高考數學解題-高分策略-難點突破與培優(yōu)提高

高考數學復習“應試筆記”

高考數學解題?高分策略

——難點突破與培優(yōu)提高

第9及臺部今

一、填空題

答卷提醒：重視填空題的解法與得分，盡可能減少失誤，這是取得好成績的基石!

A、1~4題，基礎送分題，做到不失一題！

咕卜叼解題常用經典再現(xiàn)

A1.集合性質與運算

1、性質：

①任何一個集合是它本身的子集，記為A=A：

②空集是任何集合的子集，記為“1A；一

③空集是任何非空集合的真子集；(AaB]

如果4u8,同時814,那么A=B.J

如果AU8,BjC,那么A=C.UV.一,

【注意】：

①Z=｛整數｝N)Z=｛全體整數｝(x)

②已知集合S中4的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(x)

③空集的補集是全集.

④若集合4=集合B,則g4=0,CW=0G(C?=。(注：58=0).

2、若/=｛a”/，…%｝，則/的子集有2"個，真子集有2"—1個,非空真子集有2"-2

個.

3、An(BUC)=(4nB)U(AnC),4U(8nC)=(AUB)n(4UC);

(AcB)cC=Ac(8cC),(AUB)UC=AU(8UC)

4、D0乂0年@11公式:](408)=641]68；Cu(A\jB)=CvAnCi,B.

【提醒】：數軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具.

在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型

或正面較復雜的有關問題。

A2.命題的否定與否命題

*1.命題pnq的否定與它的否命題的區(qū)別：

命題pnq的否定是p=rq，否命題是-ipn—>q.

命題“p或q”的否定是Jp且「4p且"’的否定是“「p或F

*2.?？寄Ｊ剑?/p>

全稱命題p：VxeM,p(x);全稱命題p的否定-1p：小wM「p(x).

特稱命題p：3xeM,p(x);特稱命題p的否定—ip：VxeM,—1p(x).

A3.復數運算

mnm+nmm

*1.運算律:(Dz-z=z；⑵(z"')"=z"J&(zl-z2y=zlz2(m,neN).

【提示】注意復數、向量、導數、三角等運算率的適用范圍.

*2.模的性質：

，

⑴以&|=|%|匕|；（2）|A|=1A1.（3）|Z'|=|Z|\

4IZ2I

*3.重要結論:

⑴|&々2|2+k+72|2=2（以『+匕|2）；

2

(2)Z1-z2=|z|=|z|；(3)(1±z)'=±2i；(4)-~~=~i,=?;

4n+i4n+2

⑸i性質：T=4;i=i,i=-l,產"3=T,嚴，=1.

]J3

【拓展】：ft/=1=((o-1)(e-+0+1)=0<=><o=1或=—±---i.

A4.幕函數的的性質及圖像變化規(guī)律：

(1)所有的幕函數在(0,+8)都有定義，并且圖像都過點

(1,1)；

(2)a>0時，基函數的圖像通過原點，并且在區(qū)間

[0,+8)上是增函數.特別地，當”>1時，幕函數

的圖像下凸；當0<。<1時，基函數的圖像上凸；

(3)“<0時，募函數的圖像在區(qū)間(0,+8)上一是減函

數.在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖像

在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+8

時，圖像在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

【說明】：對于事函數我們只要求掌握.=1,2,3,；,：的這5類，它們的圖像都經過一個定

點(0,0)和(0,1),并且x=-1時圖像都經過(1,1),把握好事函數在第一象限內的圖像就可以了.

A5.統(tǒng)計

1.抽樣方法：

(1)簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機樣數表法)常常用于總體個數較少時，它的主要特征是

從總體中逐個抽取.

(2)分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異.共同點：每個

n

個體被抽到的概率都相等(一).

N

2.總體分布的估計就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.

總體估計掌握：一“表”(頻率分布表)；兩“圖”(頻率分布直方圖和莖葉圖).

⑴頻率分布直方圖

用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。頻率分布直方

圖就是以圖形面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小.

頻數

①頻率=

樣本容量

②小長方形面積=組距、簪=頻率.

組距

③所有小長方形面積的和=各組頻率和=1.

【提醒】：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸

一般是數據的大小，小矩形的面積表示頻率.

