵抗拉伸(或壓縮)變形的能力，稱為桿件的抗拉(抗壓)剛度(axialrigidity)。公式(2.7)也適用于軸向壓縮的情況，應用時 為壓力，是負值，伸長量算出來是負值，也就是桿件縮短了。設拉桿變形前的橫向尺寸分別為和，變形后的尺寸分別為和(圖2.10)，則由試驗可知，二橫向正應變相等，故(2.8)試驗結果表明，當應力不超過材料的比例極限時，橫向正應變與縱向正應變之比的絕對值為一常數(shù)，該常數(shù)稱為泊松比(Poisson’sratio)，用 來表示，它是一個無量綱的量，可表示為(2.9)或(2.10)公式(2.9)、(2.10)同樣適用于軸向壓縮的情況。和彈性模量一樣，泊松比也是材料的彈性常數(shù)，隨材料的不同而不同，由試驗測定。對于絕大多數(shù)各向同性材料， 介于0到0.5之間。幾種常用材料的和值，列于表2-1中。表2-1材料的彈性模量和泊松比彈性常數(shù)鋼與合金鋼四A全鋁合擊銅鑄鐵木(順紋)200?22070?72100?12080?1608?120.25?0.300.26?0.340.33?0.350.23?0.27【例2.3】如圖2.11(a)所示的鉛垂懸掛的等截面直桿，其長度為，橫截面面積為，材料的比重為，彈性模量為。試求該桿總的伸長量。圖2.11例2.3圖解：1)計算吊桿的內力以吊桿軸線為坐標軸，吊桿底部為原點取坐標系，則任一橫截面的位置可用 來表示。任取一橫截面，取下面部分為研究對象(如圖2.11(b))，得桿內任意橫截面上的軸力為2)計算吊桿的變形因為桿的軸力是一變量，因此不能直接應用虎克定律來計算變形，在處截取微段來研究，受力情況如圖2.11(c)所示。因極其微小，故該微段上下兩面的應力可以認為相等，該微段的伸長為則桿的總伸長量為【例2.4】圖2.12(a)所示一簡易托架，尺寸如圖所示，桿件的橫截面面積分別為， ，兩桿的彈性模量E=200GPa，P=60kN，試求B點的位移。解(1)計算各桿的內力截斷BC和BD兩桿，以結點B為研究對象，設BC桿的軸力為 ，BD桿的軸力為 ，如圖2.12(b)所示。根據(jù)靜力平衡方程計算得⑵計算B點的位移，由公式(2.7)可求出BC桿的伸長量為BD桿的變形量為計算出的結果為負值說明桿件是縮短的。假想把托架從結點B拆開，那么BC桿伸長變形后成為 ，BD桿壓縮變形后成 ，分別以C點和D點為圓心，以CB和DB為半徑作弧相交于B處，該點即為托架變形后B點的位置。由于是小變形，和是兩段極短的弧，因而可分別用BC和BD的垂線來代替，兩垂線的交點為， 即為B點的位移。這種作圖法稱為“切線代圓弧”法?，F(xiàn)用解析法計算位移。為了清楚起見，可將多邊形 放大，如圖2.12(c)所示。由圖可知：B點的水平位移和垂直位移分別為B點的總位移為與結構原尺寸相比很小的變形稱為小變形。在小變形的條件下，一般按結構的原有幾何形狀與尺寸計算支座反力和內力，并可以采用上述用切線代替圓弧的方法確定位移，從而大大簡化計算。在以后的學習中也有很多地方利用它來簡化計算。圖2.12例2.4圖2.5材料在拉伸壓縮時的力學性能2.5.1材料的拉伸與壓縮試驗前面討論拉(壓)桿的計算中曾經(jīng)涉及到材料的一些力學性能，例如彈性模量、泊松比等，后面將要學習的強度計算中還要涉及另外一些力學性能。所謂力學性能是指材料在外力作用下表現(xiàn)出的強度和變形方面的特性。它是通過各種試驗測定得出的，材料的力學性能和加載方式、溫度等因素有關。本節(jié)主要介紹材料在靜載(緩慢加載)、常溫(室溫)下拉伸(壓縮)試驗的力學性能。常溫靜載拉伸實驗(tensiletest)是測定材料力學性能的基本試驗之一，在國家標準(《金屬材料室溫拉伸試驗方法》，GB/T228-2002)中對其方法和要求有詳細規(guī)定。