2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）：專題21 圖形的相似（共20道）（解析版）

專題21圖形的相似（20道）一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，，相交于點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)可得，從而得到，再根據(jù)得到，從而得到，最后得到即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定，掌握相似三角形的性質(zhì)及判定方法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰三角形，．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對(duì)等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯(cuò)誤；根據(jù)時(shí)，，得到,推出，④正確．【詳解】∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)．二、填空題3．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，．點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，將四邊形沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，若，則的長(zhǎng)是．

【答案】/【分析】設(shè)交與點(diǎn)G，過點(diǎn)E作，則四邊形為矩形，，由折疊可知，，，由平行線的性質(zhì)可得，，利用勾股定理求得，即可證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，于是，，則代入計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)交與點(diǎn)G，過點(diǎn)E作，如圖，

則，∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，，∴，，∴，∴四邊形為矩形，∴，由折疊可知，，，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，

在中，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵．4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交和于點(diǎn)P，Q，以點(diǎn)P，Q為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)H，作射線交邊于點(diǎn)E；分別以點(diǎn)A，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線交邊于點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)G，連接．若，，則．

【答案】【分析】由作圖得平分，垂直平分，再根據(jù)三角形面積公式求出和的面積關(guān)系，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：由作圖得平分，垂直平分，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，掌握三角形的面積公式和相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．5．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，在，上分別截取，，使，分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)定理得到，因此，由角平分線定義推出，又，推出，得到，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】由題中作圖可知：平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了尺規(guī)作圖，角平分線定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明，得到，從而求出的長(zhǎng)，6．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】由尺規(guī)作圖可知，射線是的角平分線，由于，結(jié)合等腰三角形“三線合一”得是邊中點(diǎn)，再由，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到是邊中點(diǎn)，利用梯形中位線的判定與性質(zhì)得到即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，射線是的角平分線，由等腰三角形“三線合一”得是邊中點(diǎn)，，由平行線分線段成比例定理得到，即是邊中點(diǎn)，是梯形的中位線，，在中，，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長(zhǎng)問題，涉及尺規(guī)作圖、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、梯形中位線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握梯形中位線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中（如圖），點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則S△ADE：S△ABC＝．【答案】1：4//0.25【分析】根據(jù)題意得出DE是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出DEBC，DE=BC，證出△ADE∽△ABC，相似比為1∶2，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到答案．【詳解】∵點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)∴DE是△ABC的中位線∴DEBC，DE=BC∴△ADE∽△ABC，相似比為：DE∶BC=1∶2∴S△ADE∶S△ABC=12∶22=1∶4故答案為：1∶4【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵在于利用三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半這一性質(zhì)，證出三角形相似，以及相似比為1∶2，在利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，解出本題．8．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋輪得到，在、上分別截取、，使，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．若，，則的長(zhǎng)為________．

【答案】/【分析】根據(jù)題干條件可得，所以≌，得到，又證明得≌，，所以≌，；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，列雙勾股方程解得正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)∽，即可求出答案．【詳解】解：由題意可得，≌，，,，、是等腰直角三角形，；連接、,≌，，連接，，，≌，，，又，，≌，，連接、，，，≌，，設(shè)，，，，，，，，，得，，解得（舍），，，，，又∽，，，

故答案是．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等，勾股定理的運(yùn)用，三角形相似計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，利用條件推理證明、列出雙勾股方程計(jì)算求解是解題的關(guān)鍵．9．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，過銳角△ABC的頂點(diǎn)A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．在AF上取點(diǎn)M，使得AM=AF，連接CM并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)H．若AC=2，△AMH的面積是，則的值是．【答案】/【詳解】解：過點(diǎn)H作HG⊥AC于點(diǎn)G，∵AF平分∠CAE，DE∥BF，∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，∴AC=CF=2，∵，∴，∵DE∥CF，∴△AHM∽△FCM，∴，∴AH=1，設(shè)△AHM中，AH邊上的高為m，△FCM中CF邊上的高為n，∴，∵△AMH的面積為：，∴∴，∴，設(shè)△AHC的面積為S，∴=3，∴，∴，∴，∴由勾股定理可知：AG=，∴CG=AC﹣AG=2﹣，∴故答案為:．10．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則四邊形的面積與的面積的比值為．