⑵莖葉圖

當數據是兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊

的數字表示個位數，即第二個有效數字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上

長出來的葉子，這種表示數據的圖叫做莖葉圖。

3.用樣本的算術平均數作為對總體期望值的估計；

樣本平均數：^=-(^+%2+---+^,)=-￥%;

nn/=i

4.用樣本方差的大小估計總體數據波動性的好差(方差大波動差).

⑴一組數據陽,》2，》3,…，尤.

①樣本方差

52=-[(%,-X)2+(X-X)2+--+(X?-X)2]

n2

=—一(七一元A=—(一；

Tl；=iYl；=iTlj=i

②樣本標準差

2222

6=店=J1[(X1-X)+(X2-X)+-+(X?-X)]=-E(X,-X)

(2)兩組數據型,4,43,…，%與%,當,為，“?，兀淇中3=叼+6/=1，2,3,...,〃.則

了=4亍+氏它們的方差為S，標準差為%=|aI

③若士,々,％的平均數為x，方差為st則a.+仇仁+仇…,ax.+b的平均

數為ax+b,方差為42s2.

樣本數據做如此變換：x；=g+A,則『=后+"(S')2=a2S2.

A6.回歸直線方程

__

^(x,.-x)(y(.-y)Zx/—〃xy

仆b=--------------------=--------------

222

y=a+bx,其中彳y/7\Yr-nx

2-,\xi~x)2-ixi~nx

i=li=l

a=y-bx

人]〃1〃

A7.線性回歸方程y=a+bx必過定點(元y)，其中J=,9=—￡尤.

〃/=]〃/=!

^軟15?乞中移敢，易丟個，防漏/多解，

B1.線性規(guī)劃

1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域：

(1)當A〉0時，若4x+8)，+C>0表示直線/的右邊，若Ax+By+C<0則表示

直線/的左邊.

(2)當8>0時，若Ax+8y+C>0表示直線/的上方，若4x+By+C<0則表示

直線/的下方.

2、設曲線C:(4x+81y+G)(4x+62y+G)=0(A45I52*0)-貝U

(Ax+gy+G)(&x+斗》+。2)>0或<0所表示的平面區(qū)域：

兩直線4儼+用>+￡=0和Ax+與y+G=。所成的對頂角區(qū)域(上下或

左右兩部分).

3、點1(%,%)與曲線〃x,>)的位置關系：

若曲線〃x,y)為封閉曲線(圓、橢圓、曲線|x+a|+|y+"=m等)，貝U

〃%,%)>0,稱點在曲線外部；

若〃x,y)為開放曲線(拋物線、雙曲線等)，則/(%,%)〉0,稱點亦在曲線

“外部”.

4、已知直線/:4x+By+C=0,目標函數z=4v+By.

①當B>0時，將宜線/向上平移，則z的值越來越大；直線/向下平移，則z的

值越來越?。?/p>

②當8<0時，將直線/向上平移，貝人的值越來越?。恢本€/向下平移，則z的

值越來越大；

5、明確線性規(guī)劃中的幾個目標函數(方程)的幾何意義：

(1)z=ax+by,若b>0,直線在y軸上的截距越大，z越大，若方<0,直線在

y軸上的截距越大，z越小.

(2)匕竺表示過兩點(x,》),(〃,〃?)的直線的斜率，特別上表示過原點和(〃,〃?)的

x-nx

直線的斜率.

(3)「=(》-機?+(y-nY表示圓心固定，半徑變化的動圓，也可以認為是二元方

程的覆蓋問題.

(4)y=yl(x-m')2+(y-n)表示(x,y)到點(0,0)的距離.

(5)F(cos0,sm0)；

jAx+By+C|

(6)00

一五+M；

(7)a2±+b2：

【點撥】：通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓x2+f=l上的點

(cos仇sin。)及余弦定理進行轉化達到解題H的。

B2.三角變換：

三角函數式的恒等變形或用三角式來代換代數式稱為三角變換.

三角恒等變形是以同角三角公式，誘導公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和

積化和差公式，萬能公式為基礎.

三角代換是以三角函數的值域為根據，進行恰如其分的代換，使代數式轉化為三角

式，然后再使用上述諸公式進行恒等變形，使問題得以解決.