對于金屬材料，通常采用圓柱形試件，其形狀如圖2.13所示，長度為標距(gagelength)。標距一般有兩種，即和 ，前者稱為短試件，后者稱為長試件，式中的 為試件的直徑。圖2.13金屬材料圓柱形試件低碳鋼和鑄鐵是兩種不同類型的材料，都是工程實際中廣泛使用的材料，它們的力學性能比較典型，因此，以這兩種材料為代表來討論其力學性能。2.5.2低碳鋼拉伸時的力學性能低碳鋼( )是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼，過去俗稱A3鋼。將低碳鋼試件兩端裝入試驗機(Test-machine)上，緩慢加載，使其受到拉力產(chǎn)生變形，利用試驗機的自動繪圖裝置，可以畫出試件在試驗過程中標距為段的伸長和拉力之間的關系曲線。該曲線的橫坐標為，縱坐標為，稱之為試件的拉伸圖，如圖2.14。拉伸圖與試樣的尺寸有關，將拉力除以試件的原橫截面面積，得到橫截面上的正應力，將其作為縱坐標；將伸長量除以標距的原始長度，得到應變作為橫坐標。從而獲得 曲線，如圖2.15所示，稱為應力一應變圖(stress-straindiagram)或應力一應變曲線。圖2.14低碳鋼試件的拉伸圖圖2.15低碳鋼拉伸時的 曲線圖由低碳鋼的 曲線可見，整個拉伸過程可分為下述的4個階段。1.彈性階段 當應力小于點所對應的應力時，如果卸去外力，變形全部消失，這種變形稱為彈性變形(elasticdeformation)。因此，這一階段稱之為彈性階段。相應于點的應力用表示，它是材料只產(chǎn)生彈性變形的最大應力，故稱為彈性極限(elasticlimit)。在彈性階段內，開始為一斜直線 ，這表示當應力小于 點相應的應力時，應力與應變成正比，即(2.11)即符合虎克定律，由公式(2.11)可知，為斜線的斜率。與點相應的應力用表示，它是應力與應變成正比的最大應力，故稱之為比例極限(proportionallimit)。在曲線上，超過點后段的圖線微彎，與極為接近，因此工程中對彈性極限和比例極限并不嚴格區(qū)分。低碳鋼的比例極限 ，彈性模量 。當應力超過彈性極限后，若卸去外力，材料的變形只能部分消失，另一部分將殘留下來，殘留下來的那部分變形稱為殘余變形或塑性變形。2.屈服階段 當應力達到點的相應值時，應力幾乎不再增加或在一微小范圍內波動，變形卻繼續(xù)增大，在 曲線上出現(xiàn)一條近似水平的小鋸齒形線段，這種應力幾乎保持不變而應變顯著增長的現(xiàn)象，稱為屈服或流動， 階段稱之為屈服階段。在屈服階段內的最高應力和最低應力分別稱為上屈服極限和下屈服極限。由于上屈服極限一般不如下屈服極限穩(wěn)定，故規(guī)定下屈服極限為材料的屈服強度(yieldstrength)，用表示。低碳鋼的屈服強度為 。若試件表面經(jīng)過磨光，當應力達到屈服極限時，可在試件表面看到與軸線約45°的一系列條紋，如圖2.16所示。這可能是材料內部晶格間相對滑移而形成的，故稱為滑移線(slip-lines)。由前面的分析知道，軸向拉壓時，在與軸線成45°的斜截面上，有最大的剪應力。可見，滑移現(xiàn)象是由于最大剪應力達到某一極限值而引起的。圖2.16低碳鋼試件屈服時表面滑移線3.強化階段 屈服階段結束后，材料又恢復了抵抗變形的能力，增加拉力使它繼續(xù)變形，這種現(xiàn)象稱為材料的強化。從點到曲線的最高點，即階段為強化階段。點所對應的應力是材料所能承受的最大應力，故稱極限強度(ultimatestrength)，用表示。低碳鋼的強度極限 。在這一階段中，試件發(fā)生明顯的橫向收縮。如果在這一階段中的任意一點處，逐漸卸掉拉力，此時應力一應變關系將沿著斜直線 回到點，且 近似平行于 。這時材料產(chǎn)生大的塑性變形(plasticdeformation)，橫坐標中

