2023-2024學(xué)年四川省眉山市重點中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省眉山市重點中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.在空間直角坐標(biāo)系中，點M(1,2,3)關(guān)于xOy平面的對稱點的坐標(biāo)是(

)A.(?1,?2,3) B.(1,?2,?3) C.(?1,2,?3) D.(1,2,?3)2.從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是(

)A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B.至少有一本政治與都是政治

C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D.恰有1本政治與恰有2本政治3.已知a=(?3,2,5)，b=(1,x,?1)，且a⊥b，則xA.4 B.5 C.6 D.74.過點P(1,?1)且垂直于l：x?2y+1=0的直線方程為(

)A.x+2y+1=0 B.x?2y?3=0 C.2x+y?1=0 D.2x?y+3=05.在如圖所示的電路中，5個盒子表示保險匣，設(shè)5個盒子被斷開分別為事件A，B，C，D，E.盒子中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是(

)A.A，B兩個盒子串聯(lián)后暢通的概率為16

B.D，E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為115

C.A，B，C三個盒子混聯(lián)后暢通的概率為12

D.6.已知A(4,0)，B(0,4)從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是(

)A.210 B.6 C.37.直線ax+y+1=0與連接A(2,3)、B(?3,2)的線段相交，則a的取值范圍是(

)A.[?1,2] B.[2,+∞)∪(?∞,?1]

C.[?2,1] D.(?∞,?2]∪[1,+∞)8.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BA.63 B.263 9.已知空間中三點A(0,1,0)、B(2,2,0)、C(?1,3,1)，則下列結(jié)論正確的有(

)A.AB與AC是共線向量 B.AB的單位向量是(255,?55,0)

C.AB與10.若三條不同的直線l1：mx+2y?6=0，l2：x+y?1=0，l3：3x+y?5=0不能圍成一個三角形，則m的取值可能為A.8 B.6 C.4 D.211.已知點P(3,4)，Q(5,2)，直線l：ax?y?2a+2=0(a∈R)，則下列說法中正確的有(

)A.直線l恒過點(1,2)

B.若直線l與線段PQ有交點，則a∈[0,2]

C.點P到直線l的距離的最大值為5

D.若a=?1，M為直線l上一點，則|PM|+|QM|的最小值為12.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1?α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1?β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1)下列說法錯誤的是(

)A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為(1?α)(1?β)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1?β)2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1?β)2+(1?β)3

D.二、非選擇題13.已知三個事件A，B，C兩兩互斥且P(A)=0.3，P(B?)=0.6，P(C)=0.2，則P(A∪B∪C)=______14.點P(2,0)關(guān)于直線l：x+y+1=0的對稱點Q的坐標(biāo)為______．15.已知a=(2,?1,2)，b=(?1,3,?3)，c=(13,6,λ)，若向量a，b,c共面，則16.在平面直角坐標(biāo)系中，定義|y1?y2|}，d(A,M)=max{|x1?x3|，|y1?為兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)的“切比雪夫距離”.又設(shè)點P及l(fā)上任意一點Q，稱d(P,Q)的最小值為點P到直線l的“切比雪夫距離”，記作d(P,l).給出下列四個命題：①對任意三點A17.已知直線l1：(a?2)x+(a?3)y+1=0，直線l2：5ax?(a+4)y+20=0．

(1)若l1//l2，求實數(shù)a的值．

(2)判斷l(xiāng)118.已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160.現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；(ii)設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．19.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA′的長度為b，且∠A′AB=∠A′AD=120°，求：

(1)AC′的長；

20.設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2?a=0(a∈R)．

(1)求證：不論a為何值，直線必過定點M；

(2)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；

(3)若直線l交x軸正半軸于點A，交y軸負(fù)半軸于點B，△AOB的面積為S，求S的最小值．21.已知△ABC的頂點B(?2,0)，AB邊上的高所在的直線方程為x+3y?26=0．

(1)求直線AB的方程；

(2)在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答．

①角A的平分線所在直線方程為x+y?2=0；

②BC邊上的中線所在的直線方程為y=3．

若_____，求直線AC的方程．

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．22.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍是茅草屋頂.”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個全等的等腰梯形，AB=4，EF/?/AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=3．

(1)當(dāng)點N為線段AD的中點時，求證：直線AD⊥平面EFN；

(2)當(dāng)點N在線段AD上時(包含端點)，求平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值的取值范圍．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由題意可得：點P(1,2,3)關(guān)于xoy平面的對稱點的坐標(biāo)是(1,2,?3)．

故選：D．

空間直角坐標(biāo)系中任一點P(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點為P4(a,b,?c)；關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點為P5(?a,b,c)；關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對稱點為2.【答案】D

