第9講 定點(diǎn)問題-2021屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解析幾何復(fù)習(xí)訓(xùn)練

第九講定點(diǎn)問題

題型分析，主要是考察直線過定點(diǎn)，圓過定點(diǎn)等

直線過定點(diǎn)問題解題方式一般分兩種：

①假設(shè)直線y=辰+A,通過求解出人力的關(guān)系求解定點(diǎn)

②兩動點(diǎn)坐標(biāo)通過某參數(shù)表示，假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)(為,%),利用斜率相等

求出定點(diǎn)坐標(biāo)

簡單引理

1.已知直線方程(2+4)x+(l-2幾方+4-3；1=0.求證不論入取何實(shí)數(shù)值，此直線

必過定點(diǎn)；

k2-?kk?+2

2.求解過點(diǎn)A^O,-~學(xué))，B(2,勺十二十W)的直線過哪個定點(diǎn).

l+k2l+k2

直線過定點(diǎn)

1.已知橢圓C：9+y2=i,過點(diǎn)7(1,0)的動直線/交橢圓C于兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸的對稱

點(diǎn)為4,問直線48是否經(jīng)過X軸上的一個定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；不是，說明理由.

2.已知左焦點(diǎn)為尸(-1,0)的橢圓過點(diǎn)￡(1,苧).過點(diǎn)戶(1,1)分別作斜率為4,左的橢

圓的動弦48,CD,設(shè)附，“分別為線段48,CD的中點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若"為線段48的中點(diǎn)、，求去；

(3)若%+息=1,求證直線稠恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

3.已知A、B是拋物線yJ2px(p＞0)上異于原點(diǎn)0的兩個不同點(diǎn)，直線0A和0B的傾斜角分

TT

別為a和￡,當(dāng)a、￡變化且a+/?=—時，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

4

4.已知橢圓C：[+與=l(a＞人＞0)的離心率為也，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半

a2b~2

徑的圓與直線x-y+拒=0相切.

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)尸(4,0),M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)PN交橢圓C于

另一點(diǎn)E,求直線PN的斜率的取值范圍；

⑶在⑵的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點(diǎn).

5.在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)"到點(diǎn)耳卜括，0）,今（6,0）的距離之和是4,點(diǎn)"的軌跡

是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,不過點(diǎn)A的直線/:y=區(qū)+人與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和

Q-

⑴求軌跡c的方程；

⑵當(dāng)衣?血=0時，求/與人的關(guān)系，并證明直線/過定點(diǎn).

6.已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2,短軸長為2百.（I）求橢圓C的標(biāo)

準(zhǔn)方程；（II）若直線/：）=去+加（左H0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N不是

橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以MV為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A.求證：直線/過定點(diǎn)，并

求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

2

7.已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線f=4y的焦點(diǎn)，離心率e=

過橢圓的右.焦點(diǎn)廠作與坐標(biāo)軸不垂直的直線/,交橢圓于A、B兩點(diǎn)。

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)點(diǎn)加(肛0)是線段0廠上的一個動點(diǎn)，且(瓶+麗)_L而，求加的取值范圍；

(III)設(shè)點(diǎn)。是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個定點(diǎn)N,使得。、B、N

三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

A/2xy

8.已知離心率為丹-的橢圓C-.-4-72=1(a>6>0),過橢圓C上點(diǎn)P(2,1)作兩條互相垂直的

zab

直線，分別交橢圓于4B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求證：直線48過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

2.

9.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為3、一，它的一個焦點(diǎn)恰好與拋物線/

=4x的焦點(diǎn)重合.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為4過點(diǎn)彳作橢圓C的兩條動弦48,AC,若直線川民4C斜率之積

1

為7直線宓是否恒過一定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.

圓過定點(diǎn)

1.在平面直角坐標(biāo)系X勿中，己知點(diǎn)A(-3,4),8(9,0),C,〃分別為線段"，如上的動點(diǎn),

且滿足4C8ZZ(1)若4C4,求直線辦的方程；

(2)證明：AOa7的外接圓恒過定點(diǎn)(異于原點(diǎn)0.