表示殘留的塑性應變，則表示彈性應變。如果立即重新加載，應力一應變關系大體上表示殘留的塑性應變，沿卸載時的斜直線 變化，到點后又沿曲線 變化，直至斷裂。從圖2.15中看出，在重新加載過程中，直到點以前，材料的變形是彈性的，過點后才開始有塑性變形。比較圖中的和 兩條曲線可知，重新加載時其比例極限得到提高，故材料的強度也提高了，但塑性變形卻有所降低。這說明，在常溫下將材料預拉到強化階段，然后卸載，再重新加載時，材料的比例極限提高而塑性降低，這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。在工程中常利用冷作硬化來提高材料的強度，例如用冷拉的辦法可以提高鋼筋的強度?？捎袝r則要消除其不利的一面，例如冷軋鋼板或冷拔鋼絲時，由于加工硬化，降低了材料的塑性，使繼續(xù)軋制和拉拔困難，為了恢復塑性，則要進行退火處理。4.局部變形階段 在點以前，試件標距段內變形通常是均勻的。當?shù)竭_點后，試件變形開始集中于某一局部長度內，此處橫截面面積迅速減小，形成頸縮(necking)現(xiàn)象，如圖2.17所示。由于局部的截面收縮，使試件繼續(xù)變形所需的拉力逐漸減小，直到 點試件斷裂。圖2.17低碳鋼試件的頸縮現(xiàn)象從上述的實驗現(xiàn)象可知，當應力達到 時，材料會產(chǎn)生顯著的塑性變形，進而影響結構的正常工作；當應力達到時，材料會由于頸縮而導致斷裂。屈服和斷裂，均屬于破壞現(xiàn)象。因此，和是衡量材料強度的兩個重要指標。材料產(chǎn)生塑性變形的能力稱為材料的塑性性能。塑性性能是工程中評定材料質量優(yōu)劣的重要方面，衡量材料塑性的指標有延伸率和斷面收縮率，延伸率定義為(2.12)式中：——試件斷裂后長度，一一原長度。斷面收縮率定義為(2.13)式中：試件斷裂后斷口的面積，試件原橫截面面積。式中：試件斷裂后斷口的面積，試件原橫截面面積。工程中通常將延伸率 5%的材料稱為塑性材料(ductilematerials), W5%的材料稱為脆性材料(brittlematerials)。低碳鋼的延伸率=25%~30%，截面收縮率=60%，是塑性材料;而鑄鐵、陶瓷等屬于脆性材料。2.5.3其它材料在拉伸時的力學性能1.鑄鐵拉伸時的力學性能鑄鐵拉伸時的 曲線如圖2.18所示。整個拉伸過程中 關系為一微彎的曲線，直到拉斷時，試件變形仍然很小。在工程中，在較低的拉應力下可以近似地認為變形服從虎克定律，通常用一條割線來代替曲線，如圖2.18中的虛線所示，并用它確定彈性模量。這樣確定的彈性模量稱為割線彈性模量。由于鑄鐵沒有屈服現(xiàn)象，因此強度極限 是衡量強度的唯一指標。圖2.18鑄鐵拉伸時的 曲線圖2,其它幾種材料拉伸時的力學性能圖2.19(a)中給出了幾種塑性材料拉伸時的的曲線，它們有一個共同特點是拉斷前均有較大的塑性變形，然而它們的應力一應變規(guī)律卻大不相同，除16Mn鋼和低碳鋼一樣有明顯的彈性階段、屈服階段、強化階段和局部變形階段外，其它材料并沒有明顯的屈服階段。對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常以產(chǎn)生的塑性應變?yōu)?.2%時的應力作為屈服極限，并稱為名義屈服極限，用 來表示，如圖2.19(b)所示。常用材料的力學性能由表2-2給出。表2-2常用材料的力學性質材料名稱牌號(MPa)(MPa)(%)備注普通碳素鋼Q215215335?45026?31對應舊牌號A2Q235235375?50021?26對應舊牌號A3Q255255410?55019?24對應舊牌號A4Q275275490?63015?20對應舊牌號A5續(xù)表