三角變換是指角("配"與''湊")、函數名(切割化弦)、次數(降與升)、系數(常值“1”)和

運算結構(和與積)的變換，其核心是“角的變換

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的

變換、兩角與其和差角的變換.

變換化簡技巧：角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設元轉

化，引入輔角，平方消元等.

具體地：

(I)角的“配”與“湊”:掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后,還應注意一些配湊變

形技巧，如下：

2a=a+a,a=2x—；

2

八八z,a+Ba-BB+aB-a

a={a+p]-p={a-p)+p=---+―--=------------；

2a=2[(a+/?)-￡]=2[(a-0+￡]=(a+￡)+(a-0=(￡+a)—(Q-a)；

2a+夕=(a+夕)+a,2a-p={a-+a；

15°=45°-30°,75°=45°+30°；

(2)“降暴”與“升暴”(次的變化)

利用二倍角公式cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a和二倍角

公式的等價變形sin2a=j產,cos2a=1+s^2a,可以進行“升”與“降”的

變換，即“二次”與“一次”的互化.

(3)切割化弦(名的變化)

利用同角三角函數的基本關系，將不同名的三角函數化成同名的三角函數，以

便于解題.經常用的手段是“切化弦'’和“弦化切

(4)常值變換

常值坐，亭，坐』，石可作特殊角的三角函數值來代換.此外，對常值

“1”可作如下代換：

1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=2sin30°=tan-^=sin4=cos0=???

42

等.

(5)引入輔助角

一般的，

asina+。cosa=a2+b2(/@sina+/:cosa)=sin(a+9),期中

\Ja2+b2y/a2+h2

a.hb

cos^=-r==,sin^=-r==,tan^=-.

da+b~yja~+b~a

特別的，sinA+cosA=V2sin(A+—);

4

sinx+百cosx=2sin(x+y),

V3sinx+cosx=2sin(x+—)等.

(6)特殊結構的構造

構造對偶式，可以回避復雜三角代換，化繁為簡.

舉例：A=sin220°+cos2500+sin20°cos50°,

B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°

可以通過A+8=2+sin70°,A-B=---sm70°兩式和，作進一步化簡.

2

(7)整體代換

舉例：sinx+cosx=〃？=>2sinxcosx=m'-1

sin(a+/3)=m,sin((z-/?)=〃，可求出sinacos/?,cosasin/7整體值,

作為代換之用.

B3.三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點.

(1)角的變換

因為在A4BC中，A+B+C=7T(三內角和定理)，所以

任意兩角和：與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.

銳角三角形：①三內角都是銳角；②三內角的余弦值為正值；

③任兩角和都是鈍角；④任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

即,sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C).

.AB+CA.B+CAB+C

sin=cos------；cos—=sin-------；tan=cot-------.

222222

(2)三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理.

面積公式：S=gs4,=gabsinC=r.p=p(p-a)(p-a)(p-a).

其中r為三角形內切圓半徑，p為周長之半.

(3)對任意MBC，tan—tan—+tan—tan—+tan—tan—=1；

222222

在非直角A4BC中，tanA+tan8+tanC=tanAtanBtanC.

(4)在AA8C中，熟記并會證明：

成等差數列的充分必要條件是N6=60°.

*2.AABC是正三角形的充分必要條件是ZA,ZB,ZC成等差數列且a/,c,成等比

數列.

*3.三邊。，仇c成等差數列

AC]冗

U>2b=〃+c=2sinA=sinB+sinC<=>tan—tan一=—；BW—.

2233

*4.三邊成等比數列<=>/=sin2A=sinBsinC,By.

(5)銳角AABC中，A+=sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA,

2

a~2+b.~2>c)"；

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC；

tanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC.

【思考】：鈍角A46C中的類比結論

⑹兩內角與其正弦值：在MBC中

a>b<^>A>B<=>sinA>sinB=cos2B>cos24,...

(7)若A+8+C=〃,則222yzeosA+2xzcosB+2AycosC.

(8)A>B<=>a>b<^>sinA>sinB<=>cos2B>cos2A.