<?I7H)

22、6

2.橢圓C：［+2=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是1,居，離心率為為過A且垂直于

a"b"'

X軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

(1)求橢圓C的方程;

(2)點(diǎn)。是橢圓C上除長軸、短軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過點(diǎn)戶作直線/,使得/與橢圓C

有且只有一個公共點(diǎn)，設(shè)/與y軸的交點(diǎn)為4,過點(diǎn)戶作與/垂直的直線〃，設(shè)m與y

軸的交點(diǎn)為8,求證：△H8的外接圓經(jīng)過定點(diǎn).

動點(diǎn)在定直線上

r221

1.在平面直角坐標(biāo)系X。)；中，已知橢圓C：J+二v?=1(”>6>0)的離心率6=上,直線

a-b~2

/:x-my-l=O(m€R)過橢圓C的右焦點(diǎn)且交橢圓C于A,B兩點(diǎn)、.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)。(|,0),連結(jié)過點(diǎn)A作垂直于y軸的直線4，設(shè)直線(與直線加交于

點(diǎn)P,試探索當(dāng)加變化時，是否存在一條定直線4，使得點(diǎn)P恒在直線4上？若存在，請

求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

2.已知橢圓Cil+Anim＞心〉。)的左、右焦點(diǎn)分別為"、F,,過F,作直線/與橢圓C交

ab

于點(diǎn)M、N.當(dāng)/+〃=4時，設(shè)M為橢圓C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線/交)，軸于點(diǎn)。，

F.MLF.Q,證明：點(diǎn)M在定直線上.

22

3.設(shè)橢圓C:二+==1(?！等耍?)過點(diǎn)M(J5,1),且焦點(diǎn)為耳(-V2,0)

a"b'

(I)求橢圓C的方程；

(II)當(dāng)過點(diǎn)P(4,l)的動直線/與橢圓。相交與兩不同點(diǎn)A,B時，在線段上取點(diǎn)。，

滿足?而母=|通M而卜證明：點(diǎn)?？傇谀扯ㄖ本€上

4.已知橢圓C的離心率6=手，長軸的左右端點(diǎn)分別為A1(-2,0),A?(2,0)。(I)求橢

圓C的方程；(II)設(shè)直線x=my+l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線AF與A2Q交于點(diǎn)S。

試問：當(dāng)m變化時，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的

結(jié)論；若不是，請說明理由。

第九講定點(diǎn)問題

題型分析，主要是考察直線過定點(diǎn)，圓過定點(diǎn)等

直線過定點(diǎn)問題解題方式一般分兩種：

①假設(shè)直線y=kx+b,通過求解出k,b的關(guān)系求解定點(diǎn)

②兩動點(diǎn)坐標(biāo)通過某參數(shù)表示，假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)(為,%),利用斜率相等

求出定點(diǎn)坐標(biāo)

簡單引理

1.已知直線方程(2+/l)x+(l-24)y+4-3/1=0.求證不論入取何實(shí)數(shù)值，此直線

必過定點(diǎn)；

2尤+v+4=0

首先式子轉(zhuǎn)化42x+y+4)+/l(x-2y—3)=0,然后《‘，

x-2y-3=0

所以定點(diǎn)為(1,-2)

k2-2k

2.求解過點(diǎn)A(0,),B(2,--------廣)的直線過哪個定點(diǎn).

i+k2i+k2

{k1-2k}k2+2k+2(k2-2k}

%一I+k?1+公1+公

假設(shè)定點(diǎn)為P(x,%)利用k=女M得----

0AB%一°2-0

利用恒相等的定點(diǎn)為(1,1)

直線過定點(diǎn)

1.已知橢圓C:?+y2=],過點(diǎn)T(i,0)的動直線/交橢圓c于兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸的對稱

點(diǎn)為A',問直線A'8是否經(jīng)過X軸上的一個定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；不是，說明理由.

假設(shè)直線A8:y=履+/?,A1％,乂）,8（工2，丫2），則4（為，-X）

、，。，、--8kb4/?2-4

萬程聯(lián)工行:X.+X,=-----,X.-X,=Z-----

1-4A:2+r1-4k2+1

利用A8,T三點(diǎn)共線得力=TZ

所以過定點(diǎn)(4,0)

2.已知左焦點(diǎn)為尸（一1,0）的橢圓過點(diǎn)￡（1,手）.過點(diǎn)戶（1,1）分別作斜率為4,用的橢

圓的動弦48,CD,設(shè)K〃分別為線段48,C〃的中點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若夕為線段的中點(diǎn)，求去；

（3）若％+?2=1,求證直線帆恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

解：依題設(shè)打1,且右焦點(diǎn)F'（1,0）.

