數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開

函數(shù)有精確表示和近似表示。精確表示（解析表示）：表示為初等函數(shù)通過四則運算近似表示：逼近近似表示為初等函數(shù)通過四則運算級數(shù)表示表示為一個函數(shù)級數(shù)1/11/2024阜師院數(shù)科院第三章冪級數(shù)展開復(fù)數(shù)項級數(shù)；變項級數(shù)（函數(shù)級數(shù)）；冪級數(shù)；冪級數(shù)對復(fù)變函數(shù)研究的應(yīng)用：泰勒級數(shù)；洛朗級數(shù)，函數(shù)的奇異性研究。1/11/2024阜師院數(shù)科院3.1復(fù)數(shù)項級數(shù)級數(shù)是無窮項的和1.級數(shù)的收斂和柯西判據(jù)復(fù)無窮級數(shù)每一項為收斂如果極限存在并有限收斂：1/11/2024阜師院數(shù)科院充要條件是其實部與虛部都收斂柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是，對于一小的正整數(shù)，必存在一N

使得n>N

時有式中p

為任意正整數(shù)。1/11/2024阜師院數(shù)科院2.絕對收斂收斂。兩個絕對收斂的和，積，仍絕對收斂。3.復(fù)變項級數(shù)的每一項都是復(fù)變函數(shù)。實際上，對于z的一個確定值，復(fù)變項級數(shù)變成一個復(fù)數(shù)項級數(shù)。則原級數(shù)收斂。1/11/2024阜師院數(shù)科院復(fù)變項級數(shù)有一個定義域B

。它的收斂的概念應(yīng)當(dāng)是相對于這個定義域而言的。收斂復(fù)變項級數(shù)在其定義域B中每一點都收斂，則稱在B中收斂。它滿足柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是，對于一小正整數(shù)，必存在一N(z)

使得n>N(z)

時有1/11/2024阜師院數(shù)科院一致收斂當(dāng)N

與z無關(guān)時。即對B

中所有點給定，就有一個統(tǒng)一的N

使判據(jù)得到滿足。

一致收斂的級數(shù)的每一項若為連續(xù)函數(shù)，級數(shù)也將是連續(xù)函數(shù)。在一條曲線上可以逐項積分。絕對一致收斂在區(qū)域B中，復(fù)數(shù)項級數(shù)的各項滿足

而數(shù)項級數(shù)收斂。即在各點都絕對收斂1/11/2024阜師院數(shù)科院給定

收斂，但與z的位置有關(guān)。1/11/2024阜師院數(shù)科院3.2冪級數(shù)冪函數(shù)的復(fù)變項級數(shù)對于各復(fù)常數(shù)級數(shù)叫以為中心的冪級數(shù)。1.定義(3.2.1)z01/11/2024阜師院數(shù)科院2.收斂的達朗貝爾判據(jù)研究(3.2.1)的模的如下級數(shù)滿足則實冪級數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級數(shù)(3.2.1)絕對收斂。(3.2.1)(3.2.2)1/11/2024阜師院數(shù)科院則實冪級數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級數(shù)(3.2.1)絕對收斂。3.收斂圓記有1/11/2024阜師院數(shù)科院收斂圓R叫收斂半徑，以為圓心，R為半徑的圓叫冪級數(shù)的最簡單的收斂區(qū)域。保證冪級數(shù)在圓內(nèi)的點上絕對收斂，而在圓外可能發(fā)散。圓外仍有區(qū)域是收斂的。根值判別法(3.2.2)收斂，(3.2.1)絕對收斂。(3.2.2)發(fā)散，(3.2.1)發(fā)散。故當(dāng)，(3.2.1)絕對收斂。當(dāng)，(3.2.1)可能發(fā)散。1/11/2024阜師院數(shù)科院故例(1)解：收斂半徑:收斂圓內(nèi)部為其實，對于1/11/2024阜師院數(shù)科院(2)但對于顯然級數(shù)發(fā)散。解：收斂圓實際上對于4.冪級數(shù)的積分表示利用柯西公式在一個比收斂圓C內(nèi)稍小的圓C’中冪級數(shù)絕對一致收斂，故可沿這個圓逐項積分。1/11/2024阜師院數(shù)科院記C’上點為，而C’內(nèi)任一點為z，則圓上的冪級數(shù)為利用柯西公式得而有界，1/11/2024阜師院數(shù)科院又乘以冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項求導(dǎo)。還可以逐項積分。1/11/2024阜師院數(shù)科院3.3泰勒級數(shù)展開具有無限階導(dǎo)數(shù)的實函數(shù)可以展開為泰勒級數(shù)。復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)具有無限階導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)可展開為泰勒級數(shù)。定理設(shè)在以為圓心的圓內(nèi)解析，則對圓內(nèi)任意點，可展開為其中證明：又1/11/2024阜師院數(shù)科院#關(guān)鍵在確定，但這不是唯一的方法例(1)解：#能直接求導(dǎo)就求導(dǎo)1/11/2024阜師院數(shù)科院(2)解：#1/11/2024阜師院數(shù)科院(3)

