初中數(shù)學(xué)-直角三角形二教學(xué)設(shè)計(jì)

10.3直角三角形（第2課時(shí)）

一、教材版本

魯教版七年級(jí)下冊第十章第三節(jié)《直角三角形》第2課時(shí)

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)技能：

（1）掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.

（2）已知一直角邊和斜邊，能用尺規(guī)作出直角三角形.

2.數(shù)學(xué)思考：

（1）經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，發(fā)展推理能力和有條理的

表達(dá)能力.

（2）在探究過程中，滲透由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

3.問題解決：

能利用直角三角形的全等解決有關(guān)問題.

4.情感態(tài)度：

通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展勇于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握判定直角三角形全等的條件；運(yùn)用直角三角形全等解決實(shí)際問題.

難點(diǎn)：定理的獲得與證明

四、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)反思，揭示課題

如圖，已知AB=B。，要使△4BC嶺△OBE,還需要添加什么條件？請說明理由.

師生活動(dòng)：學(xué)生自主解答.可以通過添加BC=8E,依據(jù)SAS；可以通過添加NA=ND,依據(jù)

A&4；通過添加/AC2=N￡>E8,依據(jù)AAS若學(xué)生提到AC=OE,師生共同分析AC、DE與/

B的位置關(guān)系，回憶七年級(jí)上冊學(xué)過的結(jié)論“兩邊相等及其中一組等邊的對角分別相等的兩

個(gè)三角形不一定全等”.若沒有學(xué)生提出，教師自主提出，從而轉(zhuǎn)入下一環(huán)節(jié).

設(shè)計(jì)意圖：通過此環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在添加條件的過程中，復(fù)習(xí)一般三角形全等的條件，為后

面的探索活動(dòng)做好鋪墊.

2.探索發(fā)現(xiàn)，猜想證明

(1)提出問題：既然''兩邊相等及其中一組等邊的對角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等”，

那么在什么情況下會(huì)全等？如果這個(gè)角變成直角呢？

(2)畫圖驗(yàn)證：己知一條直角邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形.

(3)組內(nèi)交流：你是怎么畫的？你們畫出的三角形全等嗎？你是怎么判斷的？

師生活動(dòng)：教師提出問題，并借助課件演示一般三角形轉(zhuǎn)換成直角三角形，有的學(xué)生可能

直觀感知兩個(gè)三角形是全等的，有的可能做不出判斷.教師隨之提出，以前我們是怎樣探索

一般三角形全等的？我們是根據(jù)條件畫出了三角形，然后看三角形能否重合.也就是說，我

們用了畫圖驗(yàn)證的方法，今天不妨也試一試.學(xué)生自主畫圖，對畫圖有困難的學(xué)生，教師給

予幫助，或同桌互助，再在班內(nèi)交流和課件演示理解這一作圖步驟.對于全等的判斷，學(xué)生

可能會(huì)像探索一般三角形全等的條件一樣剪下來看能否重合，也可能會(huì)利用勾股定理得到另

一條直角邊也相等，再根據(jù)“SS夕或的基本事實(shí)得到兩個(gè)直角三角形全等.

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察、思考、作圖、交流等活動(dòng)，為學(xué)生提供了實(shí)踐和探索的空間，有助

于學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論，得出直角三角形全等的條件.教師提出問題，意在將一般三角形特殊

化，將探索活動(dòng)自然引到對直角三角形的研究上，滲透了從一般到特殊的研究思路.同時(shí)借

助對一般三角形全等條件探索過程的經(jīng)驗(yàn)回顧，引導(dǎo)學(xué)生想到畫圖驗(yàn)證，也提供了類比的學(xué)

法指導(dǎo).

(4)提出猜想：通過剛才的畫圖，你得到了什么結(jié)論？

(5)證明：一個(gè)命題要經(jīng)過證明它是正確的才可以作為定理使用，現(xiàn)在我們來證明它.

定理斜邊和一直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.

己知：如圖，在AABC和ZUB'C'中，NC=NC'=90。，AB=AV,

求證：ZiABC0△N'8'C'.

AA'

證明：在A48C中,

'：NC=90。，

Bd=AB2-AC2(勾股定理)

同理，B,C,2=A,B,2-A,C，2

\'AB=A,B,^C=A,C,,

：.BC=B'C：

：.4ABCmAA'B'C'GSS).

師生活動(dòng)：學(xué)生小組交流或自主總結(jié)，歸納、概括由作圖獲得的猜想，教師點(diǎn)評(píng)，引導(dǎo)學(xué)

生使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言.證明命題時(shí)，提醒學(xué)生先畫圖，再寫出已知，求證.實(shí)際教學(xué)中，師

生合作，分析證明思路，再讓學(xué)生獨(dú)立寫出證明過程.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想-一證明”的過程，感受合情推理與演繹推

理的緊密關(guān)系，也感受證明的必要性.