B4.三角恒等與不等式

組一

sin3a=3sina-4sin'a,cos3a=4cos'a-3cosa

sin2a-sin21=sin(a+/?)sin(a-1)=cos2/7-cos2a

?八3tan0-tan30八n八、n八、

tan30=------------；-----=tan0tan(-----0)tan(—十，)

1-3tan~033

組二

tan(+,+，)_tana+tan夕+tan/—tanatan13tany

1-tantan夕一tan，tan/-tan/tana

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

一?n?「/ABC

sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—

222

4ncI.A.B.C

cosA+cosB-i-cosC=1+4Asin—sin—sin一

222

sin2A+sin2B+sin2C=2-1-2cosAcosBcosC

組三常見三角不等式

JI

(1)若XE(0,5),則sinx<x<tanx；

(2)若xw(0,,貝ij1<sinx+cosxWy/2；

(3)|sinx|+1cosx|>1；

(4)f(x)=—在(0,萬)上是減函數；

X

B5.概率的計算公式：

…卜皿m八4包含的基本事件的個數

⑴古典概型：P⑷二———一；

基本事件的總數

①等可能事件的概率計算公式：p(A)=%=空乜⑷；

ncard(I)

②互斥事件的概率計算公式：P(A+8)=尸(A)+P(B)：

③對立事件的概率計算公式是：P(7)=1-P(A);

④獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式是：尸(A/)=尸(4)中(8)；

⑤獨立事件重復試驗的概率計算公式是：

p,(k)=C：Pk(\-py-k(是二項展開式KI-p)+p『的第也+1)項).

⑵幾何概型：若記事件人=｛任取一個樣本點，它落在區(qū)域gu。｝,則A的概率定義

g的測度構成事件4的區(qū)域長度(面積或體積等)

為P(A)=

Q的測度一試驗的全部結果構成的區(qū)域長度(面積或體積等)

注意：探求一個事件發(fā)生的概率，常應用等價轉化思想和分解(分類或分步)轉化思想處

理：把所求的事件轉化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉化為若干個互斥

事件中有…個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看

作某?事件在"次實驗中恰有&次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.事件互斥是事件

獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件.

【說明】：條件概率：稱尸(8|4)=也出為在事件4發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率。

P(A)

注意：00<P(B|A)<1；②P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)。

B6.排列、組合

（1）解決有限制條件的（有序排列，無序組合）問題方法是：

'位置分析法

g古仔壯用加法原理（分類）元素分析法

①且故法：<.

用乘法原理（分步）插入法（不相鄰問題）

.捆綁法（相鄰問題）

②間接法：即排除不符合要求的情形

③一般先從特殊元素和特殊位置入手.

（2）解排列組合問題的方法有：

①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法

元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；

位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。

②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉））。

③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普

通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。

④不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置忖可采用插

空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元

素之間）。

⑤多排問題單排法。

⑥多元問題分類法。

⑦有序問題組合法。

⑧選取問題先選后排法。

⑨至多至少問題間接法。

⑩相同元素分組可采用隔板法。

?涂色問題先分步考慮至某一步時再分類.

（3）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成”組問題別忘除以〃!.

B7.最值定理

①〉0,由x+若積盯=P（定值），則當x=y時和x+y有最小值；

②>0,由x+y》2/政，若和x+y=S（定值），則當x=y是積孫有最大值

4

【推廣】：已知則有（x+y）2=（x-y）2+2xy.

（1）若積盯是定值，則當|x-y|最大時，|x+y|最大；當|x-y|最小時，|x+y|

最小.

（2）若和|x+y|是定值,則當|x-y|最大時，|xy|最?。划攟無一》|最小時，|xy\

最大.

③已知也若ox+by=l,則有:

1111byax./一廠

—+—=（ax+by）（—+—）=a+8+—+—》a+b+27ab=（7a+7b）2"

xyxyxy

④a,x,/?,ywR',+―=1則有：x+y=（x+y）（—+—?）=?+/?+2\fab=（y/a+\fb）2

xyxy

B8.求函數值域的常用方法：

①配方法：轉化為二次函數問題，利用二次函數的特征來求解；

【點撥】：二次函數在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間［租,〃］上的最值；二是

求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注

意開口方向和對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系.