材料名稱牌號(MPa)(MPa)(%)備注優(yōu)質碳素鋼252754502325號鋼353155302035號鋼453556001645號鋼553806451355號鋼低合金鋼15MnV3905301815錳釩16Mn3455102116錳合金鋼20Cr5408351020銘40Cr785980940銘30CrMnSi88510801030銘錳硅鑄鋼ZG200-40020040025ZG270-50027050018灰鑄鐵HT150150HT250250鋁合金LY1227441219硬鋁注：表示標距 的標準試樣的伸長率；灰鑄鐵的 為拉伸強度極限。(a)(b)圖2.19幾種塑性材料拉伸時的 曲線圖2.5.4材料在壓縮時的力學性能一般細長桿件壓縮時容易產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象，因此材料的壓縮試件一般做成短而粗。金屬材料的壓縮試件為圓柱，混凝土、石料等試件為立方體。低碳鋼壓縮時的應力一應變曲線如圖2.20所示。為了便于比較，圖中還畫出了拉伸時的應力一應變曲線，用虛線表示?？梢钥闯?，在屈服以前兩條曲線基本重合，這表明低碳鋼壓縮時的彈性模量、屈服極限 等都與拉伸時基本相同。不同的是，隨著外力的增大，試件被越壓越扁卻并不斷裂，如圖2.21所示。由于無法測出壓縮時的強度極限，所以對低碳鋼一般不做壓縮實驗，主要力學性能可由拉伸實驗確定。類似情況在一般的塑性金屬材料中也存在，但有的塑性材料，如銘鉬硅合金鋼，在拉伸和壓縮時的屈服極限并不相同，因此對這些材料還要做壓縮試驗，以測定其壓縮屈服極限。圖2.20低碳剛壓縮時的 曲線圖圖2.21低碳剛壓縮時的變形示意圖脆性材料拉伸時的力學性能與壓縮時有較大區(qū)別。例如鑄鐵，其壓縮和拉伸時的應力一應變曲線分別如圖2.22中的實線和虛線所示。由圖可見，鑄鐵壓縮時的強度極限比拉伸時大得多，約為拉伸時強度極限的3?4倍。鑄鐵壓縮時沿與軸線約成45°的斜面斷裂，如圖2.23所示，說明是剪應力達到極限值而破壞。拉伸破壞時是沿橫截面斷裂，說明是拉應力達到極限值而破環(huán)。其它脆性材料，如混凝土和石料，也具有上述特點，抗壓強度也遠高于抗拉強度。因此，對于脆性材料，適宜做承壓構件。圖2.22鑄鐵壓縮時 曲線圖圖2.23鑄鐵壓縮時斷裂示意圖綜上所述，塑性材料與脆性材料的力學性能有以下區(qū)別：塑性材料在斷裂前有很大的塑性變形，而脆性材料直至斷裂，變形卻很小，這是二者基本的區(qū)別。因此，在工程中，對需經(jīng)鍛壓、冷加工的構件或承受沖擊載荷的構件，宜采用塑性材料。塑性材料抵抗拉壓的強度基本相同，它既可以用于制作受拉構件，也可以用于制作受壓構件。在土木工程中，出于經(jīng)濟性的考慮，常使用塑性材料制作受拉構件。而脆性材料抗壓強度遠高于其抗拉強度，因此使用脆性材料制作受壓構件，例如建筑物的基礎等。但是材料是塑性還是脆性是可以隨著條件變化的，例如有些塑性材料在低溫下會變得硬脆，有些塑料材料會隨著時間的增加變脆。溫度、應力狀態(tài)、應變率等都會使其發(fā)生變化。2.6強度條件與截面設計的基本概念前面已經(jīng)討論了軸向拉伸或壓縮時，桿件的應力計算和材料的力學性能，因此可進一步討論桿的強度計算問題。2.6.1許用應力由材料的拉伸或壓縮試驗可知：脆性材料的應力達到強度極限 時，會發(fā)生斷裂；塑性材料的應力達到屈服極限(或)時，會發(fā)生顯著的塑性變形。斷裂當然是不容許的，但是構件發(fā)生較大的變形一般也是不容許的，因此，斷裂是破壞的形式，屈服或出現(xiàn)較大變形也是破壞的一種形式。材料破壞時的應力稱為極限應力(ultimatestress)，用表示。