【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形推出平行四邊形，根據(jù)和相似，進(jìn)而求出各個(gè)三角形的面積比，設(shè)，表示出其他三角形面積，進(jìn)而作答．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，，∴，∴，，∴，，∴同理，∵，∴，設(shè)，則，，∴∴故答案為∶【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形及三角形的相似，相似比和面積比，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的相似比表示出三角形的面積．11．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，E是上的一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)到的距離是．

【答案】【分析】如圖，由題意可得：在上，過作于，由點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，可得，，，，當(dāng)與切于點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，證明，重合，可得，，求解，證明，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，由題意可得：在上，過作于，∵點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，，，當(dāng)與切于點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，

∴，∴，重合，∴，∵矩形，∴，，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)到的距離是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)B關(guān)于直線的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，分別與相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為．

【答案】【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角和折疊的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，則，然后代值計(jì)算求出，則．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角等等，證明是解題的關(guān)鍵．13．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，E在邊上，交對(duì)角線于點(diǎn)F，于M，的平分線所在直線分別交，于點(diǎn)N，P，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④若，，則，其中正確的是．

【答案】①④【分析】如圖，記到的距離為，可得，證明，可得，，證明，可得，可得，，故①正確；證明四點(diǎn)共圓，可得，證明，，故③不正確；求解，可得，（負(fù)根舍去），，，證明，，，，證明，，求解，可得，故④正確；證明，可得，求解，則，故②不正確．【詳解】解：如圖，記到的距離為，∴，∵，正方形，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴，，∴，同理可得：，∴，∴，∴，，故①符合題意；∵，∴，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，∴，∴，故③不正確；∵，，則，∵正方形，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，（負(fù)根舍去），∴，，同理可得：，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，即，∴，故④正確；同理可得：，∴，∴，∴，則，故②不正確．綜上：正確的有①④；故答案為：①④【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，熟練的利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵，本題的難度大，是填空壓軸題．14．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD交于在E，則．

【答案】【分析】連接，證明是等邊三角形，則，，設(shè)，則，取的中點(diǎn)H，連接，求出，設(shè)，則，證明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，進(jìn)一步即可得到答案．【詳解】解：連接，

∵將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴是等邊三角形，∴，，設(shè)，則，取的中點(diǎn)H，連接，∴，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在中，，，．若的半徑為4，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，求線段的最小值；（2）如圖②所示，五邊形是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)處，點(diǎn)處是該市的一個(gè)交通樞紐．已知：，，．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個(gè)半徑為的圓型環(huán)道；過圓心，作，垂足為，與交于點(diǎn)．連接，點(diǎn)在上，連接．其中，線段、及是要修的三條道路，要在所修道路、之和最短的情況下，使所修道路最短，試求此時(shí)環(huán)道的圓心到的距離的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2）【分析】（1）連接，，過點(diǎn)作，垂足為，則，由直角三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案；（2）分別在，上作，連接，、、、．證出四邊形是平行四邊形．由平行四邊形的性質(zhì)得出．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，取得最小值．作，使圓心在上，半徑，作，垂足為，并與交于點(diǎn)．證明△△，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出的長(zhǎng)可得出答案．【詳解】解：（1）如圖①，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，

則．半徑為4，，．，，，，線段的最小值為；（2）如圖②，分別在，上作，

連接，、、、．，，，四邊形是平行四邊形．．，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，取得最小值．作，使圓心在上，半徑，作，垂足為，并與交于點(diǎn)．∴，△△，，在矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界），當(dāng)與相切時(shí)，最短，即．此時(shí)，也最短．，也最短．，，此時(shí)環(huán)道的圓心到的距離的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形和矩形，點(diǎn)、在邊上（），且點(diǎn)、、、在直線的同側(cè)；第二步，設(shè)置，矩形能在邊上左右滑動(dòng)；第三步，畫出邊的中點(diǎn)，射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），觀測(cè)、的長(zhǎng)度．

