高一數(shù)學(xué)知識手冊（上）

A

1

C

知識手冊（上）

☆知識體系:

集合的精忿

攀含的元素特性

元素與靠臺的關(guān)系

集合的含義與表示第合的表示

常用數(shù)零及其記法

攀含的分類

集合子集

下子事

集合間的再本關(guān)系

察合相等

交像

集合仙本運(yùn)...

。大綱解讀:

1.了解集合的含義、元素與集合的“屬于"關(guān)系

2.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題

3.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集

4.在具體情況中，了解全集與空集的含義

5.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集

6.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集

7.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算

@知識清單:

集合

一、集合的含義與礪

1.集合的概念

一般地，某些指定的對象集在一起就稱為一個(gè)集合，也簡稱集，通常用大寫字母

…表示集合，集合中每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素，通常用小寫字母

瓦G…表ZF.

2.集合的元素特性

(1)1性：給定一個(gè)集合，則任何一個(gè)對象是不是這個(gè)集合的元素，必須是明

確的.

(2)型性：一個(gè)給定集合的元素之間必須是互異的，即一個(gè)集合中的任意兩個(gè)

元素(對象)應(yīng)該是不同的，相同對象在構(gòu)成集合時(shí)只能作為一個(gè)元素出現(xiàn)在集

合中.

(3)無序性:集合中的元素是沒有W頁序的，集合與其中元素的排列次序無關(guān).

3.元素與集合的關(guān)系

⑴如果a是集合4的元素,就說a屬于集合4，記作aw/.

(2)如果a不是集合4的元素，就說a不屬于集合4,記作as4.

4.集合的表示

(1)自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

(2)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

⑶描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，一般形式是卜，其

中x是集合中元素的代表形式，1是元素的取值(或變化)范圍，p(x)是這個(gè)

集合中元素所具有的共同特征.

(4)圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

5.常用數(shù)集及其記法

常用數(shù)集一覽表

掌握打V常用數(shù)集簡稱記法

□全體非負(fù)整數(shù)組成的集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)N

□所有正整數(shù)組成的集合正整數(shù)集

□全體整數(shù)組成的集合整數(shù)集Z

□全體有理數(shù)組成的集合有理數(shù)集Q

□全體實(shí)數(shù)組成的集合實(shí)數(shù)集Z

6.集合的分類

(1)含有有限個(gè)元素的集合叫做直限集.

(2)含有無限個(gè)元素的集合叫做無限龕.

(3)不含有任何元素的集合叫做空集(0).

二、集合間的基本關(guān)系

1.子集、真子集、集合相等

名稱子集真子集集合相等

記號(或B=4)/UB(或XVZ)A=B

4中的任一元素都

-V/中的任-元素都AQB，且3中至少

忌乂屬于3有一元素不屬于/屬于B,3中的任

一元素都屬于4

(1)4工4

(2)0(1)0U/(/為非空

(3)若且3uC,子集)(D^cC

則4uC(2)若/0E且⑵

(4)若3uC且,BOC，則/UC

補(bǔ)充說明：

若集合/有個(gè)元素,貝！J：

⑴/有2"個(gè)子集

⑵，有2--1個(gè)真子集

(3)/有2--1個(gè)非空子集

(4)/有2--2非空真子集

三、集合的基本運(yùn)算

1.交集、并集、補(bǔ)集

名稱交集并集補(bǔ)集

記號AOBAOB0VA

意義且孑￡刀｝但XW/，或XW3}{x|xe(Z，且xwB}

(i)/na=/(1)AC\A=A

Wn(G4)=0

(2)/n0±0(2)/U62E

崛

(2)/U(")=U

⑶/nsuB⑶

ACiBcB

補(bǔ)充說明：

Q)一個(gè)集合的補(bǔ)集的補(bǔ)集是其本身：

(2)空集的補(bǔ)集是全集：

(3)全集的補(bǔ)集是空集：qu=0

⑷摩根定律：

Q(NU功=(Q/)n(Q5)

g知識拓展:

四、含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

1.含絕對值的不等式的解法

不等式解集

|x|<a(a>0)

|x|>a(a>0){x|x<-a/或c}

|ax+fr|<c(c>0)把。c+b看成一個(gè)整體，化成國型求解

|av+fe|>c(c>0)把or+b看成一個(gè)整體,化成國>?(?>0)型求解

2.一元二次不等式的解法

判別式

A>0A>0A>0

△=赫-4ac

V

二次函數(shù)k/

y=axi+bx+c[a>Q)11

卡

的圖象yr

-b±“2-4ac

一元二次左程X]2一、b

ax2+/>.r+c=0(a>0)2a…二一五無實(shí)根

的根(其中與=蒼)

ac2+hc+c>0(a>0)FT)

y=f(x)或*>0}R

的解集

2

ax+fev+c<0(a>0){xIXj<X<x}

200

的解集

3.分式不等式

不等式解集

4以4“>)o

螫。

川*）f㈤?&卜）》0且g（￥）￥0

轉(zhuǎn)。/(x)-g(x)<0

—?g/vQ且g(￥)*0

補(bǔ)充說明：

Q）解一般型分式不等式，先移項(xiàng)通分，化為標(biāo)準(zhǔn)型分式不等式

⑵解標(biāo)準(zhǔn)型分式不等式，先化商為積，化為整式不等式

4.根式不等式

不等式解集

丁(力。

*g(*)*o

g(x)xO..

公”。或重;:

/(x)>g2(x)1

?W>o

77^＜?。丁▁”0

/(x)<g2(x)

^('V)'°W6/(x)￡0

"?j，g（力。

函數(shù)的概念和性質(zhì)

☆知識體系:

定義域

微念對應(yīng)法則

值域

圖象法

函數(shù)表示方法列表法

解析法

單調(diào)性

基本性質(zhì)--------

函數(shù)的概念和性質(zhì)---------奇偶性

對應(yīng)關(guān)系

微念----------

映射象與原事

。大綱解讀:

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.

2.了解映射的概念.

3.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析

法）表示函數(shù).

4.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

5.理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.

6.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性與周期性的含義.

@知識清單:

函數(shù)的概念和性質(zhì)

二函數(shù)及其表示

1.函數(shù)的概念

給定兩個(gè)非空的數(shù)集45,如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系，，使對于集合N中

的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)/(X)和它對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)

了:4->3為從集合N到集合笈的一個(gè)函數(shù)，記作.其中x叫做直

變量；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值.

2.函數(shù)的三要素

(1)定地：自變量”的取值范圍N,叫做函數(shù)的定義域.

(2)值域:函數(shù)值的集合｛7=/(0"w4)叫做值域.

(3)對應(yīng)幽:從4到8的對應(yīng)關(guān)系叫做對應(yīng)法則.

3.同一函數(shù)

定義域相同、值域相同、對應(yīng)法則也相同的函數(shù)是同一函數(shù).

4.區(qū)間的概念

設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且我們規(guī)定：

(1)滿足不等式的實(shí)數(shù)x的集合叫做團(tuán)國回,表示為［%司.

(2)滿足不等式avxcb的實(shí)數(shù)”的集合叫做遷區(qū)回，表示為/(工).

(3)滿足不等式asx<b或avx4b的實(shí)數(shù)x的集合叫做包坐團(tuán)區(qū)回，分別表示

為［a,，),(?,6］.

(4)實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(-00,+8),"8"讀作"無窮大"，"-C0"讀作

"負(fù)無窮大"，"用"讀作"正無窮大".

(5)滿足不等式X2a的實(shí)數(shù)界的集合表示為.

(6)滿足不等式a的實(shí)數(shù)界的集合表示為(火加).

(7)滿足不等式xsb的實(shí)數(shù)”的集合表示為［?,+<?).

(8)滿足不等式XV5的實(shí)數(shù)”的集合表示為(-oo,b).

5.函數(shù)的表示法

(1)解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(2)圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(3)列表法：用表格表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

6.映射

(1)映射的概念：設(shè)是兩個(gè)非空的集合，如果按照某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系/,

使對于集合N中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素『與之對應(yīng),

那么就稱對應(yīng)了:4->3為從集合N到集合8的一個(gè)遍.把元素y叫做x的象，

元素”叫做元素y的原象.

(2)映射與函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射.

7.函數(shù)定義域的求法

⑴若/N)為整式，則其定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.

(2)若/(工)為分式，則其定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)的集合.

