高中數(shù)學(xué)解題捷徑

高中數(shù)學(xué)解題捷徑

1.適用條件

［直線過焦點(diǎn)］,必有ecosA=(x-l)/(x+l),其中A為直線與焦點(diǎn)所在軸夾

角，是銳角。x為分離比，必須大于1。

注：上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點(diǎn)內(nèi)分(指的是焦點(diǎn)在所截線段

上)，用該公式；如果外分(焦點(diǎn)在所截線段延長線上)，右邊為(x+l)/(x-

1),其他不變。

2.函數(shù)的周期性問題(記憶三個(gè))

(1)若f(x)=-f(x+k),則T=2k;

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0),則T=2k;

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),則T=6k。

注意點(diǎn)：a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在最小周期，如：

常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派

x相加不是周期函數(shù)。

3.關(guān)于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下

(1)若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a+b)/2

(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱；

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)圖像關(guān)于(a,b)中心對稱

4.函數(shù)奇偶性

(1)對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;

(2)對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項(xiàng)，偶函數(shù)沒有奇次方項(xiàng)

(3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空

5.數(shù)列爆強(qiáng)定律

(1)等差數(shù)列中：5奇=皿中，例如S13=13a7(13和7為下角標(biāo));

(2)等差數(shù)列中:S(n)、S(2n)-S(n)>S(3n)-S(2n)成等差

(3)等比數(shù)列中，上述2中各項(xiàng)在公比不為負(fù)一時(shí)成等比，在q=T時(shí),

未必成立

(4)等比數(shù)列爆強(qiáng)公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q

6.數(shù)列的終極利器，特征根方程

首先介紹公式：對于an+l=pan+q(n+l為下角標(biāo)，n為下角標(biāo))，

al已知，那么特征根x=q/(l-p),則數(shù)列通項(xiàng)公式為an=(al-x)p2(nT)+x,

這是一階特征根方程的運(yùn)用。

二階有點(diǎn)麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當(dāng)然

這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造(兩邊同時(shí)加數(shù))

7.函數(shù)詳解補(bǔ)充

1、復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外

2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減

3、重點(diǎn)知識(shí)關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實(shí)是中

心對稱圖形。

它有一個(gè)對稱中心，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0,根x即為中心橫坐標(biāo)，縱

坐標(biāo)可以用X帶入原函數(shù)界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與

兩旁相切。

8.常用數(shù)列bn=nX(22n)求和Sn=(n-1)X(22(n+l))+2記憶方法

前面減去一個(gè)1,后面加一個(gè)，再整體加一個(gè)2

9.適用于標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸)爆強(qiáng)公式

卜橢=-{82)*0}/{(a2)yo)女雙={82)乂。}/{(a2)yo}k拋=p/yo

注：(xo,y。)均為直線過圓錐曲線所截段的中點(diǎn)。

10.強(qiáng)烈推薦一個(gè)兩直線垂直或平行的必殺技

已知直線LI：alx+bly+cl=0直線L2：a2x+b2y+c2=0

若它們垂直：(充要條件)ala2+blb2=0;

若它們平行：(充要條件)alb2=a2bl且alc2Ha2cl

(這個(gè)條件為了防止兩直線重合)

注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!

11.經(jīng)典中的經(jīng)典

相信鄰項(xiàng)相消大家都知道。

下面看隔項(xiàng)相消：

對于Sn=l/(1X3)+1/(2X4)+1/(3X5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-

l/(n+l)-l/(n+2)]

注：隔項(xiàng)相加保留四項(xiàng)，即首兩項(xiàng)，尾兩項(xiàng)。自己把式子寫在草稿紙上，

那樣看起來會(huì)很清爽以及整潔！

12.爆強(qiáng)△面積公式

S=l/2|mq-np|其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)

注：這個(gè)公式可以解決已知三角形三點(diǎn)坐標(biāo)求面積的問題

13.你知道嗎？空間立體幾何中：以下命題均錯(cuò)

(1)空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面

(2)垂直同一直線的兩直線平行

(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

(4)如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面

(5)有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

(6)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐

注：對初中生不適用。

14.一個(gè)小知識(shí)點(diǎn)

所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15.求f(x)=|x-1|+Ix-2|+|x-3|+,??+|x-n|(n為正整數(shù))的最

小值

答案為：當(dāng)n為奇數(shù)，最小值為(1?-1)/4,在x=(n+l)/2時(shí)取到；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，最小值為d/4,在x=n/2或n/2+l時(shí)取到。

16.V((a2+b2))/22(a+b)/22Jab22ab/(a+b)(a、b為正數(shù)，是

統(tǒng)一定義域)