3.運(yùn)用定理，解決問題

(1)例

如圖，有兩個(gè)長度相等的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度相

等，兩個(gè)滑梯的傾斜角NB和NF的大小有什么關(guān)系？

(2)判斷下列命題的真假，并說明理由.

①兩個(gè)銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；

②斜邊及一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等;

③兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；

④一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等.

(3)如圖，兩根長度為12m的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面的兩個(gè)木樁

上，兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明理由.

(4)已知：如圖，AB=CD,QE_LAC,8F_LAC,垂足分別為點(diǎn)E,F,DE=BF.

求證：(1)AE=CF;(2)AB//CD.

第(3)題圖第(4)題圖

師生活動(dòng)：對于例題，學(xué)生自主思考后在組內(nèi)交流，再請一名學(xué)生講述解題思路，獨(dú)立寫

出解題過程，要求規(guī)范.對于后面的鞏固練習(xí)，由學(xué)生獨(dú)立完成，教師指導(dǎo)學(xué)困生，集體糾

正.

設(shè)計(jì)意圖：例題設(shè)計(jì)了一個(gè)利用“HL”定理解決的實(shí)際問題，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論在實(shí)際中

的應(yīng)用.第2題是進(jìn)一步鞏固直角三角形全等的判定方法，前面四種同樣適合.第3題也是一

個(gè)實(shí)際問題，和例題一樣，需將證明線段相等轉(zhuǎn)化為證明全等三角形的對應(yīng)邊相等的題目.

第4題是全等三角形和平行線知識(shí)的綜合運(yùn)用.

4.課堂小結(jié)，暢談收獲

師生共同回顧本節(jié)課內(nèi)容，并請學(xué)生回答下列問題：

(1)談一談這節(jié)課你有什么收獲？

(2)在分析兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，其他方法都需要三個(gè)條件，而“HL”只有兩個(gè)條件，你

怎么看？

(3)課堂上，我們探究“HL”定理經(jīng)歷了一個(gè)怎樣的過程，你有什么感受和體會(huì)？

5.布置作業(yè)：

(1)課本P116練習(xí)2

(2)如圖,在AABC和中，NC、NC'是鈍角,且NC=NC',AB=A'B^AC^AC,

求證：ZkABC之△月'8'C'.

A

Af

學(xué)情分析

本節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了圖形的全等、一般三角形全等的條件、勾股定理和尺規(guī)作

三角形的知識(shí)。同時(shí)，在一系列的實(shí)踐學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)歷過采用折紙、畫圖等直觀方法研究

圖形的過程，具有了較好的合情推理能力。也接受了簡單的演繹推理的訓(xùn)練，為進(jìn)一步探索

和證明直角三角形全等作好了知識(shí)儲(chǔ)備和思維鋪墊。

從年齡特征來看，七年級(jí)的學(xué)生思維活躍，對事物直觀感受較強(qiáng)，抽象思維水平較低。

但學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗(yàn)，也有一定的命題證明的經(jīng)驗(yàn)。比

如：探索一般三角形全等的條件時(shí)，畫圖、觀察、比較、猜想、證明的研究方法，可遷移到

本課的學(xué)習(xí)中。對平行線、一般三角形、等腰三角形這些圖形的推理證明訓(xùn)練，使學(xué)生初步

明確了證明的基本要求和格式，能夠較清晰的用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)，但還不夠準(zhǔn)確和完善。

本節(jié)課正是在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。另外，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)已

經(jīng)有了一定的自主思考能力，也能在數(shù)學(xué)課上較熟練的借助小組合作完成學(xué)習(xí)任務(wù)。這些都

將有力的促進(jìn)本節(jié)課更好的學(xué)習(xí)。

評(píng)測分析

本次練習(xí)共有4個(gè)題，全部用來考查學(xué)生對于HL定理的理解和運(yùn)用.從題目設(shè)計(jì)來看,

第1題通過添加條件使兩個(gè)直角三角形全等.第2題判斷命題真假，進(jìn)一步深化學(xué)生對于直

角三角形全等的判定方法的理解.第3題通過直角三角形全等的判定，得出對應(yīng)角相等，從

而證得三角形是等腰三角形.第4題需要證明兩次全等.

評(píng)測結(jié)果如下：全班43人，第1題有40人做對；第2題有3人做對；第3、4題證明

思路正確步驟規(guī)范的有21人，思路正確但步驟不規(guī)范的有10人.從評(píng)測結(jié)果可以看出，多

數(shù)人能夠理解HL定理并會(huì)簡單運(yùn)用.但對于辨析題考慮不全面，對于綜合法書寫證明過程仍

是難點(diǎn).今后需在這一方面加強(qiáng)練習(xí).