攣=26代/一/二2,

所以，2乎EF+EF';

故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為手+5=1.

2222

⑵設(shè)4(國，月),B(x”%),畤+等=1①,與+與=1②.

②一①，得（&一占）（々+為）?（y?-X）（）'?+X）二0

所以，%=21^=_2a+內(nèi))=_g=_2

*2-玉3(%+%)6)73

（3）依題設(shè)，k、*kz.

設(shè)Mg，加），直線48的方程為y-1=^,（x-1）,即產(chǎn)左/（1一%）,亦即尸k、/kz,

代入橢圓方程并化簡得（2+3k；）x2+6*x+3后-6=0.

賓—3k、ki_2k?

于i=w%一2+31?

同理x=~~3k\h2k.

"''2+3后’

當(dāng)k、k沖。時,

直線椒的斜率k=＞，w_Zv=4+6(弓.+勺1.+奸)=1。-6&4

XM-xN-9k?k\(k2+kJ-9k2kx

直線椒的方程為贏=,（、-栽），

10-6^10-6^3^2k,

y

-9k2kt(-9k2K2+3好2+31)'

亦即產(chǎn)骨、4

此時直線過定點(diǎn)（0,-令.

當(dāng)左右0時，直線例即為y軸，此時亦過點(diǎn)（0,-,）.

綜上，直線施恒過定點(diǎn)，且坐標(biāo)為（（）,-,）.

3.已知A、B是拋物線yJ2px（p>0）上異于原點(diǎn)0的兩個不同點(diǎn)，直線0A和0B的傾斜角分

TT

別為a和￡,當(dāng)a、尸變化且a+Q=—時，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

4

22

解析：設(shè)A（?）—，y｝）,B（=二，為）??則

2P2P

tana=—,tan(3--,代入tan(a+/?)=I

為

得2P(y+%)=%當(dāng)一4P2⑴

又設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,則

y=kx+b0

<2=>ky~-2py+2pb=0

y=2px

?,以為="^，必+%=2^，代入(1)式得b=2p+2pk

kk

直線AB的方程為y—2〃=k(x+2p)

???直線AB過定點(diǎn)(-2〃，2p)

說明：本題在特殊條件下很難探索出定點(diǎn)，因此要從已知出發(fā)，把所求的定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)

化為求直線AB,再從AB直線系中看出定點(diǎn)。

22/Z

4.已知橢圓C：=+4=1(〃>/,>0)的離心率為二，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半

a2b22

徑的圓與直線x-y+0=0相切.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)P(4,0),M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)PN交橢圓C于

另一點(diǎn)E,求直線PN的斜率的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點(diǎn).

解析：⑴由題意知e=￡=且，所以6?=烏="-二"=),即"=4加，又因?yàn)?/p>

a2。4

b=^===\,所以/=4,從=1,故橢圓C的方程為C:?+丁=1.

⑵由題意知直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y=Z(x-4)①

y=k(x-4)

聯(lián)立消去y得：(4二一1)/一32公x+4(16公一1)=0,

—+V2=1

4

由△=（32公）2-4（4/+1）（64左2一4）>0得12公_1<o,

又z=o不合題意,

AA

所以直線PN的斜率的取值范圍是-火＜攵＜0或0＜左＜J.

66

⑶設(shè)點(diǎn)N（芯,yjE（X2,%）,則M（X],-X）,直線M石的方程為＞一%二2"上^。-%），

W一玉

令y=0,得工二七一型上一把，將乂=左（七一4）,%-4）代入整理，得

%+%

%=2%為一4（芭+型）②

X]+/-8

由得①%+工）=＜^—,~代入②整理，得x=l,

4公+1~4K+1

所以直線ME與x軸相交于定點(diǎn)（1,0）.

5.在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)〃到點(diǎn)4-6,0）,乙（J5,0）的距離之和是4,點(diǎn)M的軌跡

是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,不過點(diǎn)A的直線/:y=+〃與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和

Q-

⑴求軌跡c的方程；

⑵當(dāng)喬力弓=0時，求我與人的關(guān)系，并證明直線/過定點(diǎn).

解：⑴；點(diǎn)M到（-8，0）,（6,0）的距離之和是4,的軌跡C是長軸為4,焦點(diǎn)在X

軸上焦中為26的橢圓，其方程為反+＞2=[.