②逆求法：通過反解，用y來表示x,再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取

值范圍，型如y=竺吆,x的函數值域；

ex+d

④換元法：化繁為間，構造中間函數，把一個較復雜的函數變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮担?/p>

其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，通過代換構造容易求值域的簡單函

數，再求其值域；

⑤三角有界法：直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，如轉化為只

含正弦、余弦的函數，再運用其有界性來求值域：

⑥不等式法：利用基本不等式4+622J拓（a,beR+）求函數的最值，其題型特征解析

式是和式時要求積為定值，型如y=x+8a>0）,解析式是積時要求和為定值，不過有時

x

須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧；

⑦單調性法：根據函數的單調性求值域，常結合導數法綜合求解；

⑧數形結合法：函數解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據函數的幾何意義，如斜率、

距離、絕對值等，利用數與形相互配合的方法來求值域；

⑨分離常數法：對于分子、分母同次的分式形式的函數求值域問題，把函數分離成一個

常數和一個分式和的形式，進而可利用函數單調性確定其值域.

⑩判別式法：對于形如乃=仆:+/".+C|（%,%不同時為0）的函數常采用此法.

a2x+h2x+c2

【說明】：對分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可

以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等

式：

h

l.y=——型，可直接用不等式性質；

k+x

2.丁==巴hr一型，先化簡，再用均值不等式；

x+〃

+m'x+n'

3.y二,型,通常用判別式法；

x+mx+n

4'=Xx~+m〃'r叱+十n'〃型，可用判別式法或均值不等式法；

mx+n

?導數法：一般適用于高次多項式函數求值域.

B9.函數值域的題型

（一）常規(guī)函數求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段.

常規(guī)函數有：一次函數，二次函數，反比例函數，指數對數函數，三角函數，對號

函數.

（二）非常規(guī)函數求值域：想法設法變形成常規(guī)函數求值域.

解題步驟：（1）換元變形；

（2）求變形完的常規(guī)函數的自變量取值范圍；

（3）畫圖像，定區(qū)間，截段。

（三）分式函數求值域：四種題型

（l）y=-----（〃。0）：則y。一且ysR.

ax+ba

CX-i-H

（2）y=-——（x>2）：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式

ax+b

求y的范圍.

2K+3x—2

⑶尸

6x2-x-1

(2尤—l)(x+2)x+2/1、.1口inn

y=--=-----(%。一)，貝?y。一且y且ywH.

?(2x-l)(3x+l)3x+l23

2r-l

(4)求------的值域，當xsR時，用判別式法求值域。

X+X+I

2r_i

y=—----=>yx2+(y-2)x+y+l=0,A=(y-2)2一4y(y+1)>0=>值域.

X~+X+I

(四)不可變形的雜函數求值域：利用函數的單調性畫出函數趨勢圖像，定區(qū)間，截段.

判斷單調性的方法：選擇填空題首選復合函數法，其次求導數；大題首選求導數，其次

用定義。詳情見單調性部分知識講解.

(五)原函數反函數對應求值域：原函數的定義域等于反函數值域，原函數值域等于反

函數定義域.

(六)已知值域求系數：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形

式表示的值域與已知值域對照求字母取值或范圍.

BIO.應用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：

⑴湊系數(乘、除變量系數).例I.當0<%<4時，求函的數y=x(8—2x)最大值.

⑵湊項(加、減常數項)：例2.已知,求函數/(x)=4x-2+1三的最大值.

r2+7r+10

⑶調整分子：例3.求函數f(X)=(X*-1)的值域；

X+1

⑷變用公式：基本不等式空22而有幾個常用變形：^-^>ab,

22

(----)->ab,J------->-----,------->(----).刖兩個變形很直接，后兩個變形則

2V2222

不易想到，應重視；例易求函數y=,2/一1+J5-eg)的最大值;

,16

⑸連用公式：例5.已知求y=-------的最小值；

b(a-b)

⑹對數變換：例6.已知>1,且=求f=Qx?"的最大值；

TT

⑺三角變換：例7.已知0<y且tanx=3tany,求，二%一了的最大值；

⑻常數代換(逆用條件)：例8.已知。>0力>0,且。+2%=1,求￡=,+，的最小

ab

值.

Bl1.“單調性”補了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和為定值

若V+y2=a(a為定值，awO),可設x=y[acosa,y=4asina,,其中

0<a<2〃.

