北京市首都師大附屬回龍觀育新學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題含解析

北京市首都師大附屬回龍觀育新學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若一個正四棱錐的側(cè)棱和底面邊長相等，則該正四棱錐的側(cè)棱和底面所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．若平面∥平面，直線∥平面,則直線與平面的關(guān)系為()A．∥ B． C．∥或 D．3．已知三角形ABC，如果，則該三角形形狀為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上選項均有可能4．已知點P為圓上一個動點，O為坐標原點，過P點作圓O的切線與圓相交于兩點A,B，則的最大值為（）A． B．5 C． D．5．在中，，，，則的面積為A． B． C． D．6．設(shè)為銳角三角形，則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積的最小值是（）A．10 B．8 C．4 D．27．設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（）A． B． C． D．8．若集合A=α|α=π6+kπ,k∈ZA．? B．π6 C．-π9．若實數(shù)x，y滿足條件，目標函數(shù)，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．010．一個幾何體的三視圖如圖（圖中尺寸單位：m），則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達式______．12．已知三個事件A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.13．如圖，海岸線上有相距海里的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西，與A相距海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西方向，與B相距海里的C處，此時乙船與燈塔A之間的距離為海里，兩艘輪船之間的距離為海里．14．計算：__________.15．一水平位置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底平行于軸，底角為，兩腰和上底長均為１的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是．16．用列舉法表示集合__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：，．其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和．若對于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)．（Ⅰ）檢驗集合與是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和．（Ⅱ）對任何具有性質(zhì)的集合，證明．（Ⅲ）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．18．已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.19．設(shè)向量，，令函數(shù)，若函數(shù)的部分圖象如圖所示，且點的坐標為.（1）求點的坐標；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及對稱軸方程；（3）若把方程的正實根從小到大依次排列為，求的值.20．設(shè)函數(shù)．（1）求；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．21．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b．①記“”為事件A，求事件A的概率；②在區(qū)間內(nèi)任取2個實數(shù)，求事件“恒成立”的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

正四棱錐，連接底面對角線，在中，為側(cè)棱與地面所成角，通過邊的關(guān)系得到答案.【題目詳解】正四棱錐，連接底面對角線，，易知為等腰直角三角形.中點為，又正四棱錐知：底面即為所求角為，答案為B【題目點撥】本題考查了線面夾角的計算，意在考察學(xué)生的計算能力和空間想象力.2、C【解題分析】

利用空間幾何體，發(fā)揮直觀想象，易得直線與平面的位置關(guān)系.【題目詳解】設(shè)平面為長方體的上底面，平面為長方體的下底面，因為直線∥平面，所以直線通過平移后，可能與平面平行，也可能平移到平面內(nèi)，所以∥或.【題目點撥】空間中點、線、面位置關(guān)系問題，常可以借助長方體進行研究，考查直觀想象能力.3、B【解題分析】

由正弦定理化簡已知可得：，由余弦定理可得，可得為鈍角，即三角形的形狀為鈍角三角形.【題目詳解】由正弦定理，，可得,化簡得，由余弦定理可得：，又，為鈍角，即三角形為鈍角三角形.故選：B.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

作交于，連接設(shè)，得，，進而，換元，得，通過求得的范圍即可求解【題目詳解】作交于，連接設(shè)，則，∴取，∴.顯然易知令，，當且僅當?shù)忍柍闪?；此時∴故選A【題目點撥】本題考查圓的幾何性質(zhì)，切線的應(yīng)用，弦長公式，考查函數(shù)最值得求解，考查換元思想，是難題5、C【解題分析】

利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形內(nèi)角和求出角C，再利用三角形的面積公式求出三角形的面積，求得結(jié)果.【題目詳解】因為中，，，，由正弦定理得：，所以，所以，所以，所以，故選C.【題目點撥】該題所考查的是有關(guān)三角形面積的求解問題，在解題的過程中，需要注意根據(jù)題中所給的條件，應(yīng)用正弦定理求得，從而求得，之后應(yīng)用三角形面積公式求得結(jié)果.6、B【解題分析】

令，得直線在x、y軸上的截距，求得三角形面積并利用二倍角公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得面積最小值即可.【題目詳解】令得直線在y軸上的截距為，令得直線在x軸上的截距為，其圍成的三角形面積：，求S的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，因為為銳角，所以，當時取最小值?1，則，故圍成三角形面積最小值為8.故選：B.【題目點撥】本題考查直線方程與三角函數(shù)二倍角公式的應(yīng)用，綜合題性較強，屬于中等題.7、D【解題分析】