4

⑵將＞=丘+力，代入曲線C的方程，整理得（1+4公）/+80依+4=0,因?yàn)橹本€/與曲線

C交于不同的兩點(diǎn)P和Q,所以△=64二從一4（1+4二）（4/-4）=16（4公一^+1）＞0①

設(shè)P（%,y）,。（多，％），則/+々=_：*，砧=[工②

1+QK1+QK

且％?必=（g+匕）（履2+份=（%2%々）+初（芭+々）+62,顯然，曲線C與X軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)

A（-2,0）,所以而=（'+2，x）,AQ=（x2+2,y2）.由A戶2。=0,得

（X]+2）（&+2）+%M=°?

將②、③代入上式，整理得12公一16妨+5序=0.所以（2%-加?（6女—5份=0,即6=2%或

b=^k.經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①，當(dāng)b=2Z時，直線/的方程為y=fcv+2A.顯然，此時直

線/經(jīng)過定點(diǎn)（-2,0）點(diǎn).即直線/經(jīng)過點(diǎn)A,與題意不符.當(dāng)匕=9%時，直線/的方程為

y=fcr+—^=A：[x+—].

-5I6；

顯然，此時直線/經(jīng)過定點(diǎn)卜1,0）點(diǎn)，且不過點(diǎn)A.綜上，A與b的關(guān)系是：b=^k,且

直線/經(jīng)過定點(diǎn)屋，0）點(diǎn).

6.已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2,短軸長為26.（I）求橢圓C的標(biāo)

準(zhǔn)方程；（II）若直線/：>=履+加化。0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N不是

橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A.求證：直線/過定點(diǎn)，并

求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（I）設(shè)橢圓的長半軸為。，短半軸長為力，半焦距為C,則

2c=2,

Q=2,

<2b=2瓜解得

b=6,

a2=b2+c2,

x~V

/.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為---F——=1....4分

43

fx2y2

(Il)由方程組｛77+7=1消去y,得

y=kx+m

(3+4〃+8析1r+4病-12=0.6分

由題意4=（8批）2—4（3+4公）（44一12）>0,

整理得：3+4公一加2>。①......7分

設(shè)M（Xi，yJ、N（x2,y2）,則

8km4m2-12

中2=石干.....8分

由已知，AM±ANf且橢圓的右頂點(diǎn)為A（2,0）,

**?(%—2)(9—2)+y%=。?....10分

即(1+22卜也+(版-2)(玉+工2)+〃，+4=0,

1G/1I2\4/27"-127,\—8A/H2/八

也即(1+K)------r+(版一2)-------+m~+4=0,

')3+4/')3+4女2

整理得7根2+16根左+4%2=0.

解得加=-2左或tn—----,均滿足①......11分

7

當(dāng)加=一22時，直線/的方程為y=kx-2k,過定點(diǎn)（2,0）,不符合題意舍去:

當(dāng)相=一竺時，直線/的方程為y=k\x-^},過定點(diǎn)（2,0）,

7<7；7

2

故直線/過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為（一,0）........13分

7

.2

7.已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=4y的焦點(diǎn)，離心率e=—=,

<5

過橢圓的右，焦點(diǎn)尸作與坐標(biāo)軸不垂直的直線/,交橢圓于A、8兩點(diǎn)。

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)設(shè)點(diǎn)M(m,O)是線段0E上的一個動點(diǎn)，且(標(biāo)+初豆)_1_麗，求加的取值范圍;

(用)設(shè)點(diǎn)。是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個定點(diǎn)N,使得C、B、N

三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

X9V?

解法一：(I)設(shè)橢圓方程為fd....-=1(6!>/?>0),由題意知Z?=l

aZr

2X2

=>a2=5故橢圓方程為---1-y2=1

V55

(II)由(I)得/(2,0),所以04機(jī)《2,設(shè)/的方程為y=-x—2)(%。0)

2

代入?+y2=],得(5r+1?2—20%2%+20%2-5=0設(shè)A(%,y),5(9,必)，

20k220k2-5

則X]+x—Z---=----------Z----%+必=k(X[+%2—4),y—必=k(X\-x)

25公+1?~5公+12

:.MA+MB=(<x]一加,乂)+(馬一加,%)=(%+%2-2m,兇+%)，.二(馬一七，、2一名)

