微分方程的基本概念

第十二章常微分方程

OrdinaryDifferentialEquation300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類科學(xué)史上劃時(shí)代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解微分方程問題密切相關(guān).這是因?yàn)?，微積分產(chǎn)生的一個(gè)重要?jiǎng)右騺碜杂谌藗兲角笪镔|(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求.一般地，運(yùn)動(dòng)規(guī)律很難全靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)清楚，因?yàn)槿藗儾惶赡苡^察到運(yùn)動(dòng)的全過程.然而，運(yùn)動(dòng)物體(變量)與它的瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù))之間，通常在運(yùn)動(dòng)過程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們?nèi)菀撞蹲降竭@種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程.一旦求出這個(gè)方程的解，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會(huì)使你看到微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學(xué)語言.牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。

例１

一曲線通過點(diǎn)(1,2),且在該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x,求這曲線的方程.在數(shù)學(xué)上該問題歸結(jié)為求滿足微分方程和條件的函數(shù).

通過幾個(gè)具體的例題來了解微分方程的基本概念.

例２列車在直線軌道上以20的速度行駛，制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度為0.4.求列車開始制動(dòng)后行駛路程s(t)與時(shí)間t的關(guān)系和條件的函數(shù)說明

未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程,叫常微分方程.未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程,叫偏微分方程.

說明

例=

-()s”4微方在例1和2中,xdxdy2=和

0.都是常分程.幾個(gè)基本概念

微分方程

上面的關(guān)系式都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，他們都是微分方程

一般的，我們通常把含有一元未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（微分）的方程稱為常微分方程微分方程的階

微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)

叫微分方程的階

一般n階微分方程的形式為

F(x

y

y

y(n))

0或

y(n)

f(x

y

y

y(n

1))

一階的二階的說明

微分方程的解

滿足微分方程的函數(shù)叫做該微分方程的解

確切地說

設(shè)函數(shù)y

(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

如果在區(qū)間I上

F[x

(x)

(x)

(n)(x)]

0

那么函數(shù)y

(x)就叫做微分方程F(x

y

y

y(n))

0在區(qū)間I上的解

例yy22方xC=+在1中,=+和x1都程xdxdy2=的解.

在例2中

方程s

0

4的解有

s

0

2t2

C1t

C2、s

0

2t2

20t

C2和s

0

2t2

20t

說明

微分方程的解

滿足微分方程的函數(shù)叫做該微分方程的解

在例1中,

y=x2+C和y=x2+1都方程xdxdy2=的解.

在例2中

方程s

0

4的解有

s

0

2t2

C1t

C2、s

0

2t2

20t

C2和s

0

2t2

20t

通解

如果微分方程的解中含有任意常數(shù)

且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同

這樣的解叫做微分方程的通解

特解

確定了通解中的任意常數(shù)以后

就得到微分方程的特解

即不含任意常數(shù)的解叫特解

通解通解特解特解什么解？1/12/20248可分離變量方程例如：形如y

=f(x)g(y)的微分方程，稱為可分離變量方程.(1)

分離變量將方程整理為使方程各邊都只含有一個(gè)變量.的形式，1/12/20249(2)對(duì)兩邊積分兩邊同時(shí)積分，得故方程通解為

我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，

而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上.例1求解方程解將變量分離，得到

兩邊積分，即得

因而，通解為

這里的是任意的正常數(shù).牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茲(1646–1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,

他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,

所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.

他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),

系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來.(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐1713年出這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外,他對(duì)雙紐線,懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究.歐拉(1707–1783)瑞士數(shù)學(xué)家.他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,如《無窮小分析引論》,《微還寫了大量力學(xué),幾何學(xué),變分法教材.他在工作期間幾乎每年都完成800頁創(chuàng)造性的論文.他的最大貢獻(xiàn)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域,要分支(如無窮級(jí)數(shù),微分方程)與微分幾何的產(chǎn)生和發(fā)展奠定了基礎(chǔ).分學(xué)原理》,《積分學(xué)原理》等,為