①f(x,y)=x+y=&sina+夜cosa-41asin(a+工)在[0,—兀,2萬)上是

444

增函數，在佇I肛5二萬］上是減函數；

44

②g(x,y)=xy=-asm2a在［0」萬］,［2乃,*萬］,［］肛24)上是增函數,在

24444

仁1萬二3句，［5士乃7二句上是減函數；

4444

?,、11x+ysina+cosa.r—~..乃、

③"?(x,y)=—+—=----=—j=----------.令f=sina+cosa-yJ2asin(a+—),

xyxyJasinacosa4

其中fw［-0,-1)U(-［1)U(L拒］.由產=l+2sinacosa,得2sinacosa=產一1,從

而m(x,y)=廠2：-----=-------...—在［-72,-1)U(-1,1)U(1,V2］上是減函數.

T)g當

t

⑵和為定值

若x+y=/?(b為定值，bwO),貝ijy=b-x.

①g(x,、)=xy=--+云在(-8,g］上是增函數，在g,+8)上是減函數；

②加(X,>)=4+'=三吆=Y—.當6>0時，在(—8,0),(0,々上是減函數，在

xyxy-x+bx2

hhh

［—,b),3,+oo)上是增函數；當b<0時，在(—8,b),S,§］上是減函數，在弓,0),(0,+8)上

是增函數.

bh

③〃(x,y)=x2+y2=2x2+2bx+/在(—8,上是減函數，在q,+8)上是增函數；

⑶積為定值

若xy=c(c為定值，CKO),則y=￡.

X

①/(x,y)=x+y=x+￡.當c>0時，在上是減函數，在

x

(一8,-［五,+8)上是增函數；當C<0時，在(一8,0),(0,+8)上是增函數；

②加。,>)=4+工=且=」。+￡).當，>0時，在［一五,0),(0,人］上是減函數，

xyxycx

在(一OO,-八］,［八,+8)上是增函數；當C'<0時，在(一8,0),(0,+8)上是減函數；

222

③n(x9y)=x+y=x+—r=(x+—)-2c在(一co,-&),(0,上是減函數,在

XX

(-五⑼,［6,+8)上是增函數.

⑷倒數和為定值

若，+工=2(d為定值，1,1,1),則y=￡.成等差數列且均不為零，可設

xydxdyx

公差為z，其中zw±‘，則'='一［,'='+1,得］=--—,y=―--..

dxdyd\-dz1+dz

①〃x)=x+y=2°，.當d〉0時,在(-co,-▲),(—L,0］上是減函數，在

\-dzdd

[0,+00)上是增函數：當d<0時，在(―8」),(±0]上是增函數，在

ddad

[0,),(---,+8)上減函數；

dd

②g(x,y)=xy=…當d>0時,在(一00,-，),(一,,0]上是減函數，在

\-dzaa

[0'),(L+oo)上是增函數；當d<0時，在(一8」),(工,0]上是減函數，在

aaad

[0,—，),(—L,+8)上是增函數；

dd

2.i\

③〃(x,y)=/+y2=—，JJ..令"6+1,其中且f/2,從而

(dN-l)-

z/2.。/72

〃(x,y)==—.一在[1,2)上是增函數，在(2,+8)上是減函數.

.,+g

t

B12.理解幾組概念

*1.廣義判別式

設F(x)是關于實數x的一個解析式，a,kc都是與x有關或無關的實數且則

△=/-4ac》0是方程+/(x)+c=0有實根的必要條件，稱“△”為廣義判別

式.

*2.解決數學問題的兩類方法：

?是從具體條件入手，運用有關性質，數據，進行計算推導,從而使數學問題得以解決;二是

從整體上考查命題結構，找出某些本質屬性，進行恰當的核算,從而使問題容易解決，這一方法

稱為定性核算法.

*3二元函數

設有兩個獨立的變量X與y在其給定的變域中。中，任取?組數值時，第三個變量

Z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應，那末變量Z稱為變量x與y的二元函

數.記作：Z=/*,)，).其中x與)，稱為自變量，函數Z也叫做因變量，自變量x與y的

變域。稱為函數的定義域.

把自變量X、)，及因變量Z當作空間點的直角坐標，先在X。)，平面內作出函數

Z=/(x,y)的定義域。；再過。域中得任一點M(x,y)作垂直于xoy平面的有向線段

MP,使其值為與(x,y)對應的函數值Z；

當M點在》中變動時，對應的P點的軌跡就是函數Z=/(x,y)的幾何圖形.它通常

是一張曲面，其定義域。就是此曲面在X。)，平面上的投影.