【解析】解：從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，

對于A，至少有一本政治和都是數(shù)學(xué)是對立事件，故A錯誤；

對于B，至少有一本是政治與都是政治，能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；

對于C，至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)，能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；

對于D，恰有1本政治與恰有2本政治，不能同時發(fā)生，能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故D正確．

故選：D．

利用對立事件、互斥事件的定義直接求解．

本題考查對立事件、互斥事件的定義等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．3.【答案】A

【解析】解：∵a⊥b，a=(?3,2,5)，b=(1,x,?1)，

∴a?b=(?3)×1+2x+5×(?1)=2x?8=0，解得x=44.【答案】C

【解析】解：設(shè)過點P(1,?1)且垂直于l：x?2y+1=0的直線方程為：2x+y+m=0，

把點P(1,?1)代入可得：2?1+m=0，解得m=?1．

∴要求的直線方程為：2x+y?1=0，

故選：C．

設(shè)過點P(1,?1)且垂直于l：x?2y+1=0的直線方程為：2x+y+m=0，把點P(1,?1)代入解得m即可得出．

本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】D

【解析】解：對于A，A，B兩個盒子串聯(lián)后暢通的概率為P=(1?12)(1?13)=13，故A錯誤；

對于B，D，E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為P=1?15×13=1415，故B錯誤；

對于C，A，B兩個盒子混聯(lián)后不暢通的概率為P=1?(1?12)(1?13)=23，

∴A，6.【答案】A

【解析】解：如圖所示，分別作出點P關(guān)于直線AB的對稱點P′，點P關(guān)于y軸的對稱點P″，

則點P′，Q，M，P″在同一條直線上，線段P′P″即為所求，

易知：P″(?2,0)，

直線AB方程為：x+y=4，

設(shè)點P″(a,b)，

則b?0a?2×(?1)=?1a+22+b+02=4，

解得a=4，b=2.∴點P″(4,2)．

∴光線所經(jīng)過的路程是P′P″=(?2?4)2+22=210，7.【答案】D

【解析】解：由直線ax+y+1=0的方程，判斷恒過P(0,?1)，

如下圖示：

∵KPA=?1，KPB=2，

則實數(shù)a的取值范圍是：?a≤?1或?a≥2．

故a≥1或a≤?2

故選：D．

由直線ax+y+1=0的方程，判斷恒過P(0,?1)，求出KPA與KPB，判斷過P點的豎直直線與AB兩點的關(guān)系，求出滿足條件的直線斜率的取值范圍．

求恒過P點且與線段AB相交的直線的斜率的取值范圍，有兩種情況：當(dāng)AB，在P豎直方向上的同側(cè)時，(如本題)計算KPA與KPB，若KPA<KPB，則直線的斜率k∈[KPA,KPB]當(dāng)AB，在8.【答案】A

【解析】解：如圖，以A為坐標(biāo)原點，以AD，AB，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，C(2,2,0)，

B1(0,2,2)，C1(2,2,2)，

故AC1=(2,2,2)，B1C=(2,0,?2)，

設(shè)B1P=λB1C=(2λ,0,?2λ)，λ∈[0,1]，

則C1P=C1B1+B1P=(2λ?2,0,?2λ)；

設(shè)m=(x,y,z)為與AC1，B1C都垂直的向量，

則m9.【答案】CD

【解析】解：根據(jù)題意，空間中三點A(0,1,0)、B(2,2,0)、C(?1,3,1)，

則AB=(2,1,0)，AC=(?1,2,1)，

依次分析選項：

對于A，AB=(2,1,0)，AC=(?1,2,1)，

而2?1≠12≠01，則AB、AC不共線，A錯；

對于B，AB=(2,1,0)，

則AB的單位向量為AB|AB|=122+12+02(2,1,0)=(255,55,0)，B錯；

對于C，BC=(?3,1,1)，cos?AB,BC?=AB?BC|AB|?|BC|=?6+110.【答案】BCD

【解析】解：若l1//l2，則m?2=0?m+6≠0，解得m=2．

若l1//l3，則m?6=0?5m+18=0，解得m=6．

由x+y?1=03x+y?5=0，解得x=2，y=?1，即l2與l3的交點坐標(biāo)為(2,?1)，

若l1過點11.【答案】BCD

【解析】解：對于A，因為直線l的方程可化為a(x?2)=y?2，令x?2=0且y?2=0，所以直線l過定點A(2,2)，故A錯誤；

對于B，如下圖，因為直線l過定點A(2,2)，且kPA=2，kQA=0，

直線l的斜率為a，所以a∈[0,2]，故B正確；

對于C，當(dāng)直線l⊥PA時，點P到直線l的距離最大，且最大值為|PA|=5，故C正確；

對于D，如下圖，當(dāng)a=?1時，直線l的方程為x+y?4=0，

設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點為P′(m,n)，則n?4m?3=1,m+32+n+42?4=0,解得m=0，n=1，