(3)若/(])是偶次根式，則其定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)的集

合.

(4)若/(工)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各個(gè)部分都

有意義的實(shí)數(shù)的集合.

(5)/(x)=x°的定義域是{xe叫工工0}.

8.函數(shù)解析式的求法

(1)待定系數(shù)法：如果已知函數(shù)類型，可設(shè)出函數(shù)解析式，再代入條件解方程(組),

求出參數(shù)確定函數(shù)解析式.

(2)配湊法：已知的解析式，要求/⑺的解析式時(shí)，從的解析

式中配湊出g(x),即用g(x)來表示，再將g(x)用X代替即可.

⑶換元法：已知/(虱切的解析式，要求〃工)的解析式時(shí)，可令，寸㈤，再

求出f(。的解析式，再將f用*代替即可.

二、函數(shù)的基本性質(zhì)

L單調(diào)性的定義

一般地，設(shè)函數(shù)〃工）的定義域?yàn)?：

Q）增函數(shù):如果對于定義域1內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值與,?,當(dāng)

石＜為時(shí)，都有/■）＜/&），那么就說函數(shù)〃工）在區(qū)間D上是增蟄，區(qū)間

D稱為/?（6的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）減函數(shù):如果對于定義域，內(nèi)某個(gè)區(qū)間Q上的任意兩個(gè)自變量的值三，士，當(dāng)

x1Vxi時(shí)，都有/（不）＞〃』），那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間D上是減區(qū)

間D稱為7?&）的單調(diào)遞減區(qū)間.

2.最大（?。┲档亩x

Q）最大值:一般地，設(shè)函數(shù)j=f（x）的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對

于任意的xel,都有了㈤4M,且存在《〃，使得fM=M.那么，我們稱M

是函數(shù)y=，（力的最大值.

（2）最小值:T姚，設(shè)函豺=f（x謝定義域?yàn)椋?如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對

于任意的xel,都有了㈤,且存在&T，使得/&）=M.那么,我們稱M

是函數(shù)y=/（x）的最小值.

3.判斷函數(shù)的單調(diào)性的幾個(gè)常用結(jié)論

⑴函數(shù)尸/㈤與函數(shù)尸-〃幻的單調(diào)性相反.

（2）函數(shù)＞=與函數(shù)y=f（x）+c的單調(diào)性相同.

⑶當(dāng)時(shí)，懶。="(工)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，函數(shù)

y=姓(制與函數(shù)7=〃彳)的單調(diào)性相反.

⑷若〃x”0,則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=、y=r(x)的單調(diào)性相同.

函數(shù)>=/卷和函數(shù)>=〃*)的單調(diào)性相反.

(5)若〃X)的值恒為正或恒負(fù)，

⑹在公共區(qū)間上，若/(耳、g(x)都是單調(diào)遞增(減)函數(shù)，則/㈤+g(x)也單調(diào)

遞增(減).

⑺在公共區(qū)間上，若〃x)>0,g(x)>0，且了任)、g(x)都是單調(diào)遞增(減)函

數(shù)，則/⑺+g㈤也單調(diào)地增(減)；若/㈤VO，g(*)vO，且〃工)、g(x)都

是單調(diào)遞增(減)函數(shù)，則/(x)+g㈤也單調(diào)遞減(增).

4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

如果函數(shù),=/(“)的定義域?yàn)?.函數(shù)“=8(工)的定義域?yàn)?。，值域?yàn)镃，且

時(shí)，稱函數(shù)/(g(x))為/與g在D上的復(fù)合函數(shù)，其中”叫中間變量，

“=g㈤叫做內(nèi)層函數(shù)，y=/(v)叫做外層函數(shù)。若內(nèi)外層函數(shù)同為增函數(shù)或者

減函數(shù)，則/(g(x))單調(diào)遞增；若這兩個(gè)函數(shù)一增一減，則/(g(x))為減函數(shù)，

簡稱為“同增異減".

5.奇偶性的定義

Q)偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x)

成立，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).

(2)奇函數(shù):一般地，如果對于函數(shù)/(工)的定義域內(nèi)任意Tx,者B有/(-幻=/(x)

成立，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).