(1)如圖，小麗取，滑動(dòng)矩形，當(dāng)點(diǎn)、重合時(shí)，______；(2)小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的總成立．請(qǐng)說明理由；(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)小麗的猜想正確，理由見解析【分析】（1）證，利用相似三角形的性質(zhì)即矩形的性質(zhì)即可得解；（2）證得，同理可得，（3）由，，得，進(jìn)而有，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得證；當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接、，由，恰為邊的中點(diǎn)，得，進(jìn)而證，得，于是有，由平行線分線段成比例得，同理可證：，于是有，從而即可得解．【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，，∴是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴即，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如下圖，解：∵小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，∴，∴，同理可得，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：小麗的猜想正確，當(dāng)時(shí)，總成立，理由如下：如下圖，取的中點(diǎn)，連接、，

∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，∵恰為邊的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可證：，∵，∴，∴，∴小麗的猜想正確．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，比例的性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)以及中點(diǎn)的定義，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）正方形中，點(diǎn)在邊，上運(yùn)動(dòng)（不與正方形頂點(diǎn)重合）．作射線，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交射線于點(diǎn)．

(1)如圖，點(diǎn)在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；(2)過點(diǎn)作，垂足為，連接，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上且時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)的度數(shù)為或(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件得到，即可得到答案；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明，得到，推出為等腰直角三角形，得到答案；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，同理得到，得到為等腰直角三角形得到答案；（3）由平行的性質(zhì)得到分線段成比例．【詳解】（1）．正方形，，，，．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)（如圖），過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，四邊形是矩形．．，，，為等腰直角三角形，．．．．，．為等腰直角三角形，．．

②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)（如圖），過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，同理，．．為等腰直角三角形，．．

綜上，的度數(shù)為45°或135°．（3）解：當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)在邊上（如圖），設(shè)，則．．．，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的分線段成比例以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是射線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接，過點(diǎn)D在左側(cè)作，使，連接，點(diǎn)F，G分別是，的中點(diǎn)，連接，，．

(1)如圖1，點(diǎn)D在線段上，且點(diǎn)D不是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，與的位置關(guān)系是________，________．(2)如圖2，點(diǎn)D在線段上，當(dāng)，時(shí)，求證：．(3)當(dāng)，時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)N．若，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)垂直，(2)見解析(3)或【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)，推出，四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得到，推出與垂直，利用斜邊上的中線以及等腰三角形三線合一，得到，證明，得到，即可得出結(jié)果；（2）作于，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，同（1）推出，得到，進(jìn)而得到，變形得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，利用線段之間的等量代換，即可得證；（3）分點(diǎn)在線段上和在線段的延長(zhǎng)線上，兩種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）解：連接并延長(zhǎng)交于，

∵，∴，同理：，∴，∴，四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴與垂直；∵是的中點(diǎn)，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，又，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：垂直，；（2）作于，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

∵，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，四點(diǎn)共圓，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴是梯形的中位線，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，作于，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作，交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，

由（2）知：為等邊三角形，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴；②當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作于，作于點(diǎn)，作，交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，

同①可知：，∴，∴，∴，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查幾何的綜合應(yīng)用，難度大，屬于中考?jí)狠S題，重點(diǎn)考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，斜邊上的中線，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，構(gòu)造特殊圖形．19．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）【問題情境】如圖，在中，，．點(diǎn)D在邊上將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（旋轉(zhuǎn)角小于），連接，，以為底邊在其上方作等腰三角形，使，連接．【嘗試探究】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，易知；

如圖2，當(dāng)時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖3，寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含α的三角函數(shù)表示）．并說明理由；

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，當(dāng)，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)．若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

【答案】（1）（2），理由見解析（3）【分析】（1）先證明，可得，再證得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，在中，利用余弦定義可求，即可得出，然后把代入計(jì)算即可；（2）仿照（1）的思路即可解答；（3）方法一：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，可求，得出，設(shè)，則，利用平行線分線段成比例得出，則可求，，，，，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出．證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；方法二：如圖，過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，利用等腰三角形的性質(zhì)與判斷，平行線的性質(zhì)可證明，，證明，可得出．設(shè)，則，設(shè)，則，利用平行線分線段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，

∵，，∴，∴．∵是以為底邊的等腰三角形，，∴，．∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，H為的中點(diǎn)，∴．在中，，∴．∴．∴．又，∴；（2）解：；如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，