2024屆黑龍江省牡丹江市一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆黑龍江省牡丹江市一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知圓，由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為()A．1 B．2 C． D．2．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則.其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④3．若向量，的夾角為60°，且||＝2，||＝3，則|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．84．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（）A． B． C． D．5．已知中，，，的對邊分別是，，，且，，，則邊上的中線的長為()A． B．C．或 D．或6．已知向量，，則與夾角的大小為（）A． B． C． D．7．在中，，，為的外接圓的圓心，則（）A． B．C． D．8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．39．某市在“一帶一路”國際合作高峰論壇前夕，在全市高中學(xué)生中進(jìn)行“我和‘一帶一路’”的學(xué)習(xí)征文，收到的稿件經(jīng)分類統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖．又已知全市高一年級共交稿2000份，則高三年級的交稿數(shù)為（）A．2800 B．3000 C．3200 D．340010．化簡：（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則______.12．函數(shù)的最小正周期是________．13．_______________。14．在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個頂點(diǎn)的距離至少有一個小于1的概率是________．15．若Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，8a16．將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，則所得最簡分?jǐn)?shù)為______；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，.(1)求證：是銳角三角形；(2)若，求的面積.18．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.19．如圖所示，在平面四邊形中，為正三角形.（1）在中，角的對邊分別為，若，求角的大??；（2）求面積的最大值.20．的內(nèi)角所對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．21．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求處切線長的最小值，即可得到答案．【題目詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以切線長的最小值為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

利用空間中線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)即可作答.【題目詳解】垂直于同一條直線的兩個平面互相平行,故①對；平行于同一條直線的兩個平面相交或平行，故②錯；若，，，則或與為異面直線或與為相交直線，故④錯；若，則存在過直線的平面，平面交平面于直線，，又因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，所以，故③?故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間中，直線與平面平行或垂直的判定與性質(zhì),以及平面與平面平行或垂直的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解題分析】

由已知可得||，根據(jù)數(shù)量積公式求解即可．【題目詳解】||．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查了利用數(shù)量積進(jìn)行向量模的運(yùn)算求解方法，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

由已知中直線和互相平行，求出的值，再根據(jù)兩條平行線間的距離公式求得它們之間的距離．【題目詳解】∵直線和互相平行，則，將直線的方程化為，則兩條平行直線之間的距離，＝＝＝.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩條直線平行的性質(zhì)，兩條平行線間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．5、C【解題分析】

由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中線，在中，由余弦定理即可計(jì)算AB邊上中線的長．【題目詳解】解：，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或1．如圖，CD為AB邊上的中線，則，在中，由余弦定理，可得：，或，解得AB邊上的中線或．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

根據(jù)向量，的坐標(biāo)及向量夾角公式，即可求出，從而根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【題目詳解】向量，，則；∴；∵0≤<a，b>≤π；∴<a,b>=.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角，已知向量坐標(biāo)代入夾角公式即可求解，屬于?？碱}型，屬于簡單題.7、A【解題分析】

利用正弦定理可求出的外接圓半徑.【題目詳解】由正弦定理可得，因此，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理求三角形外接圓的半徑，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【題目詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．9、D【解題分析】

先求出總的稿件的數(shù)量，再求出高三年級交稿數(shù)占總交稿數(shù)的比例，再求高三年級的交稿數(shù).【題目詳解】高一年級交稿2000份，在總交稿數(shù)中占比，所以總交稿數(shù)為，高二年級交稿數(shù)占總交稿數(shù)的，所以高三年級交稿數(shù)占總交稿數(shù)的，所以高三年級交稿數(shù)為．故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖的有關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

.故選A．【題目點(diǎn)撥】考查向量數(shù)乘和加法的幾何意義，向量加法的運(yùn)算．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解題分析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.12、【解題分析】

根據(jù)周期公式即可求解.【題目詳解】函數(shù)的最小正周期故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦型函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

本題首先可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡得出，然后根據(jù)兩角差的正弦公式化簡得出，最后根據(jù)二倍角公式以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式進(jìn)行化簡求值，考查到的公式有、、以及，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。14、【解題分析】以A,B,C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個扇形,當(dāng)P落在其內(nèi)時符合要求,∴P==.15、-7【解題分析】設(shè)公比為q，則8a1q=-a116、【解題分析】

將設(shè)為，考慮即為，兩式相減構(gòu)造方程即可求解出的值，即可得到對應(yīng)的最簡分?jǐn)?shù).【題目詳解】設(shè)，則，由可知，解得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查將無限循環(huán)小數(shù)化為最簡分?jǐn)?shù)，主要采用方程的思想去計(jì)算，難度較易.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)由正弦定理、余弦定理得，則角C最大，由余弦定理可得答案.

（2）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角形的面積公式結(jié)合（1）可得，利用面積公式可求解.【題目詳解】【題目詳解】

(1)由，根據(jù)正弦定理得，又，所以即，所以，因此邊最大，即角最大.設(shè)則即,所以是銳角三角形.（2）由（1）和，即可得解得.所以在中，且所以的面積為.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理和余弦定理，數(shù)量積的定義的應(yīng)用和求三角形面積.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）運(yùn)用兩角和的正弦公式對f（x）化簡整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間對應(yīng)求解即可.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以的最小正周期．依題意，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．由，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．【考點(diǎn)】兩角和的正弦公式、周期公式、三角函數(shù)的單調(diào)性.【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的單調(diào)性：1.三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式，然后通過同解變形或利用數(shù)形結(jié)合方法求解．關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法；2.利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，必須先看兩角是否同屬于這一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，不屬于的，可先化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．若不是同名三角函數(shù)，則應(yīng)考慮化為同名三角函數(shù)或用差值法（例如與0比較，與1比較等）求解．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由正弦和角公式,化簡三角函數(shù)表達(dá)式,結(jié)合正弦定理即可求得角的大小;（2）在中,設(shè),由余弦定理及正弦定理用表示出.再根據(jù)三角形面積公式表示出,即可結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求得最大值.【題目詳解】（1）由題意可得：∴整理得∴∴∴又∴（2）在中,設(shè),由余弦定理得：,∵為正三角形,∴,在中,由正弦定理得：,∴,∴,∵,∵,∴為銳角,,,,∵∴當(dāng)時,.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)式的化簡變形,正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,三角形面積的表示方法,正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.20、（1）；（2）5.【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理得，化簡即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面積．【題目詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，又，從而，由于，所以．（2）根據(jù)余弦定理，而，，，代入整理得，解得或（舍去）．故的面積為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）設(shè)公差為，由，可得解得，，從而可得結(jié)果；（2）由（