所以P′(0,1)，所以(|PM|+|QM|)min=|P′Q|=26，故D正確．

故選：BCD．

對于A，把直線l的方程整理為a(x?2)=y?2，得出所過定點A；對于B，先求出kPA，kQA，結(jié)合圖象得出結(jié)果；對于12.【答案】C

【解析】解：對于A，由題意可知：信號的傳輸相互獨立，輸入0收到0的概率為(1?α)，輸入1收到1的概率為(1?β)，

所以采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為(1?α)(1?β)2，故選項A正確；

對于B，由題意可知：信號的傳輸相互獨立，輸入1收到0的概率為β，輸入1收到1的概率為(1?β)，

所以采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1?β)2，故選項B正確；

對于C，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，譯碼為1的情況分別為“1，1，0”、“1，0，1”、“0，1，1”、“1，1，1”，

因為輸入1收到0的概率為β，輸入1收到1的概率為(1?β)，

所以采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為3β(1?β)2+(1?β)3，故選項C錯誤；

對于D，若發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的情況有“0，0，0”、“0，0，1”、“0，1，0”、“1，0，0”，

所以其概率為(1?α)3+3α(1?α)2；

若發(fā)送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率為(1?α)，

由(1?α)3+3α(1?α)2?(1?α)=α(1?α)(1?2α)，且13.【答案】0.9

【解析】【解答】

本題考查互斥事件有一個發(fā)生的概率求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

由對立事件的概率可得P(B)，再由互斥事件有一個發(fā)生的概率可得所求．

【分析】

解：三個事件A，B，C兩兩互斥，

P(B?)=0.6，可得P(B)=1?0.6=0.4，

則P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9．

14.【答案】(?1,?3)

【解析】解：設(shè)Q(a,b)是點P(2,0)關(guān)于直線l：x+y+1=0的對稱點，

由題意得，a+22+b2+1=0ba?2=1，解得a=?1，b=?3，

所以Q(?1,?3)．

故答案為：(?1,?3)．

設(shè)Q的坐標(biāo)為15.【答案】3

【解析】【分析】

本題考查空間向量共面定理，屬于基礎(chǔ)題．

由于向量a，b,c共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一對實數(shù)m，n使得c=ma+nb，解出即可．

【解答】

解：∵向量a，b,c共面，

∴存在唯一一對實數(shù)m，n使得c=ma16.【答案】①②③

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析3個命題：

對于①，對任意三點A、B、C，若它們共線，設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，C(x3,y3)，

如圖，結(jié)合三角形的相似可得d(C,A)，d(C,B)，d(A,B)為AN，CM，AK，或CN，BM，BK，

則d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；

若B，C或A，C對調(diào)，可得d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；

若A，B，C不共線，且三角形中C為銳角或鈍角，如圖，

由矩形CMNK或矩形BMNK，d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；

則對任意的三點A，B，C，都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)，

故①正確；

對于②，設(shè)點Q是直線y=2x?1上一點，且Q(x,2x?1)，則d(P,Q)=max{|x?3|，|2?2x|}．

由|x?3|≥|2?2x|，解得?1≤x≤53，即有d(P,Q)=|x?3|，

當(dāng)x=53時，取得最小值43；由|x?3|<|2?2x|，解得x>53或x<?1，即有d(P,Q)=|2x?2|，

此時d(P,Q)的范圍是(43,+∞)，無最值，

故P，Q兩點的“切比雪夫距離”的最小值為43，②正確；

對于③，到原點的“切比雪夫距離”等于1的點，即為max{|x|,|y|}=1，若|y|≥|x|，則|y|=1；

若|y|<|x|，則|x|=1，故所求軌跡是正方形，故③正確．

綜上，①②③正確．

根據(jù)題意，依次分析3個命題：①討論17.【答案】解：(1)若l1//l2，則(a?3)×5a+(a?2)(a+4)=0，

整理得6a2?13a?8=(2a+1)(3a?8)=0，

解得a=?12或a=83．

當(dāng)a=?12時，l1：?52x?72y+1=0，l2：?52x?72y+20=0，直線l1：(a?2)x+(a?3)y+1=0，直線l2：5ax?(a+4)y+20=0.垂直，符合題意；