塑性材料通常以屈服應力作為極限應力，脆性材料以強度極限 作為極限應力。根據(jù)分析計算所得構件的應力稱為工作應力(workingstress)。為了保證構件有足夠的強度，要求構件的工作應力必須小于材料的極限應力。由于分析計算時采取了一些簡化措施，作用在構件上的外力估計不一定準確，而且實際材料的性質與標準試樣可能存在差異等因素可能使構件的實際工作條件偏于不安全，因此，為了有一定的強度儲備，在強度計算中，引進一個安全系數(shù)(factorofsafety)，設定了構件工作時的最大容許值，即許用應力(allowablestress)，用[]表示式中是一個大于1的系數(shù)，因此許用應力低于極限應力。確定安全系數(shù)時，應考慮材質的均勻性、構件的重要性、工作條件及載荷估計的準確性等。在建筑結構設計中傾向于根據(jù)構件材料和具體工作條件，并結合過去制造同類構件的實踐經(jīng)驗和當前的技術水平，規(guī)定不同的安全系數(shù)。對于各種材料在不同工作條件下的安全系數(shù)和許用應力，設計手冊或規(guī)范中有具體規(guī)定。一般在常溫、靜載下，對塑性材料取=1.5?2.2，對脆性材料一般取=3.0?5.0甚至更大。2.6.2強度條件為了保證構件在工作時不至于因強度不夠而破壞，要求構件的最大工作應力不超過材料的許用應力，于是得到強度條件(strengthcondition)為W (2.15)對于軸向拉伸和壓縮的等直桿，強度條件可以表示為W (2.16)式中： 一一桿件橫截面上的最大正應力， 一一桿件的最大軸力，A——橫截面面積，——材料的許用應力。如對截面變化的拉(壓)桿件(如階梯形桿)，最大應力不僅應考慮到軸力為最大值的截面，還應考慮在橫截面面積最小的截面，因此需要求出每一段內的正應力，找出最大值，再應用強度條件。根據(jù)強度條件，可以解決以下幾類強度問題。強度校核若已知拉壓桿的截面尺寸、荷載大小以及材料的許用應力，即可用公式(2.16)驗算不等式是否成立，進而確定強度是否足夠，即工作時是否安全。設計截面若已知拉壓桿承受的荷載和材料的許用應力，則強度條件變成N(2.17)以確定構件所需要的橫截面面積的最小值確定承載能力若已知拉壓桿的截面尺寸和材料的許用應力，則強度條件變成W (2.18)以確定構件所能承受的最大軸力，再確定構件能承擔的許可荷載。最后還應指出，如果最大工作應力 略微大于許用應力，即一般不超過許用應力的5%,在工程上仍然被認為是允許的。【例2.5】用繩索起吊鋼筋混凝土管，如圖2.24(a)所示，管子的重量 ，繩索的直徑，容許應力 ，試校核繩索的強度。(b)圖2.24例2.5圖解：1)計算繩索的軸力以混凝土管為研究對象，畫出其受力圖如圖2.24(b)所示，根據(jù)對稱性易知左右兩段繩索軸力相等，記為 ，根據(jù)靜力平衡方程有計算得2)校核強度故繩索滿足強度條件，能夠安全工作?！纠?.6】例2.4所示結構(圖2.12(a))中，若BC桿為圓截面鋼桿，其直徑d=18.5mm，BD桿為8號槽鋼，兩桿的[]=160MPa，其它條件不變，試校核該托架的強度。解1)計算各桿的內力由例2.4的結果有2)校核兩桿的強度對于BC桿，其橫截面面積為 ，利用公式(2.1)，則該桿的工作應力為工作應力大于許用應力，但是其增大幅度并不大由于在工程上增幅在5%以內被認為是允許的，所以強度符合要求。對于BD桿，由型鋼表查得其橫截面面積為10.24 ，則桿的工作應力計算結果表明，托架的強度是足夠的?！纠?.7】圖2.25(a)為簡易起重設備的示意圖，桿AB和BC均為圓截面鋼桿，直徑均為，鋼的許用應力 ，試確定吊車的最大許可起重量 。解：1)計算AB、BC桿的軸力設AB桿的軸力為 ，BC桿的軸力為 ，根據(jù)結點B的平衡(圖2.25b)，有解得上式表明，AB桿受拉伸，BC桿受壓縮。