周期函數(shù)運算(加-減-乘除-復(fù)合)結(jié)果分析

PAGEPAGE1 周期函數(shù)運算（加、減、乘、除、復(fù)合）結(jié)果分析摘要探討了周期函數(shù)與周期的定義、周期函數(shù)的周期的性質(zhì)及最小正周期的定義.進(jìn)一步討論了周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的周期性,從而得出了周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的周期性定理,并說明了定理的應(yīng)用.關(guān)鍵詞周期函數(shù)周期周期性最小正周期1周期函數(shù)與周期1.1周期函數(shù)與周期的定義設(shè)函數(shù),如果存在一個數(shù),對任意,有,且,則函數(shù)叫做周期函數(shù),數(shù)T叫做函數(shù)一個周期.函數(shù)具有周期的性質(zhì)叫做函數(shù)的周期性.1.2周期函數(shù)的周期的性質(zhì)性質(zhì)1若是的周期,則也是的周期.證明因為是的周期,所以.令,則,代入上式得:,即:.所以也是的周期.性質(zhì)2若是的周期,且,則也是的周期.證明(1)證明當(dāng)時,,則是的周期(運用數(shù)學(xué)歸納法).當(dāng)時,是的周期.②假定當(dāng)時,是的周期,則,那么當(dāng)時,有.所以是的周期.由①、②可知:對于所有的自然數(shù),則是的周期.(2)當(dāng)時,,顯然,是的周期(特殊周期).(3)證明當(dāng)時,,則是的周期.因為是的周期,所以由性質(zhì)1可得:也是的周期.又因為即:,所以由以上(1)的結(jié)論可得:是的周期.即:是的周期.綜合以上(1)、(2)、(3)三點可得:若是的周期,,則也是的周期.由性質(zhì)1和性質(zhì)2可得出如下結(jié)論:結(jié)論1一個周期函數(shù)至少有兩個符號相反的周期.結(jié)論2一個周期函數(shù)必有一個以上正周期.1.3最小正周期的定義由結(jié)論1可得:一個周期函數(shù)的周期的個數(shù)至少是兩個,或者是多個直至無限多個.由結(jié)論2可得:一個周期函數(shù)必定存在正周期.因此,可作出如下定義:設(shè)周期函數(shù),把的所有正周期中的最小的一個叫做函數(shù)的最小正周期.顯然,一個函數(shù)的最小正周期是唯一的,故最小正周期具有特殊的意義.因此,一個函數(shù)的周期通常是指最小正周期.2周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)2.1周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的周期性周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的周期性有何特點?下面的定理可給出明確的回答.定理1設(shè)函數(shù)與都是定義在上的周期函數(shù),周期分別為與,且（為正有理數(shù),,且與互為質(zhì)數(shù)),若,則為函數(shù)的周期.證明因為,且與互為質(zhì)數(shù)),所以,即:為與的最小公倍數(shù).又因為與分別為與的周期,所以根據(jù)性質(zhì)2可得:為與的周期.所以所以為函數(shù)的周期.同理可證明:為函數(shù)的周期.這個定理叫做周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的周期性定理.2.2周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)周期性定理的應(yīng)用周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的周期性定理為求兩個周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的周期提供了一般的求解方法.具體的求解步驟如下:第一步:求出兩個周期函數(shù)與的周期.設(shè)周期分別為與.第二步:求出兩個周期函數(shù)的周期之比并表示為兩個互質(zhì)正整數(shù)之比.即(為正有理數(shù),,且與互為質(zhì)數(shù)).第三步:求出兩個周期函數(shù)的周期的最小公倍數(shù),即求出.那么最小公倍數(shù)即為兩個周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的周期.顯然,對于有限個周期函數(shù)的和、差、積函數(shù),重復(fù)運用周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的周期性定理即可3復(fù)合函數(shù)周期性定理8＇函數(shù)是非負(fù)的周期函數(shù),若為正偶數(shù),則函數(shù)是周期函數(shù),且函數(shù)與的周期一致.3.2.4.3為負(fù)奇數(shù)時,函數(shù)的定義域與的定義域相同,且.因此,由定理9,有定理9＇函數(shù)是不恒為零的周期函數(shù),若為負(fù)奇數(shù)，則函數(shù)是周期函數(shù),且函數(shù)與的周期一致.3.2.4.4為負(fù)偶數(shù)時,函數(shù)是不恒為零的非負(fù)的周期函數(shù),函數(shù)的定義域與的定義域相同,且.因此,由定理10,有定理10＇函數(shù)是不恒為零的非負(fù)的周期函數(shù),若為負(fù)偶數(shù)，則函數(shù)是周期函數(shù),且函數(shù)與的周期一致.參考文獻(xiàn)[1]王清印,吳和琴.函數(shù)周期性初論[M].北京:煤炭工業(yè)出版社,1987.[2]梁力平.對周期函數(shù)及其和、差、積、商函數(shù)周期性的探討[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報,2006,(27).[3]楊曼英.關(guān)于周期函數(shù)及最小正周期的探討[J].婁底師專學(xué)報,2001,(2).[4]費強.周期函數(shù)性質(zhì)初探[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2014,(13).[5]宣立新,馬明.周期函數(shù)初論[M].合肥:安徽教育出版社,1989.[6]潘勁松.關(guān)于周期函數(shù)定義的研究[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2012,(35).英文摘要Probedintocyclefunctionandcyclepropertiesofthesum,thedifference,theproductandthequotientofitAbstractThepaperprobesintothedefinitionofcyclefunctionandcycle,cyclepropertiesofcyclefunctionandthedefinitionofleastpositivecycle,andfurthermoreprobesintocyclepropertiesofthesum,thedifference,theproduct,thequotientofcyclefunction,thuscomingtoit