2024屆江蘇省海安市南莫中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆江蘇省海安市南莫中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若正實(shí)數(shù)滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），那么（）A．一定是等差數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列D．既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列3．圖1是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與中間一個(gè)小正三角形拼成一個(gè)大正三角形，如圖2所示，若，，則線段的長(zhǎng)為（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.54．己知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別內(nèi)，，若，則數(shù)列中最小項(xiàng)的值為（）A． B．24 C．6 D．75．己知某三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．6．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則z＝x+y的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．57．在正方體中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，K是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且平面EFG，則HK與平面ABCD所成角的正弦值的最小值是（）A． B． C． D．8．在中，角，，所對(duì)的邊為，，，且為銳角，若，，，則（）A． B． C． D．9．在中，角的對(duì)邊分別為，且.若為鈍角，，則的面積為()A． B． C． D．510．設(shè)，，，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則當(dāng)最大時(shí)，________.12．若八個(gè)學(xué)生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數(shù)據(jù)的方差是______13．已知不等式的解集為，則________.14．已知變量x，y線性相關(guān)，其一組數(shù)據(jù)如下表所示.若根據(jù)這組數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的線性回歸方程為，則______.x1245y5.49.610.614.415．若是等比數(shù)列，，，且公比為整數(shù)，則______.16．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，.（1）若，求角的值；（2）若,求的值.18．在等差數(shù)列中，已知，．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和．19．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角的正弦值.20．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是ɑ，b，c，已知，.(1)求角C；(2)求面積的最大值.21．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點(diǎn).（1）求證：平面PCD；（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

先利用基本不等求出的最小值，然后根據(jù)恒成立，可得，再求出a的范圍．【題目詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，恒成立，所以只需，，，的取值范圍為，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題以及基本不等式求最值，解題時(shí)注意“一正、二定、三相等”的應(yīng)用，本題屬于中檔題.2、C【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，，∴數(shù)列是等差數(shù)列．當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列是等比數(shù)列．綜上所述，數(shù)列或是等差數(shù)列或是等比數(shù)列考點(diǎn)：等差數(shù)列等比數(shù)列的判定3、A【解題分析】

設(shè)，可得，求得，在中，運(yùn)用余弦定理，解方程可得所求值．【題目詳解】設(shè)，可得，且，在中，可得，即為，化為，解得舍去），故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的余弦定理，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

根據(jù)兩個(gè)數(shù)列的單調(diào)性，可確定數(shù)列，也就確定了其中的最小項(xiàng)．【題目詳解】由已知數(shù)列是遞增數(shù)列，數(shù)列是遞減數(shù)列，且計(jì)算后知，又，∴數(shù)列中最小項(xiàng)的值是1．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的最值．解題時(shí)依據(jù)題意確定大小即可．本題難度一般．5、B【解題分析】

先找到三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體原圖，再求幾何體的體積.【題目詳解】由題得三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體原圖是如圖所示的三棱錐A-BCD，所以幾何體的體積為.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三視圖找到幾何體原圖，考查三棱錐體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

由約束條件畫(huà)出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【題目詳解】由實(shí)數(shù)，滿足作出可行域，如圖：聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)有最小值為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

根據(jù)題意取的中點(diǎn)，可得平面平面，從而可得K在上移動(dòng)，平面，即可HK與平面ABCD所成角中最小的為【題目詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，由E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，所以，，且，則平面平面，若K是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且平面EFG，則K在上移動(dòng)，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以HK與平面ABCD所成角中最小的為，不妨設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，在中，.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了求線面角，同時(shí)考查了面面平行的判定定理，解題的關(guān)鍵是找出線面角，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用三角形面積公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．【題目詳解】由于，有正弦定理可得：，即由于在中，，，所以，聯(lián)立，解得：，由于為銳角，且，所以所以在中，由余弦定理可得：，故（負(fù)數(shù)舍去）故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理，余弦定理，以及面積公式在三角形求邊長(zhǎng)中的應(yīng)用，屬于中檔題．9、B【解題分析】

先由正弦定理求出c的值，再由C角為銳角求出C角的正余弦值，利用角C的余弦公式求出b的值，帶入，及可求出面積．【題目詳解】因?yàn)?，，所以．又因?yàn)椋覟殇J角，所以，．由余弦定理得：，解得，所以．故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正余弦定理解三角形，三角形的面積公式，屬于中檔題．10、D【解題分析】

利用基本不等式可得，再結(jié)合代入即可得出答案．【題目詳解】解：∵，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，∴，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式求最值，要注意條件“一正二定三相等”，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)正切的和角公式，將用的函數(shù)表示出來(lái)，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.【題目詳解】故可得則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)有故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.12、1.1【解題分析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此能求出這組數(shù)據(jù)的方差．【題目詳解】八個(gè)學(xué)生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴這組數(shù)據(jù)的方差為：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案為1.1．【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的求法，考查平均數(shù)、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．13、-7【解題分析】

結(jié)合一元二次不等式和一元二次方程的性質(zhì)，列出方程組，求得的值，即可得到答案.【題目詳解】由不等式的解集為，可得，解得，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性質(zhì)，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、4.3【解題分析】

由所給數(shù)據(jù)求出，根據(jù)回歸直線過(guò)中心點(diǎn)可求解．【題目詳解】由表格得到，，將樣本中心代入線性回歸方程得.故答案為：4.3【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線方程，掌握回歸直線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，即回歸直線必過(guò)中心點(diǎn)．15、512【解題分析】

由題設(shè)條件知和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解方程并由公比q為整數(shù)，知，，由此能夠求出公比，從而得到.【題目詳解】是等比數(shù)列，

，，

，，

和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

解方程，

得，，

公比q為整數(shù)，

，，

，解得，

.故答案為：512【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用了等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.16、【解題分析】

假設(shè)正方體棱長(zhǎng)，根據(jù)//，得到異面直線與所成角，計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】假設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，因?yàn)?/，所以異面直線與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成的角，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）、.【解題分析】

（1）由先求的值，再求角即可；（2）先由求出，再根據(jù)求出即可.【題目詳解】（1）由已知，又，所以，即，或；（2）因?yàn)椋煽傻?，又因?yàn)?，所以，即，總之?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬常規(guī)考題.18、(1)9；(2)【解題分析】

（1）利用等差數(shù)列公式得到，當(dāng)時(shí)，最大為9（2）討論和兩種情況，分別計(jì)算得到答案.【題目詳解】(1)，又，所以令，得所以當(dāng)時(shí)，最大為.(2)由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以.綜上所述：【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前N項(xiàng)和最大值，絕對(duì)值求和，找到通項(xiàng)公式的正負(fù)分界處是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能證明直線平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，是的中點(diǎn)，，，，，平面平面，平面，直線平面．（2）解：，，底面，，是的中點(diǎn)，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理邊化角可求得，由的范圍可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由正弦定理得：，即又（2）由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即面積的最大值為【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值、三角形面積公式的應(yīng)用；求解面積的最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理的基礎(chǔ)上，利用基本不等式來(lái)求解兩邊之積的最大值.21、