當(dāng)a=83時，l1：23x?1【解析】(1)直接利用直線平行的充要條件求出a的值；

(2)利用直線垂直的充要條件求出a的值．

本題考查的知識要點：直線平行和垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知得甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3：2：2，

由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，

∴應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿意者中分別抽取得3人，2人，2人．

(Ⅱ)(i)從抽取的7名同學(xué)中抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為：

{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，

{B,E}，{B,F}，{B,G}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{D,E}，

{D,F}，{D,G}，{E,F}，{E,G}，{F,G}，共21個．

(i)設(shè)抽取的7名學(xué)生中，來自甲年級的是A，B，C，

來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，

M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，

則事件M包含的基本事件有：

{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，{F,G}，共5個基本事件，

∴事件M發(fā)生的概率P(M)=521【解析】本題考查分層抽樣、用列舉法計算隨機(jī)事件所含基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．

(Ⅰ)利用分層抽樣的性質(zhì)能求出應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿意者中分別抽取得3人，2人，2人．

(Ⅱ)(i)從抽取的7名同學(xué)中抽取2名同學(xué)，利用列舉法能求出所有可能結(jié)果．

(ii)設(shè)抽取的7名學(xué)生中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，利用列舉法能求出事件M發(fā)生的概率．19.【答案】解：(1)∵在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，

且側(cè)棱AA′的長度為b，∠A′AB=∠A′AD=120°，

∴AC′=AB+BC+CC′=AB+AD+AA′，

∴AC′2=(AB+AD+AA′)2

=AB2+AD2+AA′2+2AB?AD+2AB?AA′+2AD【解析】(1)根據(jù)向量線性運算，向量數(shù)量積的性質(zhì)及定義，即可求解；

(2)根據(jù)向量線性運算，向量數(shù)量積的性質(zhì)及定義，向量夾角公式，即可求解．

本題考查向量法求解空間中兩點間距離，向量法求解線線角，屬中檔題．20.【答案】(1)證明：因為直線l的方程為(a+1)x+y+2?a=0，即a(x?1)+x+y+2=0，

聯(lián)立x?1=0x+y+2=0，解得x=1，y=?3，

故直線l過定點M(1,?3)；

(2)解：因為l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

當(dāng)直線l過原點時，可得a=2，此時直線l的方程為3x+y=0；

當(dāng)直線l不過原點時，可得a?2=a?2a+1，解得a=0，此時直線l的方程為x+y?2=0，

故直線l的方程為3x+y=0或x+y?2=0；

(3)令y=0，可得x=a?2a+1>0，

令x=0，可得y=a?2<0，

則a<?1，

此時S=12|OA||OB|=12×a?2a+1×(2?a)=?12×(a?2)2a+1，

令t=a+1【解析】(1)把已知直線方程進(jìn)行變形，聯(lián)立方程可求M；

(2)先對截距是否為0進(jìn)行分類討論，然后結(jié)合截距式方程可求；

(3)先求出直線與x，y軸的交點坐標(biāo)，然后結(jié)合三角形的面積公式表示S，進(jìn)行變形后結(jié)合基本不等式可求．

本題主要考查了直線恒過定點的應(yīng)用，還考查了直線方程的截距式，基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．21.【答案】解：(1)因為AB邊上的高所在的直線方程為x+3y?26=0，

所以直線AB的斜率為k=3，又因為△ABC的頂點B(?2,0)，

所以直線AB的方程為：y=3(x+2)，即3x?y+6=0；

(2)若選①，角A的平分線所在直線方程為x+y?2=0，

由x+y?2=0y=3x+6，解得x=?1，y=3，所以點A坐標(biāo)為A(?1,3)，

設(shè)點B關(guān)于x+y?2=0的對稱點為B′(x0,y0)，

則y0?0x0+2=1x0?22+y02?2=0，解得x0=2，y0=4，即B′坐標(biāo)為(2,4)，

又點B′(4,2)在直線AC上，所以kAC=4?32+1=13，

所以直線AC的方程為y?4=13(x?2)，即x?3y+10=0．

若選②：BC邊上的中線所在的直線方程為y=3，

由y=3y=3x+6，解得x=?1，y=3，所以點【解析】(1)由已知結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系先求出直線AB的斜率，進(jìn)而可求；

(2)若選①，由已知結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系先求出AB邊上的高所在的直線方程，然后聯(lián)立角A的平分線方程即可求出A的坐標(biāo)，再求出點B關(guān)于x+y?2=0的對稱點為B′的坐標(biāo)，進(jìn)而可求；

若選②：BC邊上的中線所在的直線方程為y=3，先求出A的坐標(biāo)，結(jié)合中點坐標(biāo)公式求出C的坐標(biāo)，進(jìn)而可求．

本題