收獲總在反思后

……錄像課《10.3直角三角形（2）》教學(xué)反思

這次錄像課，我的課題是魯教版七年級(jí)下冊《10.3直角三角形（2）》，教學(xué)內(nèi)容是直角

三角形全等的判定。從準(zhǔn)備到正式授課，再到靜心坐下來反思，在專業(yè)成長的道路上又前進(jìn)

了一步。

一、成功之處

1.教學(xué)設(shè)計(jì)以課標(biāo)為準(zhǔn)繩，突出了“做數(shù)學(xué)”的過程。

通過對課標(biāo)和教材的閱讀，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)做了準(zhǔn)確定位。所有的教學(xué)設(shè)計(jì)均圍

繞目標(biāo)展開教學(xué)。

課標(biāo)指出，課程內(nèi)容的組織要重視過程，要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系。教學(xué)目標(biāo)的第一

關(guān)鍵詞是“探索”。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教學(xué)中，從一般三角形全等的判定入手，通過認(rèn)知

矛盾引入問題，然后類比以前研究全等的方法畫圖、猜想和證明，最后得出定理。通過這些

活動(dòng)學(xué)生經(jīng)歷了完整的探索一發(fā)現(xiàn)一證明的過程，突出了對知識(shí)形成過程的探索。同時(shí)，在

探索的過程中，發(fā)展了學(xué)生的推理能力和表達(dá)能力。

教學(xué)目標(biāo)中的第二個(gè)關(guān)鍵詞是“運(yùn)用”，即能夠運(yùn)用HL定理證明直角三角形全等，本課

中，例題、練習(xí)和檢測題的設(shè)計(jì)意圖都以定理的運(yùn)用為目的。

2.注重發(fā)展了學(xué)生的推理能力和有條理的表達(dá)能力。

推理能力是課標(biāo)提出的基本素養(yǎng)之一，本節(jié)課運(yùn)用畫圖猜想等合情推理探索結(jié)論，又將

證明作為探索結(jié)論的自然延續(xù)和發(fā)展，讓學(xué)生體會(huì)到合情推理與演繹推理的緊密關(guān)系，更發(fā)

展了邏輯推理能力。另外在本節(jié)課中對于學(xué)生的回答我及時(shí)糾正，保證了其語言的規(guī)范性。

3.幾何畫板的使用為教學(xué)錦上添花

三角形從一般到特殊的動(dòng)態(tài)變化,尺規(guī)作圖的動(dòng)態(tài)演示都為學(xué)生提供了直觀形象的記憶,

易于學(xué)生接受和理解。

二、不足之處

從學(xué)生角度來看，由于是借班上課，教師與學(xué)生的不熟悉，使本節(jié)課的課堂氣氛不夠活

躍，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，探究的主動(dòng)性沒有更多的被調(diào)動(dòng)、被激發(fā)。學(xué)生不夠大膽，沒有達(dá)

到預(yù)期的效果。

從教學(xué)設(shè)計(jì)來看，引例中在提到角要變?yōu)橹苯呛?，?yīng)將圖形分解，使兩三角形更直觀，

學(xué)生更易于觀察和思考。

從師生活動(dòng)來看，互動(dòng)性略微欠缺，整節(jié)課教師的主導(dǎo)性活動(dòng)較多，學(xué)生的自主探索與

合作交體現(xiàn)不明顯。

三、教學(xué)再設(shè)計(jì)和今后改進(jìn)方向

如果將這節(jié)課再改進(jìn)一下，我認(rèn)為，應(yīng)該從以下幾個(gè)方面改進(jìn)：

1.教學(xué)節(jié)奏加快，不拖沓。

2.給學(xué)生更多的思考和展示機(jī)會(huì)，多多鼓勵(lì)學(xué)生。

3.教學(xué)語言更簡練。

對于教師自身的專業(yè)素質(zhì)，我認(rèn)為努力的方向是：

（1）多多錘煉語言，讓數(shù)學(xué)味更濃。

（2）多學(xué)習(xí)教師的評(píng)價(jià)語言。

（3）多閱讀好的教學(xué)案例，提升教育機(jī)智。

以上就是我在錄像課后的一點(diǎn)感想，我相信，有反思就會(huì)有進(jìn)步，收獲總在反思后。

教材分析

本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容是直角三角形全等的判定，屬于圖形與幾何課程內(nèi)容中的三角形部分。

三角形是最基本的幾何圖形，是初中幾何的重要研究對象，也是認(rèn)識(shí)其他圖形的基礎(chǔ)。而全

等研究的是兩個(gè)平面圖形間的關(guān)系，其研究的問題和研究方法將為后面相似的學(xué)習(xí)提供思路。

直角三角形是特殊的三角形，是對三角形全等判定所做出的進(jìn)一步研究。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，