17.橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式

S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)

說明：適用于焦點(diǎn)在x軸，且標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

18.爆強(qiáng)定理

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b}/［向量a的模X

向量b的模］

(1)A為線線夾角

(2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)

(3)A為面面夾角注：以上角范圍均為［0,派/2］。

19.爆強(qiáng)公式

12+22+32+,,,+n2=l/6(n)(n+1)(2n+l);123+223+323++n23=1/4(n

2)(n+1)2

20.爆強(qiáng)切線方程記憶方法

寫成對稱形式，換一個(gè)x,換一個(gè)y

舉例說明：對于y2=2px可以寫成yXy=px+px

再把(xo,yo)帶入其中一個(gè)得：yXyo=pxo+px

21.爆強(qiáng)定理

(a+b+c)2n的展開式［合并之后］的項(xiàng)數(shù)為：Cn+22,n+2在下，2在上

22.轉(zhuǎn)化思想

切線長1=J(cP-Dd表示圓外一點(diǎn)到圓心得距離，r為圓半徑，而d最

小為圓心到直線的距離。

23.對于y2=2px

過焦點(diǎn)的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和最小為8p。

爆強(qiáng)定理的證明：對于y2=2px,設(shè)過焦點(diǎn)的弦傾斜角為A

那么弦長可表示為2p/1(sinA)2),所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)

2]

所以求和再據(jù)三角知識(shí)可知。

(題目的意思就是弦AB過焦點(diǎn)，CD過焦點(diǎn)，且AB垂直于CD)

24.關(guān)于一個(gè)重要絕對值不等式的介紹爆強(qiáng)

I|a|-|b||W|a土b|W|a|+|b|

25.關(guān)于解決證明含In的不等式的一種思路

舉例說明：證明l+l/2+l/3+-+l/n>ln(n+l)

把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn。

解：令an=l/n,令Sn=ln(n+1),則bn=ln(n+1)Tnn,

那么只需證an>bn即可，根據(jù)定積分知識(shí)畫出y=l/x的圖。

an=l義l/n=矩形面積〉曲線下面積=bn。當(dāng)然前面要證明l>ln2o

注：僅供有能力的童鞋參考??！另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊、

右邊看成是數(shù)列求和，證面積大小即可。說明：前提是含In。

26.爆強(qiáng)簡潔公式

向量a在向量b上的射影是：(向量aX向量b的數(shù)量積〕/［向量b的

模］。

記憶方法：在哪投影除以哪個(gè)的模

27.說明一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

若f(x+a)［a任意］為奇函數(shù)，那么得到的結(jié)論是f(x+a)=-f(-x+a)(等式

右邊不是-f(-x-a))

同理如果f(x+a)為偶函數(shù)，可得f(x+a)=f(-x+a)牢記

28.離心率爆強(qiáng)公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P為橢圓上一點(diǎn)，其中A為角F1PF2,兩腰角為M,N

29.橢圓的參數(shù)方程也是一個(gè)很好的東西，它可以解決一些最值問題。

比如x2/4+y2=l求z=x+y的最值。

解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍！

30.僅供有能力的童鞋參考的爆強(qiáng)公式

和差化積

sin9+sin4)=2sin[(9+6)/2]cos[(9-6)/2]sin9-sin6=2cos[(9+

6)/2]sin[(9-(1))/2]cos9+cos6=2cos[(0+@)/2]cos[(0-

(1))/2]cos9-cos6=-2sin[(0+6)/2]sin[(0-(1))/2]

積化和差

sinasinB=[cos(a-B)-cos(a+B)]/2cosacosB=[cos(a+

B)+cos(a-^)]/2sinacosB=[sin(a+B)+sin(a-B)]/2cosasin

6=[sin(a+B)-sin(a-)]/2

31.爆強(qiáng)定理

直觀圖的面積是原圖的J2/4倍。

32.三角形垂心爆強(qiáng)定理

⑴向量0口=向量0A+向量0B+向量0C（0為三角形外心，H為垂心）

（2）若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=l/x的圖象上，則它的垂心也在這個(gè)

函數(shù)圖象上。

33.維維安尼定理（不是很重要（僅供娛樂））

正三角形內(nèi)（或邊界上）任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，這定值等于該

三角形的高。

34.爆強(qiáng)思路

如果出現(xiàn)兩根之積xlx2=m,兩根之和xl+x2=n

我們應(yīng)當(dāng)形成一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)