在強度計算時，可取絕對值。(2)求許可載荷由公式(2.18)可知，當AB桿達到許用應力時W當BC桿達到許用應力時W得W兩者之間取小值，因此該吊車的最大許可載荷為(b)圖2.25例2.7圖2.7拉壓超靜定問題2.7.1超靜定問題的概念前面所討論的問題中，約束反力和桿件的內力都可以用靜力平衡方程全部求出。這種能用靜力平衡方程式求解所有約束反力和內力的問題，稱為靜定問題(staticallydeterminateproblem)。但在工程實踐上由于某些要求，需要增加約束或桿件，它們的約束反力或內力，僅憑靜力平衡方程式不能完全求得，未知約束反力的數(shù)目超過了所能列出的獨立靜力平衡方程式的數(shù)目，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題(staticallyindeterminateproblem)。例如圖2.26(a)所示的結構，其受力如圖2.26(b)所示，根據(jù)AB桿的平衡條件可列出三個獨立的平衡方程，即 、、 ，而未知力有4個，即、、和 ，顯然，僅用靜力平衡方程不能求出全部的未知量，所以該問題為超靜定問題。未知力數(shù)比獨立平衡方程數(shù)多出的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)，故該問題為一次超靜定問題。(a)(b)圖2.26一次超靜定問題的受力分析圖(a)超靜定結構示意圖；(b)超靜定桿的受力分析2.7.2超靜定問題的解法超靜定問題的解法一般從以下三個方面的條件來進行考慮：靜力平衡方程。補充方程(變形協(xié)調條件)。物理關系(虎克定律、熱膨脹規(guī)律等)?，F(xiàn)以一簡單問題為例來說明?！纠?.8】圖2.27(a)所示的結構，1、2、3桿的彈性模量為 ，橫截面面積均為 ，桿長均為。橫梁AB的剛度遠遠大于1、2、3桿的剛度，故可將橫梁看成剛體，在橫梁上作用的荷載為P。若不計橫梁的自重，試確定1、2、3桿的軸力。(a)(b)(c)圖2.27例2.8圖解：設在荷載作用下，橫梁AB移動到位置(圖2.27(b))，則各桿皆受拉伸。設各桿的軸力分別為、和，且均為拉力(圖2.27c)。由于該力系為平面平行力系，只有兩個獨立平衡方程，而未知力有三個，故為一次超靜定問題。解決這類問題可以先列出靜力平衡方程。(a)(b)要求出三個軸力，還要列出一個補充方程。在力 作用下，三根桿的伸長不是任意的，它們之間必須保持一定的互相協(xié)調的幾何關系，這種幾何關系稱之為變形協(xié)調條件。由于橫梁AB可視為剛體，故該結構的變形協(xié)調條件為： 三點仍在一直線上(如圖2.27(b)所示)。設、 、分別為1、2、3桿的變形，根據(jù)變形的幾何關系可以列出變形協(xié)調方程為(c)桿件的變形和內力之間存在著一定的關系，稱之為物理關系，即虎克定律，當應力不超過比例極限時，由虎克定律可知， ， (d)將物理關系代入變形協(xié)調條件，即可建立內力之間應保持的相互關系，這個關系就是所需的補充方程。也就是說，將(d)式代入化)式得整理后得(e)這就是我們所要建立的補充方程。將(a)、(b)、(e)式聯(lián)立求解，得，，由計算結果可以看出：1、2桿的軸力為正，說明實際方向與假設一致，變形為伸長；為負值，說明3桿實際方向與假設相反，變形為縮短。這說明橫梁AB是繞著CB兩點之間的某一點發(fā)生了逆時針轉動。一般說來，在超靜定問題中內力不僅與荷載和結構的幾何形狀有關，也和桿件的抗拉剛度EA有關，單獨增大某一根桿的剛度，該桿的軸力也相應增大，這也是靜不定問題和靜定問題的重要區(qū)別之一。