9

\(MA+MB)±AB./.(MA+MB)-AB=0,/.(x}+x2-2m)(x2一5)+(%-X)(X+%)=。

20k24k2

-2m-=0,(8—5⑼公一加=0由/=—^―>0,.-.0</?<-,

"5k2+l5k2+18-5m5

o_________

.?.當(dāng)0<m<］時，有(加+荻)J.南成立。

(III)在X軸上存在定點(diǎn)N(g,O),使得C、B、N三點(diǎn)共線。依題意知C(X|,-y),

直線BC的方程為y+y-^2—(x-x.),令y=0,則x=_±2+X]=+)2、

々一玉%+X

/的方程為y=)l(x—2),A、8在直線/上,

左(％-l)x2+Z(%2-1)內(nèi)_2kx}x2-2k(x1+x2)

y=%(玉-2),y2=k(x2—2)/.x=

k(X[+元2)-4%k(X[+%2)-4&

2k2（）^~5—2k-20k2

5父+15Z-+1=—.?.在x軸上存在定點(diǎn)N(°,0),使得C8N三點(diǎn)共線。

22

一42

5二+1

解法二：(II)由(I)得/(2,0),所以04機(jī)42。設(shè)/的方程為y=k(x—2)供#0),

r2

22

代入一+丁=1,得（5/+]）Y-20k+20k—5=0設(shè)A（玉，％）,B（x2,y2）,則

20k220/一5

4k

X+%=k（%+3-4）=一必一％=左(玉一電)

5k2+V

2

M+麗）J.AB,:]MA|=|yl^-mY+y,=^x2-m）+y2,

/-2/〃）（x—A；2）+（y+%）（M-%）=°，

22

（1+%2）（玉+x2）-2m-4k-0,（8-5m）k-m-0

Sk288,8

-m-------------------）k^O,:.k">00</M<-

"5公+155（5/+1

.?.當(dāng)0(加<|時，有(加+麗)J.而成立。

(III)在x軸上存在定點(diǎn)N§,0),使得C、B、N三點(diǎn)共線。

設(shè)存在NQ,0),使得C、B、N三點(diǎn)共線，則而〃由，

?.?CB=(X]—毛，必+X)，CN=Q-X|，x),(々一X|)X—?—%)(,+%)=。

即32—玉).%—2)—Q—%)Z(X]+/-4)=0/.2XJ%2—(f+2)(.+%2)+4,—0

2()k2-520&2、5

???2---------(r+2)——+4/=0,.??，=—.?.存在N(—,0),使得CBN三點(diǎn)、

5k2+15k2+122

共線。

222

8.已知離心率為￥的橢圓C-.當(dāng)+《=1(a>6>0),過橢圓C上點(diǎn)P(2,1)作兩條互相垂直的

直線，分別交橢圓于4B兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程;

⑵求證：直線48過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

4,1

~+；7=1

aba=6,

解：（1）依題意有，解得，

c/8=3,

G=2，

X2V2

所以橢圓C的方程為丁+不二1.

Oo

⑵證明：易知直線48的斜率存在,

故設(shè)直線的方程為y=kx+m,

y=kx+mf

22得（22+1）/+4/7而x+

由“xJ12OT-6=0.

6+3=1

設(shè)4（必,/）,8（x2,㈤,

4mk2m—6

則Xl+X2=

2/+1'

由pt?PN=0,得（必一2）（X2—2）+（yi—1）（y：—1）=0,

即（必一2）（X2—2）+（〃*+加一1）（力生+加-1）=0,

得（妙+1）MM+（km-k—2）（xi+xz）—2m+5=0,

則3裾+8m/r+4尸一2kl=0,

即（3/n+2A+1）（葉2〃-1）=0,

由直線48不過點(diǎn)只知OT+2火一1手0,

故3加+2〃+1=0.

所以直線過定點(diǎn)（|,—

9.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為5一，它的一個焦點(diǎn)恰好與拋物線v

=4x的焦點(diǎn)重合.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為4,過點(diǎn)力作橢圓C的兩條動弦48,AC,若直線48,4C斜率之積

1

為不直線8c是否恒過一定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.

解：(1)由題意知橢圓的一個焦點(diǎn)為尸(1,0),則c=1.

由e=；=乎得a=/，所以6=1,

所以橢圓C的方程為，+/=1.

