提優(yōu)專題33 從全等到相似類比探究（原卷版）

專題33從全等到相似類比探究（原卷版）第一部分典例剖析類型一從全等到相似——旋轉(zhuǎn)變換典例1（2021秋?槐蔭區(qū)期中）已知點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．（1）當(dāng)α＝60°時(shí)（如圖1），①判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；②求證：AEBD=tan∠（2）當(dāng)α＝90°時(shí)（如圖2），②的結(jié)論還成立嗎？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，求出AEBD典例2（2022?泰山區(qū)一模）（1）如圖1，菱形AECH的頂點(diǎn)E、H在菱形ABCD的邊上，且∠BAD＝60°，請(qǐng)直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果（不必寫計(jì)算過(guò)程）；（2）將圖1中的菱形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2，求HD：GC：EB；（3）把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3，且AD：AB＝AH：AE＝1：3，此時(shí)HD：GC：EB的結(jié)果與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，求出變化后的結(jié)果；若無(wú)變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

典例3（2022?湘潭縣校級(jí)模擬）如圖1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在AH上，且DH＝CH，連結(jié)BD．（1）求證：BD＝AC；（2）將△BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到△EHF（點(diǎn)B，D分別與點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)），連接AE．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)（F不與C重合），若CF＝1，tanC＝3，求AE的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到時(shí)，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．典例4（2022?杭州模擬）已知，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，以AD為邊向右作等腰直角△ADE，AD＝AE，連接CE．（1）填空：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上如圖（一），可通過(guò)證明①△≌△，得到BD＝，進(jìn)而判斷②CE，CD，BC三條線段的數(shù)量關(guān)系為．（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變?nèi)鐖D（二），（1）中CE，CD，BC三條線段的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并證明．（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變，請(qǐng)你構(gòu)造出圖形，并寫出CE，CD，BC三條線段的數(shù)量關(guān)系．類型二從全等到相似——變式探究典例5（2022?坪山區(qū)一模）已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）①如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，則DECF=②如圖2，當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，則DECF=拓展研究：（2）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，且∠B+∠EGC＝180°時(shí)，求證：DECF解決問(wèn)題：（3）如圖4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，請(qǐng)直接寫出DECF典例6（2022秋?連山區(qū)校級(jí)月考）如圖，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，AC、BD交于點(diǎn)M．（1）如圖1，求證：AC與BD的數(shù)量與位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）連接MO，求證：MO平分∠BMC；（3）如圖2，∠AOB＝∠COD＝60°時(shí)，直接寫出∠AMD的度數(shù)．類型三從全等到相似——從特殊到一般典例7（2019春?方城縣期中）問(wèn)題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)，交射線CD于點(diǎn)G．若AF：EF＝4：1，求CDCG（1）嘗試探究：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是．CG和EH的數(shù)量關(guān)系是，因此CDCG=（2）類比延伸：在原題的條件下，若把“AF：EF＝4：1”改為“AF：EF＝n：1”（n＞0），求CDCG的值．（用含有n（3）拓展遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F．若AB：CD＝a：1（a＞0），BC：BE＝b：1（b＞0），則AFEF=．（直接用含有a、

專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2022春?金牛區(qū)校級(jí)月考）在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1BC1．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2．連接AA1，CC1若AA1＝43，求CC1的長(zhǎng)；（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．2．（2022秋?清鎮(zhèn)市月考）如圖1，矩形ABCD與矩形CEFG全等，點(diǎn)B，C，E和點(diǎn)C，D，G分別在同一直線上，且AB＝CE＝2，BC＝EF＝4，連接AC，CF．（1）在圖1中，連接AF，則AF＝；（2）如圖2，將圖1中的矩形CEFG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CG平分∠ACF時(shí)，求點(diǎn)G到AC的距離；（3）如圖3，將圖1中的矩形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接AF，DE，兩線相交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M是AF的中點(diǎn)．

3．（錦江區(qū)模擬）已知：在△ABC中，∠DBC＝∠ACB，BC＝2AC，BD＝BC，CD交線段AB于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，求證：DE＝2CE；（2）當(dāng)∠ACB＝120°時(shí)，①如圖2，猜想線段DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想；②如圖3，點(diǎn)F是BC邊的中點(diǎn)，連接DF，DF與AB交于G，求DGGF4．（岳陽(yáng)中考）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD為∠ACB的平分線，將∠ACB沿CD所在的直線對(duì)折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，連接AB'，BB'，延長(zhǎng)CD交BB'于點(diǎn)E，設(shè)∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．（1）如圖1，若AB＝AC，求證：CD＝2BE；（2）如圖2，若AB≠AC，試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）；（3）如圖3，將（2）中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（α+45°），得到線段FC，連接EF交BC于點(diǎn)O，設(shè)△COE的面積為S1，△COF的面積為S