2.7.3溫度應力問題在工程實際中，構件或結構物會遇到溫度變化的情況。例如工作條件中溫度的改變或季節(jié)的變化，這時桿件就會伸長或縮短。靜定結構由于可以自由變形，當溫度變化時不會使桿內產(chǎn)生應力。但在超靜定結構中，由于約束增加，變形受到部分或全部限制，溫度變化時就會使桿內產(chǎn)生應力，這種應力稱為溫度應力。計算溫度應力的方法與荷載作用下的超靜定問題的解法相似，不同之處在于桿內變形包括兩個部分，一是由溫度引起的變形，另一部分是外力引起的變形。【例2.9】圖2.28(a)所示的桿件AB,兩端與剛性支承面聯(lián)接。當溫度變化時，固定端限制了桿件的伸長或縮短，AB兩端就產(chǎn)生了約束反力，試求反力 和(圖2.28(b))。(a)(b)圖2.28例2.9圖解：由靜力平衡方程 得出(a)由于未知支反力有兩個，而獨立的平衡方程只有一個，因此是一個一次超靜定問題。要求解該問題必須補充一個變形協(xié)調條件。假想拆去右端支座，這時桿件可以自由地變形，當溫度升高時，桿件由于升溫而產(chǎn)生的變形(伸長)為(b)式中為材料的線膨脹系數(shù)。然后，在右端作用 ，桿由于 作用而產(chǎn)生的變形(縮短)為式中，E為材料的彈性模量，A為桿件橫截面面積。事實上，桿件兩端固定，其長度不允許變化，因此必須有(d)這就是該問題的變形協(xié)調條件。將(b)、(c)兩式代入式^)得(e)則由于軸力 ，故桿中的溫度應力為 。當溫度變化較大時，桿內溫度應力的數(shù)值是十分可觀的。例如，一兩端固定的鋼桿，/°C，當溫度變化40°C時，桿內的溫度應力為在實際工程中，為了避免產(chǎn)生過大的溫度應力，往往采取某些措施以有效地降低溫度應力。例如，在管道中加伸縮節(jié)，在鋼軌各段之間留伸縮縫，這樣可以削弱對膨脹的約束，從而降低溫度應力?！纠?.10】剛性無重橫梁AB在O點處鉸支，并用兩根抗拉剛度相同的彈性桿懸吊著，如圖2.29(a)所示，當兩根吊桿溫度升高 時，求兩桿內所產(chǎn)生的軸力。解：(1)列靜力平衡方程截取圖2.29b所示的研究對象，設1桿的軸力為 ，2桿的軸力為 ，由靜力平衡方程 可得(a)(2)列變形協(xié)調方程假想拆除兩桿與橫梁間的聯(lián)系，允許其自由膨脹。這時，兩桿由于溫度而產(chǎn)生的變形均為 。把已經(jīng)伸長的桿與橫梁相連接時，兩桿內就分別引起了軸力和 并使兩桿再次變形。由于兩桿變形使橫梁繞O點轉動，最終位置如圖2.29(b)中虛線所示，圖中的和分別為1、2桿所產(chǎn)生的總變形，包括溫度和軸力所引起的變形。由變形協(xié)調條件得=2 (b)(3)列出物理方程。， (c)將式(c)代入式(b)得上式即為補充方程。聯(lián)立求解(a)、(d)兩式，為負值，說明1桿受壓力，軸力與所設的方向相反。圖2.29例2.10圖2.7.4裝配應力構件制造上的微小誤差是難免的。在靜定結構中，這種誤差只會使結構的幾何形狀略微改變，不會使構件產(chǎn)生附加內力。但在超靜定結構中，情況就不一樣了，桿件幾何尺寸的微小差異，還會使桿件內產(chǎn)生應力。如圖2.30所示靜定結構，若桿AB比預定的尺寸制作短了一點，則與桿AC聯(lián)接后，只會引起A點位置的微小偏移，如圖中虛線所示。而圖2.31(a)所示的超靜定結構中，設桿3比預定尺寸作短了一點，若使三桿聯(lián)結，則需將桿3拉長，桿1、2壓短，強行安裝于 點處。此時，桿3中產(chǎn)生拉力，桿1、2中產(chǎn)生壓力。這種由于安裝而引起的內力稱為裝配內力，與之相應的應力稱為裝配應力。計算裝配應力的方法與解超靜定問題的方法相似，僅在幾何關系中考慮尺寸的差異。下面舉例說明。圖2.30靜定結構無裝配內力【例2.8】圖2.