(2)由(1)知/(0,1),當(dāng)直線8c的斜率不存在時，

設(shè)BC-.x—xo,設(shè)B(,x0,㈤，則C(*o,-yo),

12

yo—1-yo-11—yi2011

kAB<%C=*=2-

XoXoXQAb24

不合題意.故直線仇?的斜率存在.設(shè)直線能的方程為y=Ax+m(m#=1),并代入橢圓

方程，得：

(1+2Zr2)x+4kmx+2(/n—1)=0,①

由/=(4癡2—8(1+2〃)(方—1)>0,

得22一裾+1>0.②

設(shè)8(必，yi),C(X2,72),則必，X2是方程①的兩根，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，

4km2(方—

x,+x2=-7+i?'X'X2=y+^'

由向七="工左匚=；得：

XiX24

4yls—4（必+.）+4=%ix2,

即(41—1)MX2+4F(7—1)(為+及)+4(/?—1)2=0,

整理得(加一1)(k3)=0,

又因?yàn)樗?=3,

此時直線8c的方程為y=Ax+3.

所以直線8c恒過一定點(diǎn)(0,3).

圓過定點(diǎn)

1.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點(diǎn)4-3,4),B(9,0),C,。分別為線段)，必上的動點(diǎn),

且滿足/4R8ZZ(1)若/R4,求直線CZ?的方程；

(2)證明：的外接圓恒過定點(diǎn)(異于原點(diǎn)0.

解.(1)因?yàn)?-3,4),所以QA=J(—3)2+4z=5,

34

又因?yàn)锳C=4,所以O(shè)C=1,所以C(——

由30=4,得。(5,0),

1_

所以直線CO的斜率

7

所以直線CD的方程為y=-1(x-5),即x+7)」5=0.

(2)設(shè)C(-3根,4〃z)(0<〃zWl),則OC=5:〃.

則AC=OA-OC=5-5m,

因?yàn)锳C=BD,所以O(shè)D=OB-BD=5，”+4,

所以。點(diǎn)的坐標(biāo)為(5m+4,0)

又設(shè)NOCD的外接圓的方程為f+丁+Dx+Ey+F=O,

F=0,

則有■9m2+16m2-3mD+4mE+尸=0,

(5/n+4)2+(5/n+4)D+F=0.

解之得O=—(5加+4),尸=0,E=-10m-3,

所以AOCO的外接圓的方程為/+/-（5根+4）%-（10根+3方=0,

22

整理行x+y-4x-3y-5m(x+2y)=0>

x+y-4x-3y=0,JC=0,x=2,

令《所以<（舍）或<

x+2y=0y=0.」=一1.

所以△OCD的外接圓恒過定點(diǎn)為（2,—1）.

x"y離心率為半，過后且垂直于

2,橢圓C-.=1（4>/>0）的左、右焦點(diǎn)分別是乙，

7十萬

x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)。是橢圓C上除長軸、短軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過點(diǎn)戶作直線/,使得/與橢圓C

有且只有一個公共點(diǎn)，設(shè)/與y軸的交點(diǎn)為4過點(diǎn)戶作與/垂直的直線〃，設(shè)m與y

軸的交點(diǎn)為8,求證：△月48的外接圓經(jīng)過定點(diǎn).

2211

rbb

解：（1）由于。2=3一從將＞=一0代入橢圓方程J+J=1,得y=±—.由題意知2—

a2b2

=也2

=1,即百=2b1又e=￡所以3=2,b—1.所以橢圓C的方程為---Fy~—1.

a2，4

⑵設(shè)P（xo,yo）（yo=/=O）,則直線/的方程為y—戰(zhàn)="（x—此）.

y="+為一依)，

22

聯(lián)立＜x-整理得(1+4A)%+8(〃皿—"M)X+45―2優(yōu)必+〃必一1)

丁+V=L

4

2

由題意△=（）,即（4—必）A?+ZxoNoZrH—訪=0.又今+），；=1,所以16+8xo次〃+

髭=0,故〃=-

4yo

所以直線/方程為.+%y=l,令產(chǎn)0,解得點(diǎn)4（0,二-）,

4%

又直線m方程為y=3且x-3%,令x=0,解得點(diǎn)8（0,-3》0）,

xo

,1

△的外接圓方程為以AB為直徑的圓方程，即f+（y——）（y+3%）=0.

%

『二?！獾脠A過定點(diǎn)

整理得：x2+y2_3+y(3%--L)=O,分別令?