是多值函數(shù)，各分支在支點相連。但不是支點，在其的鄰域各分支相互獨立。因此，我們可以只討論展開的主值。解：1/11/2024阜師院數(shù)科院主值#(4)解：定義顯然1/11/2024阜師院數(shù)科院1/11/2024阜師院數(shù)科院是主值，此時有即二項式定理。#方法與實函數(shù)同，但應(yīng)注意主值。最普通的辦法，仍是逐級求導(dǎo)。1/11/2024阜師院數(shù)科院(5)極點在1/11/2024阜師院數(shù)科院不同的冪級數(shù)在不同的區(qū)域與函數(shù)相同。這里存在什么樣的關(guān)系？設(shè)在小圓在大圓。問題在于1/11/2024阜師院數(shù)科院3.4解析延拓例如和等式兩邊在收斂圓內(nèi)是相同的，但在收斂圓外等式不一定成立。注意，等式的左邊僅在收斂圓內(nèi)有意義，但等式的右邊除t=1（前一個）或,在整個復(fù)平面上解析。因此，問：已知，求在之外的F(t)。這個答案是已知的1/11/2024阜師院數(shù)科院

于是提出問題：已知f(z)在b

中解析，是否存在F(z)在B

中解析，且在b

中

F(z)=f(z)。這個過程叫解析延拓。解析延拓的方法在b中取點，又取的一個鄰域，j將f(z)展開為泰勒級數(shù)。如果這個級數(shù)的收斂圓的一部分超出區(qū)域b進入?yún)^(qū)域B則此函數(shù)的解析區(qū)域得以擴大。逐步使用這種方法，可以逐漸將函數(shù)解析延拓?？梢宰C明，無論采用何種方法，函數(shù)f(z)的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進行解析延拓。1/11/2024阜師院數(shù)科院在點z0收斂、絕對收斂。在定義域，收斂、一致收斂、絕對一致收斂級數(shù)冪級數(shù)1/11/2024阜師院數(shù)科院泰勒級數(shù)解析函數(shù)解析延拓是否可以將一個解析函數(shù)的解析區(qū)域擴大？在收斂圓內(nèi)可逐項積分可作為被積函數(shù)，被積函數(shù)不一定是解析函數(shù)。1/11/2024阜師院數(shù)科院3.5洛朗展開泰勒展開必須在函數(shù)的解析區(qū)域才可進行。在函數(shù)的奇點的鄰域，是否存在相應(yīng)的展開？(2)

泰勒級數(shù)的解析區(qū)域為一收斂圓，收斂圓不可包含奇點，但若研究一個級數(shù)，它以圓環(huán)作收斂區(qū)域，則奇點可以取作圓心，它在收斂環(huán)之外。這種級數(shù)為洛朗級數(shù)泰勒級數(shù)是只具有正冪項的冪級數(shù)，奇點易出現(xiàn)在負(fù)冪項，故考慮有負(fù)冪的級數(shù)1.收斂環(huán)1/11/2024阜師院數(shù)科院設(shè)其收斂半徑為，則其在圓外部收斂。

故此級數(shù)在收斂。這個區(qū)域叫收斂環(huán)。其中正冪部分的收斂半徑為。負(fù)冪部分寫作1/11/2024阜師院數(shù)科院2.定理 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析，則在環(huán)內(nèi)任一點z，f(z)可以展開為冪級數(shù)其中證：沿1/11/2024阜師院數(shù)科院沿兩個積分回路的方向相反，由柯西定理，沿的積分可變?yōu)檠氐姆e分（差一個負(fù)號）如下#此為洛朗展開在奇點附近的展開1/11/2024阜師院數(shù)科院3.例(1)

在的鄰域展開。f(z)無定義。但在挖去原點的環(huán)域（整個復(fù)平面）中又此級數(shù)又可以看作f(z)的到整個復(fù)平面的解析延拓。利用泰勒展開1/11/2024阜師院數(shù)科院(2)在環(huán)域中將展開。還是利用泰勒展開f(z)的奇點不是Z=0，而是z=1,-1。(3)在的鄰域?qū)⒄归_。(z-1)的冪級數(shù)在1/11/2024阜師院數(shù)科院(4)利用取得無限多負(fù)冪1/11/2024阜師院數(shù)科院(5)習(xí)題14z

的冪級數(shù)A.B.1/11/2024阜師院數(shù)科院3.6孤立奇點的分類孤立奇點f(z)除在的小鄰域外處處可導(dǎo)。在挖去的小鄰域外解析。其正冪叫解析部分，負(fù)冪叫主要部分。叫留數(shù)C.1/11/2024阜師院數(shù)科院可去奇點冪級數(shù)無負(fù)冪項時的極點冪級數(shù)僅含有限m

個負(fù)冪項時的M為極點的階，一階極點稱單極點本性奇點含無窮多負(fù)冪項時的例(1)中

為可去奇點例(3)中出現(xiàn)一階極點。留數(shù)為例(4)中出現(xiàn)本性奇點。留數(shù)為1/11/2024阜師院數(shù)科院例(5)中情況