再利用△大于等于0,可以得到m、n范圍。

35.常用結(jié)論

過(2p,0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點(diǎn)。

。為原點(diǎn)，連接AO.BO。必有角A0B=90度

36.爆強(qiáng)公式

ln(x+l)Wx(x>7)該式能有效解決不等式的證明問題。

舉例說明：ln(l/(22)+l)+ln(l/(32)+l)+-+ln(l/(n2)+l)<l(n^2)

證明如下：令x=l/(n2),根據(jù)ln(x+l)Wx有左右累和右邊

再放縮得：左和〈IT/nG證畢！

37.函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù)

在(0,派)上它單調(diào)遞減，(-派，0)上單調(diào)遞增。

利用上述性質(zhì)可以比較大小。

38.函數(shù)

y=(lnx)/x在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+無窮)上單調(diào)遞減。

另外y=x2(1/x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致。

39.幾個(gè)數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)

(l)f'(x)<0是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件

(2)研究函數(shù)奇偶性時(shí)，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是

否關(guān)于原點(diǎn)對稱

(3)不等式的運(yùn)用過程中，千萬要考慮〃=〃號(hào)是否取到

(4)研究數(shù)列問題不考慮分項(xiàng)，就是說有時(shí)第一項(xiàng)并不符合通項(xiàng)公式，所

以應(yīng)當(dāng)極度注意：數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項(xiàng)！

40.提高計(jì)算能力五步曲

(1)扔掉計(jì)算器

(2)仔細(xì)審題(提倡看題慢，解題快)，要知道沒有看清楚題目，你算多少

都沒用

(3)熟記常用數(shù)據(jù)，掌握一些速算技

(4)加強(qiáng)心算、估算能力

(5)檢驗(yàn)

41.一個(gè)美妙的公式

已知三角形中AB=a,AC=b,。為三角形的外心，

則向量AOX向量BC(即數(shù)量積)=(1/2)lb?-a2]

證明：過0作BC垂線，轉(zhuǎn)化到已知邊上

42.函數(shù)

①函數(shù)單調(diào)性的含義：大多數(shù)同學(xué)都知道若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)，則函

數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)，但有些意思可能有些人還

不是很清楚，若函數(shù)在D上單調(diào)，則函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當(dāng)別論)這

也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)樗膱D像被無

窮多條漸近線擋住，換而言之，不連續(xù).還有，如果函數(shù)在D上單調(diào)，則

函數(shù)在D上y與x一—對應(yīng).這個(gè)可以用來解一些方程.至于例子不舉了

②函數(shù)周期性：這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程式所要表達(dá)的周期設(shè)f(x)為

R上的函數(shù)，對任意x￡R

(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對值,下同)

(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

(4)設(shè)TWO,有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)Wx則

函數(shù)的周期為2

43.奇偶函數(shù)概念的推廣

(1)對于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a,使得f(a-x)=f(a+x),則稱f(x)為廣

義(I)型偶函數(shù)，且當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)a,b滿足時(shí)，f(x)為周期函數(shù)

T=2(b-a)

(2)若f(a-x)=-f(a+x),則f(x)是廣義(I)型奇函數(shù),當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)

數(shù)a,b滿足時(shí)，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)

(3)有兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時(shí)，就稱f(x)是廣義(II)

型的奇，偶函數(shù).且若f(x)是廣義(II)型偶函數(shù)，那么當(dāng)f在[a+b/2,8)

上為增函數(shù)時(shí)，有f(xl)<f(x2)等價(jià)于絕對值xl-(a+bp=〃〃<=〃〃2)<絕

對值x2-(a+b)="">

44.函數(shù)對稱性

(1)若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數(shù)關(guān)于(a+b/2,c/2)成中心對稱

(2)若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2成軸對稱

柯西函數(shù)方程：若f(x)連續(xù)或單調(diào)

(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=logax

⑵若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出)

(3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x

(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-

y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y),則f(x)=kx

45.與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何最基本的圖形就是

三角形

①正切定理(我自己取的，因?yàn)椴恢烂?：在非Rt△中，有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

②任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：

45EAABC中，a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA

③任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積)，外接圓半徑應(yīng)該都知

道了吧

④梅涅勞斯定理：設(shè)A1,B1,Cl分別是AABC三邊BC,CA,AB所在直線

的上的點(diǎn)，則A1,B1,C1共線的充要條件是CB1/B1A-BA1/A1C-AC1/C1B=1

44.易錯(cuò)點(diǎn)

(1)函數(shù)的各類性質(zhì)綜合運(yùn)用不靈活，比如奇偶性與單調(diào)性常用來配合解

決抽象函數(shù)不等式問題；

(2)三角函數(shù)恒等變換不清楚，誘導(dǎo)公式不迅捷。

45.易錯(cuò)點(diǎn)

(3)忽略三角函數(shù)