*4.格點

在直索坐標系中，各個坐標都是整數的點叫做格點(又稱整數點).在數論中，有所謂

格點估計問題.在直角坐標系中，如果一個多邊形的所有頂點都在格點上，這樣的多邊形叫

做格點多邊形.特別是凸的格點多邊形，它是運籌學中的一個基本概念.

*5.間斷點

我們通常把間斷點分成兩類：如果%是函數/*)的間斷點，且其左、布極限都存

在，我們把與稱為函數"X)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為

第二類間斷點.

*6.拐點

連續(xù)函數上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點.

如果)，=〃x)在區(qū)間伍力)內具有二階導數，我們可按下列步驟來判定y=/(x)的

拐點.

⑴求/"(x)；

(2)令f\x)=0,解出此方程在區(qū)間(4,。內實根;

(3)對于(2)中解出的每一個實根檢查r’(x)在/左、右兩側鄰近的符號，

若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點.

*7.駐點

曲線)(x)在它的極值點X。處的切線都平行于x軸，即/(/)=0.這說明，可導函數的

極值點一定是它的駐點(又稱穩(wěn)定點、臨界點)；但是，反之，可導函數的駐點，卻不一定是

它的極值點.

*8.凹凸性

定義在。上的函數/(x),如果滿足：對任意須,毛e。的都有

，(笥‘)》；"(8)+/*2)］，則稱是“X)上的凸函數.定義在。上的函數如果滿足：對任

意的士憶e。都有/(土+，則稱“X)是￡>上的凹函數.

22

【注】：一次函數的圖像(直線)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等號成立).

若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點的

切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點稱為曲線的拐點.

B13.了解幾個定理

*1.拉格朗日中值定理：

如果函數y=f(x)在閉區(qū)間以，切上連續(xù)，在開區(qū)間(。,0)內可導，那末在(凡。)內至

少有一點C,使/S)-/(a)=S-q)/'(c)成立.這個定理的特殊情形，即:/S)=/(a)的情

形.描述如下：

若e(x)在閉區(qū)間口,回上連續(xù)，在開區(qū)間(a,6)內可導，且夕伍)=夕3),那么在

(a,b)內至少有一點c，使"(c)=0成立.

*2.零點定理：

設函數/(x)在閉區(qū)間［a向上連續(xù)，且/(a)"3)V0.那么在開區(qū)間(a,b)內至少有

函數/(x)的一個零點，即至少有一點JV>)使〃4)=0.

*3.介值定理：

設函數/(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數值，

.f(a)=A,/(b)=8,那么對于A,B之間任意的一個數C,在開區(qū)間(a,b)內至少有一點孑，使

得/4)=C(a<”b).

*4.夾逼定理：

設當0V|x—x0|Vb時，有g(x)W/(x)《6(x),且limg(x)=lim2)=A,則必

X->A0A->X()

有l(wèi)imf(x)=A.

【注】：以-%］：表示以與為的極限，則IX7oI就無限趨近于零.(4為最小整

數)

C、10~12,思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力

C1.線段的定比分點公式

設P2(x2,y2),P(x,y)是線段68的分點，4是實數，且還=彳而(或

PiP=-麗)，則

_X]+Zx2

14-A~OP+九OP、—,—k—k1

oop=一!-----=OP=，(1—)OB(r=------)

_M+丸》21+丸1+4

y=~,~~：-

1+丸

、，」+?

一2

推廣1：當4=1時，得線段4P2的中點公式:

_x}+x2

X~2

推廣2：些/則而=空±四(4對應終點向量).

MB1十2

三角形重心坐標公式：AlBC的頂點A(x(,>|),B(X2,y2),^(-^3?y3)，重心坐標G(x,y)：

、,」+為+%

『3

注意：在AABC中，若o為重心，則了+而+51=6,這是充要條件.

【公式理解】：

*1人是關鍵(丸*一1)

RpR46PPRE

(內分)X>0(外分)X<O(X<-1)(外分)X<0(-KK0)

若P與P|重合，入=0P與P2重合，入不存在P離P2Pl無窮遠，X=-l

*2.中點公式是定比分點公式幾=1的特例；

---*1.

*3.始點終點很重要，如