基于知識 超越知識

基于知識超越知識《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出，數(shù)學(xué)課程的基本理念是“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育”。在此理念的指導(dǎo)下，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能“獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗”，“四基”的獲得是學(xué)生受到良好數(shù)學(xué)教育的集中體現(xiàn)。因為四基中，知識與技能相對而言是有形可感的，而思想與經(jīng)驗是隱性無形的。所以，即使廣大教師在理念上確立了“四基”的意識，但在實(shí)踐中，如何組織學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想還是一籌莫展——思想到底在哪里？在知識形成運(yùn)用的過程里。我們常說思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，它和數(shù)學(xué)知識間到底什么關(guān)系？讓歷史來回答這個問題。遠(yuǎn)古時代，原始人為了生存最關(guān)心的問題是今天“有”還是“沒有（無）”果實(shí)或野獸，在進(jìn)一步認(rèn)識“有”的過程中，逐漸分辨出了“多”與“少”，以及學(xué)會了數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）。因為計數(shù)數(shù)目的不斷增多，人類開始借助石子、樹枝、泥丸、結(jié)繩、獸骨刻痕等器物（或辦法）來幫助計數(shù)。有時候，為了不丟失這些計數(shù)工具，就把果核等串在小棒或細(xì)繩上（這怕是最原始的計數(shù)器了）。也有時候，湊巧沒有這些實(shí)物計數(shù)工具，就利用自己的手指來計數(shù)。手指計數(shù)的障礙在于“手僅十指”，所以人類最初借用其他人的手指一起來計數(shù)，比如用“3人4指”來表示用完了3個人的手指還多4個手指。漸漸地，人們意識到當(dāng)用完了自己的全部手指后，可以在旁擺一塊石子或一根樹枝，這樣就能“解放”自己的手指繼續(xù)開始計數(shù)了！這便是十進(jìn)制計數(shù)法的雛形。“手指計數(shù)”促成了進(jìn)位制計數(shù)方法的出現(xiàn)，進(jìn)而進(jìn)一步促成了數(shù)的表達(dá)和記錄符號的出現(xiàn)，數(shù)字符號的出現(xiàn)標(biāo)志著數(shù)概念的形成。人類的歷史約有680萬年，在前500萬年，人類基本上還只有單音節(jié)語言，近200萬年以來，產(chǎn)生了多音節(jié)語言，而現(xiàn)在我們普遍使用的阿拉伯?dāng)?shù)字，實(shí)際上源自印度，這個歷史僅有千余年。人類認(rèn)識數(shù)的過程細(xì)分為“基本數(shù)覺→數(shù)數(shù)階段→實(shí)物計數(shù)→手指計數(shù)→生成計數(shù)符號”等多個階段，每一次的進(jìn)步都無比艱辛?？疾烊祟愋纬蓴?shù)概念的過程，離不開觀察分類、比較異同、剝離具體實(shí)物、符號概括等思維活動。我們的教科書非常簡練地呈現(xiàn)了這個過程。即便是要認(rèn)識數(shù)“1”，也必須從情境中的實(shí)物出發(fā)，剝離各種無關(guān)緊要的東西，只保留它量方面的特性，以一粒算珠（在量的特征上，它和1個小朋友拉手風(fēng)琴是等價的，但更為抽象）為橋梁，逐步抽象成符號“1”。正因為是抽象來的，所以便具有了廣泛的代表性，具有模型的意義，“1還能代表什么”的追問正是這個意思的體現(xiàn)。大家看，即便是最簡單的數(shù)學(xué)知識，也是人類思維抽象概括的結(jié)果。沒有那一系列的思維過程，也就不可能有數(shù)學(xué)的知識。因此，靜態(tài)看，知識表現(xiàn)為定義、定理等確定性的結(jié)論；動態(tài)看，知識表現(xiàn)為分類、比較、抽象、概括、類比、歸納等不確定的思維過程，之所以不確定，其因為人類的認(rèn)識過程是螺旋式上升的，其中還可能包含著曲折、錯誤等成分。分類、抽象、歸納等思維活動，不僅僅出現(xiàn)在某一個知識的形成過程中，還廣泛出現(xiàn)在其他知識的形成過程中，把這些東西沉淀提煉就是數(shù)學(xué)的思想方法。也正是這個緣故，課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，基本的數(shù)學(xué)思想指抽象思想、推理思想、模型思想。抽象思想主要內(nèi)化在知識的形成過程中，推理思想主要內(nèi)化在知識的發(fā)展豐富過程中，模型思想主要內(nèi)化在知識的運(yùn)用過程中。剖析了知識形成的過程，顯然有知識在，就必然有思想方法在。