6.判斷函數(shù)的奇偶性幾個(gè)常用結(jié)論

設(shè)/(彳)，g(x)的定義域分別是A,4,在他們的公共區(qū)域上，有下列結(jié)論:

函數(shù)奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)

f(x)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

g(x)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

，㈤+g㈤偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)

"，(x)+c偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)

/(g(x))偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

函數(shù)的應(yīng)用

☆知識體系：

一次函數(shù)與二次函數(shù)及其他?本函故方程對應(yīng)的根

函數(shù)與方程

函數(shù)與方程

用二分法求方程近似解

指數(shù)函故

函數(shù)的應(yīng)用

時(shí)數(shù)函數(shù)

比較幾種常見函數(shù)模型的圖簟

一次與二次的數(shù)

函數(shù)模型及其應(yīng)用

利用已知函做楷暨解決問題

建立實(shí)際問國的函數(shù)模型

o大綱解讀：

1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根

的存在性及根的個(gè)數(shù).

2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.

3.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及鬲函數(shù)的增長特征.知道直線上升、指數(shù)增長、對

數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.

4.了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等再社會生活中普

遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用.

?知識清單：

函數(shù)的應(yīng)用

一、函數(shù)與方程

1.函數(shù)零點(diǎn)的概念

對于函數(shù)y=/卜),我們把使〃切=0的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)＞=/(x)的零點(diǎn).

2.函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系

函數(shù)尸=/(%)的零點(diǎn)就是方程白四根，即函數(shù)＞=f(x)的圖象與X軸

交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3.二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系

判別式方程ax2+fof+c=0(。工0)函數(shù)/(x)=*+&c+c(a*0)

A>0兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)

A>0兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)

△>0無實(shí)根無零點(diǎn)

4.零點(diǎn)存在性定理

n也，如果函數(shù)y=/(“)在區(qū)間回可上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且

有/⑷?〃耳＜0，那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),即存在,使得

f(c)=O，這個(gè)c也就是/㈤=0方程的根.

5.二分法

一般地，對于圖象在區(qū)間［對可上連續(xù)不斷且/⑷./?VO的函數(shù)〃°），通過

不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零

點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

二、函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.三類函數(shù)增長差異的比較

在區(qū)間(0.+00)上,函數(shù)y=a*(a>l)，>=log.MaAl)和y=x"(a>l)都是增函

數(shù)他們增長的速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次"上.隨著x的增大，y=

的增長速度越來越快，會超過并且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于丁=^"(a>1)的增長速度，而

y=1唯工,>1)的增長速度則會越來越慢，總會存在一個(gè)/，當(dāng)時(shí)，有

BI

logax<x<a.

2.常見的幾類函數(shù)類型

(1)一次函數(shù)模型：>=狂+方化=0)也稱線性函數(shù)模型.

⑵二次函數(shù)模型：當(dāng)研究的問題呈現(xiàn)先增長后減少的特點(diǎn)時(shí)，可以選用二次函

數(shù)模型/(x)=a?+版+c(av0)；當(dāng)研究的問題呈現(xiàn)先減少后增長的特點(diǎn)時(shí)，可

以選用二次函數(shù)模型/(x)=a?+加+c(a>0).

(3)指數(shù)函數(shù)模型：j=mar+?(m#0,fl>0,Ha*l,x>0)

(4)對數(shù)函數(shù)模型：<y=Ml(^1z+n(ffl?e0,a>0,Ha#l,x>0)

⑸黑函數(shù)模型：y=axn+b(a^n^T)

(6)反比例函數(shù)模型：y=&+

x

3.應(yīng)用問題的解答步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)

知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

(4)還原：講數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際應(yīng)用問題的結(jié)論.

基本初等函數(shù)

☆知識體系：

整數(shù)指數(shù)M

指數(shù)有理數(shù)指數(shù)事

無理數(shù)指數(shù)幕

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

定義

指數(shù)函數(shù)-------

-----------圖象和性質(zhì)

定義

運(yùn)算性質(zhì)

對數(shù)

基本初等函數(shù)換底公式

一次與二次函數(shù)

對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

定義

對數(shù)函數(shù)r

圖象和性質(zhì)

定義

幕函數(shù)圖象和性質(zhì)

。大綱解讀：

1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景

2理解包1指數(shù)幕的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握黑的運(yùn)算

3.理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊

點(diǎn)

4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型

5.理解對數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或

常用對數(shù)，了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用

6.理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)

7.知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型

8.了解指數(shù)函數(shù)y=砂與對數(shù)函數(shù)y=log.#互為反函數(shù)(a>0,aw1)

9.了解幕函數(shù)的概念

10.結(jié)合函數(shù)的圖象，了解它們的變化情況.