%

(±V3,0).

動點(diǎn)在定直線上

x2V21

1.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知橢圓C:三+==1的離心率6=—,直線

a~b~2

/:x-,2-l=0（〃2eR）過橢圓C的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A,B兩點(diǎn)、.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知點(diǎn)。(|,0),連結(jié)BD,過點(diǎn)A作垂直于y軸的直線4,設(shè)直線《與直線班)交于

點(diǎn)P,試探索當(dāng)，”變化時，是否存在一條定直線/?,使得點(diǎn)P恒在直線上？若存在，請

求出直線〃的方程；若不存在，請說明理由.

0=L(—1

解：⑴由題設(shè)，得c1解得c='從而從="一02=3

-=3=2，

I。2

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^-=1.

43

(2)令機(jī)=0,則4(1,3),8(1,—。)或者A(l,-3)，8(1,3).

2222

當(dāng)以1，3，8(1,—3)時，P(4,-);當(dāng)A(l,_，),B(L』)時,P(4,--),

222222

所以，滿足題意的定直線4只能是x=4.

下面證明點(diǎn)P恒在直線x=4上.

設(shè)4(x/X),?(x2>y2),由于人垂直于y軸，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為必，從而只要證

明尸(4,yj在直線3D上.

x-my-l=0r

由《f2得(4+3機(jī)2)y2+6)2_9=0,

—+—=1,

143

?.?D=144(1+w2)>0,

-6m-9.①

y+必

4+3/n24+3〉

33

y,-o_x_2)C二)

??k-k-%一0

.aKDP-555333

工>一二

-2乙乙乙乙乙

2

y+為一心為

3-

①式代入上式，得攵08-凝>/，=0，所以kDB-kDP

???點(diǎn)尸（4,y）恒在直線3。上，從而直線4、直線與直線4"=4三線恒過同一點(diǎn)

尸，所以存在一條定直線4：x=4使得點(diǎn)尸恒在直線4上.

2.已知橢圓CiA+lnim〉?！怠＃┑淖?、右焦點(diǎn)分別為耳、F,過尸，作直線/與橢圓c交

ah2

于點(diǎn)M、N.當(dāng)"+〃=4時，設(shè)M為橢圓C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線/交），軸于點(diǎn)Q,

6A/_L-。，證明：點(diǎn)M在定直線上.

（2）設(shè)加圖,尢）1。>0,%>0）,F,（c,0）,則直線/的方程為y=%>-c）,

令％=0,可得。（0,旦3,

%一。

fo

由耳Q可知，原的,女=。^?上￡=—1,整理得%2二/2一/,

11

x0+CC

又。2=a2-b2=2a2-4,

，2

%2=%2_（2/_4）,x°=9，

聯(lián)立人22，解得2,,

馬+」^=1o/

a~4-a~y（）=^--

乙

所以點(diǎn)M在定直線x+y=2上.

22

3.設(shè)橢圓。：3+}=1（?！??>0）過點(diǎn)加（，5,1）,且焦點(diǎn)為耳（一J5,o）

（?）求橢圓。的方程;

（II）當(dāng)過點(diǎn)P（4,1）的動直線/與橢圓。相交與兩不同點(diǎn)A,B時，在線段AB上取點(diǎn)。，

滿足|而'。耳=|湎,而卜證明：點(diǎn)?？傇谀扯ㄖ本€上

解析：(1)由題意：

c2=2

22

21rv

+F=1,解得/=4/2=2,所求橢圓方程為一+2-=1

a2b-42

c2^a2-b2

⑵設(shè)點(diǎn)。（%,力,4%21）,5。2，%），由題設(shè)，|麗J,|麗J,|近J,均不為零。

PAPB

AQ~QB

又P,AQ,5四點(diǎn)共線，可設(shè)西=一4苑，而=/l版（zlxO,±l）,于是

4—A,x

(1)

1-A

4+Ax1+Ay

公~r~,%=-i-(2)

1+X1+X

由于A（尤|,）|）,5（工2，%）在橢圓C上，將（1）,（2）分別代入C的方程V+2y2=4,

整理得(/+2;/—4)；!?—4(2x+y—2)2+14=0⑶

(x2+2y2-4)外+4(2x+y-2)2+14=0(4)

(4)-(3)得8(2x+y—2)2=0

4力0,.\2x+y—2=0