線性代數(shù)第三章矩陣初等變換與線性方程組

線性方程組的解設(shè)一般線性方程組為線性方程組有解，我們稱它們是相容的；如果無解，則稱它們是不相容的。方程（1）對應(yīng)的矩陣方程為其中：1稱為方程組(1)的增廣矩陣。其中為方程組(1)的系數(shù)矩陣。2稱為方程組（1）的導(dǎo)出組，或稱為（1）對應(yīng)的齊次線性方程組。當(dāng)時,齊次線性方程組齊次與非齊次線性方程組非齊次線性方程組3

定義：線性方程組的初等變換（1）用一非零的數(shù)乘某一方程（2）把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程（3）互換兩個方程的位置可以證明一個線性方程組經(jīng)過若干次初等變換，所得到的新的線性方程組與原方程組同解。對一個方程組進(jìn)行初等變換，實(shí)際上就是對它的增廣矩陣；做初等行變換初等行變換4化為行階梯形矩陣5則以矩陣（3）為增廣矩陣的方程組與方程組（1）同解。化為行最簡形矩陣6由矩陣（3）可討論方程組（1）的解的情況有唯一解。有無窮多解。特別地，方程組(1)的導(dǎo)出組，即對應(yīng)的齊次線性方程組一定有解。當(dāng)有唯一的零解。有無窮多解，即有非零解。1)若，即則方程組無解。2)若則方程組有解，當(dāng)時，7舉例說明消元法具體步驟：例：解線性方程組解：最后一行有可知方程組無解。8例：解線性方程組解：9對應(yīng)的方程組為即所以一般解為（k為任意常數(shù)）10齊次線性方程組1.齊次線性方程組（2）有解的條件定理1:齊次線性方程組有非零解定理2:齊次線性方程組只有零解推論:齊次線性方程組只有零解即即系數(shù)矩陣A可逆。11例:求齊次方程組的通解。解：初等行變換12行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為求通解即是自由未知量。令則即為任意常數(shù)。13解：初等行變換所以只有零解。14三.非齊次性線性方程組有解的條件定理3：非齊次線性方程組有解并且，當(dāng)時，有唯一解；當(dāng)時，有無窮多解。15求解非齊次方程組解：16令則為任意常數(shù)）17例k取何值時有唯一解,無窮多解或無解，有無窮多解時求出通解.解：法1：1819法2：利用Cramer法則有無窮多解，即當(dāng)時，當(dāng)時，即且時，方程組有唯一解。20所以方程組無解。21線性方程組討論例題取何值時，（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多組解解：當(dāng)時；22線性方程組討論例題(2)當(dāng)時；23線性方程組討論例題(3)當(dāng)時；原方程組有唯一解

當(dāng)時；顯然此時方程有無限多組解顯然此時方程有無限多組解24線性方程組討論例題(4)當(dāng)時；原方程組無解

當(dāng)時；原方程組有唯一解

當(dāng)時,原方程組無解

當(dāng)時；方程有無限多組解25線性方程組討論例題取何值時有解，并求出它的解解：時，無解26線性方程組討論例題時：線性方程的解為：得：27線性方程組討論例題時：線性方程的解為：得：28線性方程組討論例題解：時為何值時，有唯一解、無解或有無限多解？并在有無限多解解求通解。29線性方程組討論例題時，無解、1時，唯一解時，無窮多解30線性方程組討論例題時31設(shè)矩陣A=求矩陣A的秩32設(shè)有矩陣方程其中A=，B=，

C=，求矩陣3334是否有非零解方程組只有零解3536解線性方程組

37則方程組的解為38解線性方程組

39若齊次方程組有非零解，則的值為

即當(dāng)