根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，正項等比數(shù)列滿足，，即，，所以，又由，因為，所以.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了的等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前n項和公式，合理運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

先化簡集合A,B,再求A∩B.【題目詳解】由題得B={x|-1≤x≤3}，A=?所以A∩B=π故選：B【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題,9、C【解題分析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.【題目詳解】若實數(shù)x，y滿足條件，目標函數(shù)如圖：當時函數(shù)取最大值為故答案選C【題目點撥】求線性目標函數(shù)的最值:當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最大，在軸截距最小時，z值最?。划敃r，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.10、C【解題分析】

根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，計算即可得解.【題目詳解】該幾何體是一個半徑為1的球體削去四分之一，體積為.故選：C.【題目點撥】本題考查了三視圖的識別和球的體積計算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)圖象的最高點得到，由圖象得到，故得，然后通過代入最高點的坐標或運用“五點法”得到，進而可得函數(shù)的解析式．【題目詳解】由圖象可得，∴，∴，∴．又點在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案為．【題目點撥】已知圖象確定函數(shù)解析式的方法（1）由圖象直接得到，即最高點的縱坐標．（2）由圖象得到函數(shù)的周期，進而得到的值．（3）的確定方法有兩種．①運用代點法求解，通過把圖象的最高點或最低點的坐標代入函數(shù)的解析式求出的值；②運用“五點法”求解，即由函數(shù)最開始與軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令，)確定．12、0.9【解題分析】

先計算，再計算【題目詳解】故答案為0.9【題目點撥】本題考查了互斥事件的概率計算，屬于基礎(chǔ)題型.13、5,【解題分析】

為等邊三角形，所以算出，,再在中根據(jù)余弦定理易得CD的長．【題目詳解】因為為等邊三角形，所以．在中根據(jù)余弦定理解得．【題目點撥】此題考查余弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵點通過已知條件轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型再通過余弦定理求解即可，屬于較易題目．14、0【解題分析】

直接利用數(shù)列極限的運算法則，分子分母同時除以，然后求解極限可得答案.【題目詳解】解：，故答案為：0.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列極限的運算法則，屬于基礎(chǔ)知識的考查.15、【解題分析】如圖過點作，，則四邊形是一個內(nèi)角為45°的平行四邊形且，中，，則對應(yīng)可得四邊形是矩形且，是直角三角形，．所以16、【解題分析】

先將的表示形式求解出來，然后根據(jù)范圍求出的可取值.【題目詳解】因為，所以，又因為，所以，此時或，則可得集合：.【題目點撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值求解給定區(qū)間中變量的值，難度較易.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)，相應(yīng)集合，，集合，（Ⅱ）見解析（Ⅲ）【解題分析】解：集合不具有性質(zhì)．集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，．（II）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對共有個．因為，所以；又因為當時，時，，所以當時，．從而，集合中元素的個數(shù)最多為，即．（III）解：，證明如下：（1）對于，根據(jù)定義，，，且，從而．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也至少有一個不成立．故與也是的不同元素．可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，（2）對于，根據(jù)定義，，，且，從而．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也不至少有一個不成立，故與也是的不同元素．可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，由（1）（2）可知，．18、（1）；（2）【解題分析】

(1)將)化簡為，代入從而求得結(jié)果.(2)由,得,從而確定的范圍.【題目詳解】(1)(2)由，得解得，，即的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的化簡求值，不等式的求解，意在考查學(xué)生的運算能力和分析能力，難度不大.19、(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為；對稱軸方程為，；(3)14800【解題分析】

（1）先求出，令求出點B的坐標；（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求對稱軸方程；（3）由（2）知對稱軸方程為，，所以，，…，，即得解.【題目詳解】解:（1）由已知，得∴令，得，，∴，.當時，，∴得坐標為（2）單調(diào)遞增區(qū)間，得，∴單調(diào)遞增區(qū)間為對稱軸，得，∴對稱軸方程為，（3）由，得，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性，且由（2）知對稱軸方程為，∴，，…，∴【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查等差數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）把直接帶入，或者先化簡（2）化簡得，，根據(jù)求出的范圍即可解決．【題目詳解】（1）因為，，所以；（2）當時，，所以，所以.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的問題，對于三角函數(shù)需要記住?？嫉囊恍┬再|(zhì)：圖像、周期、