但思想方法卻是知識的“暗香”，需要教師有意識地去敞亮和揭示。也就是說，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)從“雙基”提升為“四基”，不是在原先知識技能教學(xué)的基礎(chǔ)上，外加“思想方法”的內(nèi)容，而只不過把原先就內(nèi)化在知識形成運(yùn)用過程中的思想方法，明確地凸顯固化下來，這樣就把重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的“軟任務(wù)”提升為了“硬任務(wù)”。所以，為了“四基”目標(biāo)的數(shù)學(xué)教育，無須額外增加教學(xué)內(nèi)容，只需要組織學(xué)生充分經(jīng)歷知識形成運(yùn)用的過程，與此同時，理解和掌握知識技能本身，并回顧總結(jié)經(jīng)歷的過程中有什么體會和感觸，這些東西點(diǎn)點(diǎn)滴滴積淀下來，就是數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗和數(shù)學(xué)的思想方法。在知識本源“為什么”的追問里。前段時間，筆者做案例“比的意義”。關(guān)于“比”，逐一琢磨它的相關(guān)要點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)與學(xué)生已掌握的舊知聯(lián)系緊密。它的意義和分?jǐn)?shù)、除法相關(guān)，它的性質(zhì)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、商不變規(guī)律，它的相關(guān)運(yùn)算也不復(fù)雜。掌握了分?jǐn)?shù)、除法的那些知識，再來學(xué)習(xí)“比”，無難可言。不過，這并不表示沒有任何問題。你去詢問學(xué)生：還有什么疑惑？多數(shù)學(xué)生都會問：已經(jīng)有了分?jǐn)?shù)、除法，為什么還要有“比”呢？對呀！舊詞足以表達(dá)一切”（德國哲學(xué)家雅斯貝爾斯語），為什么還要引入“比”的概念呢？原來兩個事物之間的比較，有時可以拿人數(shù)、時間、重量的多少直接比。比如“哪個班參見植樹活動的人多”，兩量間的相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系都可以說明問題。物體間除了可以度量直接比較的屬性外，還有不可度量的屬性，比如房間的擁擠程度、飲料的濃度、圖形的形狀等等，這些屬性無法直接用某個量進(jìn)行刻畫。我們既不能用純粹的人多人少來說明房間的擁擠，也不能用純粹的面積大小來說明房間的擁擠，必須綜合考慮房間的面積大小和房間里的人數(shù)多少。而且，這兩個量的相除關(guān)系才是有效的途徑，把這兩個量進(jìn)行相加、相減、相乘的處理都沒有意義。在刻畫“哪個班植樹活動的出勤情況更好”時，純粹的參加活動人數(shù)多少也不能說明問題，還必須同時考慮其全班的人數(shù)多少。這時，出現(xiàn)了兩個同類量，雖然這兩個同類量可以進(jìn)行相減，但得到的“沒有參加植樹活動的人數(shù)”同樣不能說明問題，還得把“參加人數(shù)”和“全班人數(shù)”進(jìn)行相除的處理。由此，物體間不可度量的屬性，都可以通過把相關(guān)的兩“數(shù)”相除變成“率”的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫?！氨取?，賦予了物體不可度量屬性的可比性！“比”的定義說清楚了“比”是什么，但沒有呈現(xiàn)“由數(shù)成率”的方法和緣由。若沒有概念的定義，我們就不知道這個概念到底是什么。不過，若只有概念的定義，割裂了概念的形成過程，學(xué)生無疑會失去更多——概念定義背后的數(shù)學(xué)方法、學(xué)生對概念的深度理解等等。有學(xué)者提出，每一個知識都兼具事實(shí)性、概念性、方法性、價值性四個側(cè)面。知識的事實(shí)性，指人們在日常生活中對此的感悟和總結(jié)，沒有概念去概括，客觀的事實(shí)或現(xiàn)象只能是經(jīng)驗；沒有方法去運(yùn)用，概念或原理只能是詞語符號；沒有價值取向的揭示，方法只能是機(jī)械的步驟。由事實(shí)性到價值性，理解層層被遞進(jìn)，知識不斷地變得越來越“有意義”?？上У氖?，一般教師都只關(guān)注一個知識“是什么”、“怎么辦”，也就是只關(guān)注知識的概念性和方法性，很少有意識地去追問“為什么”。幾千年來，人類創(chuàng)造的數(shù)學(xué)知識浩瀚無邊，為什么偏偏是那些數(shù)學(xué)知識進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂？雖然數(shù)學(xué)一直在發(fā)展，為什么有些數(shù)學(xué)的概念和方法沒有被邊緣化，一直需要兒童們學(xué)習(xí)？