X

@知識清單:

基本初等函數(shù)

一、指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

1.整數(shù)指數(shù)幕

寸

(1)正整數(shù)指數(shù)嘉定義：0=丁……赤wAT).

(2)正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則：

①―=產(chǎn)"②的=尸

③/+&，=尸(m”“0)④(岫Y=aW

⑤住)=即訓(xùn)

⑶規(guī)定V=履工0)，/=[(0=0,”AT).在正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則③中，

a

取消限定冽〉n,則正整數(shù)指數(shù)幕就推廣到了整數(shù)指數(shù)幕.

(4)在整數(shù)指數(shù)黑的條件下，運(yùn)算法則可簡化為三條：

①—二尸

②(3丫=尸廿

③卜y=L

2根式

(1)根式的概念

根式概念一覽表

掌握打V根式符號表示備注

一般地，如果/=&,那么X

□叫做a的"次方根，其中無無

?>1,SfleiV*.

當(dāng)界為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的界次方

□根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的界次方痂零的“次方根是零

根是一個(gè)負(fù)數(shù)

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的界次方

□±Va(a>0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根

根是有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)

(2)根式的性質(zhì)

①赤y=&(當(dāng)指有意義時(shí))

②當(dāng)牌球時(shí)，行=4；當(dāng)鯉是偶數(shù)時(shí)，仃=i止卜

1一。,0<0

3.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義

①規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是a'=行(a>0?皿”wN*且n>1).

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)鬲的意義相仿，

規(guī)定a*=^-(a>O?m,n€JV*,JJX>1).

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲沒有意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)鬲也同樣適用，即對于任意有理數(shù),

均有下列運(yùn)算性質(zhì)：

①小==尸1>0,3€0)

②(dJ=a"(a>O,r,jeg)

③勵(lì)丫=”(a>0,6>0,reg)

上述有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)可推廣到無理數(shù)指數(shù)幕的情況.

二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1.指數(shù)函數(shù)的概念

T趟,函數(shù)y=，(。.0且4=1"€火)叫函旨數(shù)函數(shù).

這里需要注意三點(diǎn)：

(1)函數(shù)的定義域?yàn)橐?，指?shù)的概念已經(jīng)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍，在a>0且awl的前提下，

x可以取任意實(shí)數(shù).

(2)規(guī)定J輟a大于零且不等于1,是因?yàn)槿鬭=0,當(dāng)x>0時(shí)，a”恒等于0,當(dāng)

x40時(shí)，a*無意義

⑶指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=d(a>0且"LxeR)中，靖前面的系數(shù)必須是1,

自鰥x必須田旨數(shù)e?±,否則不息函函數(shù)，如y=3a，(a>0?&awl),

y=「+l(a>0且awl)都不是指數(shù)函數(shù)，但是y=1x2詞可以化簡為y=2L它是

指數(shù)函數(shù).

2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

底數(shù)

圖象

值域?yàn)?/p>

函數(shù)圖象過定點(diǎn)（（M）

當(dāng)4>0時(shí)，t第；爭>0時(shí)，，（'第0<尸<1；

當(dāng)#<0時(shí)，t第0<y<1MxvO時(shí)，f第y>l

函數(shù)在定義域K上為增函數(shù)函數(shù)在定義域五上為減函數(shù)

三、糠與對數(shù)運(yùn)算

1.對數(shù)的概念與基本性質(zhì)

（1）對數(shù)的概念

①對數(shù):一般地，如果且。工1），那么數(shù)x叫做以0為底”的對數(shù)，記

作，其中1叫做對數(shù)的底數(shù)，”叫做真數(shù).

②常用對數(shù)：通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，log^N簡記為IgN.

③自然對數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.718方…為底的對數(shù)，以e為底

的對數(shù)稱為自然對數(shù)，為了簡便,簡記為Ju".