使三角形全等判定的知識(shí)相對完整，因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)是前面學(xué)習(xí)的發(fā)展和深化，同時(shí)直角

三角形在本章乃至整個(gè)平面幾何教材中都有著重要的基礎(chǔ)性的地位，它可以為我們今后解決

實(shí)際問題進(jìn)一步研究平面幾何奠定一定的基礎(chǔ)。

對于本節(jié)內(nèi)容，不同版本的處理方式也不同。人教版將全等三角形獨(dú)立設(shè)章，安排在了

八年級(jí)上冊，從一般三角形到直角三角形，從SSS、SAS、ASA、A4S到HL,構(gòu)建了一個(gè)完

整的探索三角形全等條件的活動(dòng)。教材先安排了畫圖實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過畫一直角邊和斜邊分

別相等的兩個(gè)直角三角形并進(jìn)行比較,然后猜想結(jié)論，直接給出“斜邊、直角邊”的判定定理，

但并沒有給出證明。而魯教版將一般三角形全等的探索放在了七年級(jí)上冊，探索過程和人教

版基本相同，但僅限于合情推理階段。對直角三角形全等的探索和證明安排在了七年級(jí)下冊

《直角三角形》一節(jié)中?？梢哉f，兩個(gè)版本的安排各有千秋。人教版主要通過畫圖讓學(xué)生感

受結(jié)論的正確性，并沒有給出證明。在習(xí)題的設(shè)計(jì)上，淡化了證明，降低了證明題的難度。

魯教版更側(cè)重于合情推理和演繹推理的緊密結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一

證明''的過程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性。習(xí)題的設(shè)計(jì)中增加了利用HL定理解決實(shí)際問題

的練習(xí)。

綜合兩個(gè)版本，我對本節(jié)課的目標(biāo)定位如下：1.知識(shí)技能：（1）掌握判定直角三角形

全等的“斜邊、直角邊”定理。（2）已知一直角邊和斜邊，能用尺規(guī)作出直角三角形。2.數(shù)

學(xué)思考：（1）經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，發(fā)展推理能力和有

條理的表達(dá)能力。（2）在探究過程中，滲透由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。3.問題解決：

能利用直角三角形的全等解決有關(guān)問題。4.情感態(tài)度：通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)證明的

嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展勇于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。重點(diǎn)：掌握判定直角三角形全等的條件：

運(yùn)用直角三角形全等解決實(shí)際問題。難點(diǎn)：定理的獲得與證明。本節(jié)課用時(shí)一課時(shí)。教學(xué)中

我從一般三角形入手，引出“邊邊角”，學(xué)生認(rèn)為符合這種條件的三角形不會(huì)全等，此時(shí)提出

問題“若角為直角呢？”引起認(rèn)知沖突，然后遵循“提出問題一畫圖驗(yàn)證一猜想證明”的研究思

路，引導(dǎo)學(xué)生得出“HL”定理。這種做法從學(xué)生的舊知出發(fā)，重視了學(xué)生思維過程的呈現(xiàn),

向?qū)W生滲透了由一般到特殊的研究問題的方法，注重了數(shù)學(xué)語言的規(guī)范表達(dá)，有效的突出了

重點(diǎn)。難點(diǎn)的突破借助了圖形直觀。讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，也積累了數(shù)學(xué)思考、問

題解決的經(jīng)驗(yàn)，有力的增進(jìn)了情感態(tài)度的發(fā)展。

評(píng)測練習(xí)

1.如圖，已知AD是AABC的8c邊上的高，下列能使“8。絲A4C。

的條件是()

A.AB=ACB.4c=90°C.BD=ACD.ZB=45°

2.下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，請畫圖舉出反例.

(1)兩邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(2)一個(gè)銳角和一條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.

3.已知：如圖，。是AABC的邊BC的中點(diǎn)，OEJ_AC,8FJ_AC,垂足分別為點(diǎn)E,F,且DE=DF.

求證：^ABC是等腰三角形.

4.已知:如圖，在A4BC和及4'8'C'中,NACB=N4'C'B'=90°,

CDA.AB,C'Z)'_LA'B',垂足分別是點(diǎn)D,D',并且CD=C'D，AC=A'C\

求證：(1)(2)AB=A'B,.

cc

課標(biāo)分析

從課程內(nèi)容來看，本節(jié)課屬于“圖形與幾何”中"圖形的性質(zhì)”部分.依據(jù)課標(biāo)的要求，我從

以下四個(gè)方面設(shè)定了課程目標(biāo)，分別是：1.知識(shí)技能：（1）掌握判定直角三角形全等的“斜

邊、直角邊”定理.