“為什么”要創(chuàng)造這個概念，恰恰揭示數(shù)學(xué)知識體系中這個知識存在的必要性和合理性。教學(xué)重視“為什么“，甚至假設(shè)沒有這個概念或方法又會怎樣，也就凸顯了一個知識的價值性，也就直抵了知識的最核心。在知識獨(dú)到部分的放大里。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法更精華的概括，因此，一個數(shù)學(xué)思想必然會蘊(yùn)涵在不同知識的學(xué)習(xí)過程中。這便自然產(chǎn)生了一個問題，即在不同階段面對不同學(xué)習(xí)內(nèi)容，對同一個數(shù)學(xué)思想的滲透和感悟是否有不同的側(cè)重？換言之，我們組織學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、積淀數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，恐怕主要用“有機(jī)滲透、反復(fù)感悟”的辦法，這里的“反復(fù)感悟”是否意味著不同情境下同一要點(diǎn)的簡單重復(fù)呈現(xiàn)？答案是顯而易見的，如果不同階段都是一個要點(diǎn)毫無變化的反復(fù)呈現(xiàn)，那后續(xù)的滲透對于學(xué)生只是“重復(fù)識記”，除外也就沒有價值。一個數(shù)學(xué)思想猶如一個萬花筒，即便還是它，但稍一變化，就能呈現(xiàn)不一樣的要點(diǎn)與價值。因此，我們需要結(jié)合數(shù)學(xué)思想在不同知識技能形成與運(yùn)用過程中展示出的獨(dú)到價值，把它挖掘并放大呈現(xiàn)，這樣，得得相積，不同側(cè)重點(diǎn)的聚集，對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)經(jīng)驗的感悟便豐滿起來。例如學(xué)習(xí)交換律、結(jié)合律、分配律，都是運(yùn)用歸納推理學(xué)習(xí)新知，當(dāng)猜想提出后，驗證猜想都用“舉例”的辦法。但在不同的階段，作為教師心中要有謀劃，不能每次講驗證都只是“舉例”這簡單的兩個字。最初的學(xué)習(xí)中，可以著重體現(xiàn)舉的例子不能同質(zhì)，設(shè)法囊括各種不同的情況，這樣的舉例才有驗證的意義。再次的學(xué)習(xí)中，可以著重體會能不能舉反例，因為許多個正面的例子不能保證猜想的成立，但一個反例足以說明猜想的不成立。如果舉不出反例，就可以驗證猜想。后面的學(xué)習(xí)中，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會，舉例總是令人不放心，在舉例的基礎(chǔ)上，學(xué)會運(yùn)用其他數(shù)學(xué)知識賦予邏輯意義，例如同寬不同長的兩個長方形，既可以合成一個大長方形計算面積，也可以分別計算圖形的面積，這足以說明乘法分配律的成立，這樣舉例和講理相結(jié)合，猜想的驗證就完美了。一件能被稱為藝術(shù)的作品，即便其中畫了百十個人物，但肯定各具不同的姿勢與神態(tài)。教學(xué)也是藝術(shù)，對數(shù)學(xué)思想的感悟自然也應(yīng)該整體謀劃，有序滲透。有些知識具有多元的價值，到底彰顯放大那個方面，也值得斟酌思量。前段時間，和青年教師一起商討“圓的面積”的教學(xué)，不免思考在面積公式的推導(dǎo)過程中讓學(xué)生感悟體會什么。在平行四邊形面積公式推導(dǎo)開始時，就開始提“轉(zhuǎn)化”；三角形和梯形的面積計算辦法的推導(dǎo)時，又講“轉(zhuǎn)化”；圓面積計算辦法的推導(dǎo)時，難道再提“轉(zhuǎn)化”嗎？圓面積計算公式的推導(dǎo)中，到底什么最有價值？回顧歷史發(fā)現(xiàn)，早在3600多年前，人們就掌握了圓面積的計算辦法。古埃及草紙文獻(xiàn)中（公元前1650年左右），在圓外面作外切的正方形，然后用勻稱的谷粒鋪滿整個圖形，再分別計量圓內(nèi)的谷粒數(shù)量和外切正方形內(nèi)的谷粒數(shù)量，計算兩個量的比值，從而得圓面積S=d2，這個算法相當(dāng)于“3.56r2”，與現(xiàn)行的圓面積計算辦法已經(jīng)沒有本質(zhì)區(qū)別。其后幾千年，以阿基米德、祖沖之、劉徽、開普勒等為代表的數(shù)學(xué)家們苦苦探求的是圓面積計算辦法的數(shù)學(xué)原理，他們探求的焦點(diǎn)都集中于如何化圓為方，跨越曲邊圖形和直邊圖形之間的界限。經(jīng)過這樣的歷史考量，圓面積計算公式推導(dǎo)中最有價值的部分，不是新知識如何轉(zhuǎn)化為舊知識，而是應(yīng)該在“圓有限分割”的操作上想象“無限分割”，根據(jù)圓分割成4份、8份拼成圖形的變化趨勢去想象它們的終極狀態(tài)，從而領(lǐng)會：“將圓無限分割后拼成的才是真正的長方形?！边@個長方形正是這個無限圖形序列的終極狀態(tài)，也就是無窮系列的極限。這樣，學(xué)生站到了微積分的門檻上