（2）對數(shù)的基本性質(zhì)

對數(shù)1密玳。>0,且aH1）有如下性質(zhì)：

①負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，即

②1的1擺提0,即k>gJ=O.

③底數(shù)的對數(shù)是1,即1唯。=1.

④對數(shù)恒等式：由d=N可得b=log.N，將中的力寫成lo跣N，那么

a^=N.

2.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果。>0,且，那么：

⑴log.(MV)=l喝"十1嗎》,即積的對數(shù)等于對數(shù)的和.

(2)1嗚—=1叫M-logN,即商的對數(shù)等于對數(shù)的差.

Ne

⑶log.M'=ER),即指數(shù)鬲的對數(shù)等于底數(shù)的對數(shù)的指數(shù)倍.

3.換底公式及其變形公式

對數(shù)換底公式為：，用=詈"。,姍大于。且不等于1聲＞0),它的推論有:

(l)logalog,a=1

⑵地/=*

⑶內(nèi)廿

四、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1.對數(shù)函數(shù)的概念

一般地,函數(shù)y=l嗎斗＞0,且"I）叫做對數(shù)函數(shù)，其中”是自變量，對數(shù)函數(shù)

y=log。x的定義域是（0,+OQ）.

特別地，以10為底的對數(shù)函數(shù)y=lgx叫做常用對數(shù)函數(shù),以e為底的對數(shù)函數(shù)

y=lux叫做自然對數(shù)函數(shù).

這里需要注意三點(diǎn)：

⑴形如y=log.x（a＞0,且aw1），對數(shù)函數(shù)對數(shù)符號前系數(shù)為1.

如y=2108a虱。＞0,且^*1）不是對數(shù)函數(shù).

（2）真數(shù)為”，而不是x的函數(shù).

如log.（MM）=l08aM+logaN不是對數(shù)函數(shù).

（3）定義域?yàn)?。切?由指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系可知，對數(shù)函數(shù)的自變量x恰是指

數(shù)函數(shù)的函數(shù)值丁，所以對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

定義y=log。x{a>0?且a*1)

底數(shù)a>\0<a<l

j：

y=log“x

___________：--I—_X

O"(1.0)

_X

o。,。廣

y=log,,x

圖象

定義域（。水》）

值域?yàn)镵

圖象過（L0）

隨

當(dāng)a>l時(shí)，>>0;當(dāng)a>l時(shí)，？<0;

當(dāng)0cx<1時(shí)，j?<0當(dāng)0<a<l時(shí)，>?>0

是（0,+<。）上的增函數(shù)是8+co）上的減函數(shù)

五、幕函數(shù)

1.黑函數(shù)的概念

T殳地，函數(shù)y=J叫做幕函數(shù)，其中“是自變量，a是常數(shù).

這里需要注意三點(diǎn)：

(1)鬲函數(shù)的系數(shù)必須為1.

(2)幕函數(shù)的底數(shù)是自變量工.

(3)鬲函數(shù)的指數(shù)為常數(shù).

2.鬲函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(1)鬲函數(shù)的圖象：在統(tǒng)一坐標(biāo)系中作出黑函數(shù)y=====

的圖象.

2幕函數(shù)圖象的畫法與其他函數(shù)圖象的畫法相同，步驟是：列表，描點(diǎn)，連線.

②幕函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相比，圖象的位置和形狀變化復(fù)雜，指數(shù)發(fā)生微小

的變化，圖象的位置和形狀可能發(fā)生很大的變化.

③一般研究鬲函數(shù)時(shí)，會對鬲函數(shù)的指數(shù)分類討論，一般會分為

a.a=0,止匕時(shí)y=/(#工0)即為y=l.

b.a>0,此時(shí)還需要細(xì)分為Ocavl,a=1,a>1三種情況.

c.a<0,止匕時(shí)還需要細(xì)分為一lea<0,a=-l,a<-l三種情況.

注意：一般先研究第一象限內(nèi)的圖象，再根據(jù)函數(shù)的特征研究整個(gè)定義域內(nèi)的圖

象.

(2)黑函數(shù)的性質(zhì)

￡一1

函數(shù)y=x尸,尸，y=x2y-x

(-oo,0)U(0,+oo)

定義域RRR[0,-K?)

(-co,0)U(0,+oo)

值域R[0,4<n)R[0,-K?)

非奇非偶

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

函數(shù)

在電他)上

在R上在［0,+a>)在(o,xa)和

為增函數(shù)；在R上為

單調(diào)性為增函上為增函(-8,0)上為減

在(-8,0)上增函數(shù)

數(shù)為減函數(shù)數(shù)函數(shù)

定點(diǎn)(0.0),(1,1)(U)

圖象形狀直線拋物線拐線拋物線雙曲線

3.鬲函數(shù)的定義域

里

對于一般的為互質(zhì)的整數(shù)）定義域，我們將它改寫成為根式，再根據(jù)

根式來求他的定義域.

可以歸納出如下結(jié)論：

⑴當(dāng)y=*，。應(yīng)為互質(zhì)的正薨數(shù)）時(shí)，定義域情況如下:

P、4取值定義域

p偶夕奇R

P偈g奇R

P偶夕奇2T

⑵當(dāng)尸=/g9為互質(zhì)的差數(shù)，且其中一個(gè)為負(fù)矍數(shù)）時(shí)，Q）中定義域均要去掉

零.

平面向量

☆知識體系:

向■的富念

西個(gè)向■的夾角

等向■

單位向■

向■的基本概念相身向■

平行向■

相反向■

平面向量

◎大綱解讀：

L理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義

2.掌握向量加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義

3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義，了解向量線性

運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義

4.了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，

會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算

5.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影

的關(guān)系，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

@知識清單:

平面向量

向量隹厘本概念

1.向量的概念

既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示.

2.零向量

長度為。的向量叫零向量，記作：0

規(guī)定：零向量的方向是任意的.

3.單位向量

長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量（與萬共線的單位向量是士南）

4.相等向量

長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性

5.平行向量（也叫共線向量）

方向相同或相反的非零向量;、Z叫做平行向量，記作：a//b

規(guī)定：零向量和任意向量平行.

注：

①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;

②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向

量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；

③平行向量無傳遞性！(因?yàn)橛蠫)；

④三點(diǎn)4B、C共線o石、衣共線.

6.相反向量

長度相等方向相反的向量叫做相反向量.；的相反向量記作

二、平面向量的基本定理

定理設(shè)百，當(dāng)同一平面內(nèi)的一組基底向量，3是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一

3寸(4,4)，使苕=4至+九

(1)定理核心：苕=兒耳+兒&;

(2)從左向右看，是對向量方的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對向量行的合成；

(3)向量的正交分解：當(dāng)國當(dāng)時(shí),就說,=4耳+%身為對向量區(qū)的正交分解.

(4)向量的坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)

單位向量FJ為基底，則平面內(nèi)的任一向量d可表示為3=好+方=(彳,力，稱

(項(xiàng)同為向量加勺坐標(biāo)，不=卜田叫做向量為的坐標(biāo)表示.

結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.

三向量的

實(shí)數(shù)九與向量方的積是f向量，記作,它的長度和方向規(guī)定如下：

⑴模:川?|3|;

(2)方向：當(dāng)人>0時(shí)，入，的方向與了的方向相同，當(dāng)A>0時(shí)，入五的方向與五的

月圓阪,當(dāng)a=0時(shí)，加=6,

/SM:4d=0.

四、平面向量的數(shù)量積

L兩個(gè)向量的夾角：對于非零向量3,b，作應(yīng)=4,OB=b,則把

4QB=e(O5稱為向量］,5的夾角.

當(dāng)8=0時(shí)，a,，同向；當(dāng)8=”時(shí),a,，反向；當(dāng)0=當(dāng)時(shí)，a,W垂直.

2

2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量d,b,它們的夾角為8,我們把數(shù)量

IRlOcoQ叫做了與，的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：ab,即

也刊向co?

規(guī)定：零向量與彳「向量的數(shù)量積是0.

注：數(shù)量積是T實(shí)數(shù),不再是T向量.

3.向量另在向量不上的投影：歷|co”，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0.

44名的幾何意義：數(shù)量積五名等于了的模|3|與，在M上的投影的積.

5.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量d,b，疑角為6,貝U：

(1)51b=0;

(2)當(dāng)3、另同向時(shí)，不5=|町，特別地，A'。啊稈"I和標(biāo)；

不5