專題03 實(shí)數(shù)（知識(shí)串講+熱考題型+真題訓(xùn)練）（原卷版）

專題03實(shí)數(shù)【考點(diǎn)1：平方根的】【考點(diǎn)2：利用開平方解方程】【考點(diǎn)3：算術(shù)平方根的概念及應(yīng)用】【考點(diǎn)4：算術(shù)平方根的非負(fù)性】【考點(diǎn)5：立方根的概念及性質(zhì)】【考點(diǎn)6：開方運(yùn)算中小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律】【考點(diǎn)7：平方根與立方根的綜合】【考點(diǎn)8：立方根的應(yīng)用】【考點(diǎn)9：無理數(shù)的概念】【考點(diǎn)10：實(shí)數(shù)的分類和性質(zhì)】【考點(diǎn)11：實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】【考點(diǎn)12：估算無理數(shù)范圍】【考點(diǎn)13：無理數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分問題】【考點(diǎn)14：實(shí)數(shù)大小比較】【考點(diǎn)15：實(shí)數(shù)的運(yùn)算】知識(shí)點(diǎn)1：平方根1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).注意：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.知識(shí)點(diǎn)2：平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．注意：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.知識(shí)點(diǎn)3：平方根的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)4：平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.知識(shí)點(diǎn)5：立方根的定義1.定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.注意：一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運(yùn)算.2.立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號(hào)與這個(gè)非零數(shù)的符號(hào)相同.兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).知識(shí)點(diǎn)6：立方根的性質(zhì)注意：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.知識(shí)點(diǎn)7：立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如，，，，.知識(shí)點(diǎn)8：無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).注意：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如.知識(shí)點(diǎn)9：實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).知識(shí)點(diǎn)10：實(shí)數(shù)運(yùn)算1．注意：有理數(shù)關(guān)于絕對(duì)值、相反數(shù)的意義同樣適用于實(shí)數(shù)。2．運(yùn)算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的?！究键c(diǎn)1：平方根的】1．9的平方根是（）A．±3 B．± C．±9 D．32．一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a﹣3和5﹣a，則這個(gè)數(shù)是（）A．49 B．25 C．16 D．73．的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．24．若a2＝9，b3＝﹣8，且ab＞0，則a﹣b的值為（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1或5【考點(diǎn)2：利用開平方解方程】5．求下列各式中x的值．（1）x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝64．6．解方程：（1）25x2﹣49＝0；（2）2（x+1）2﹣49＝1．【考點(diǎn)3：算術(shù)平方根的概念及應(yīng)用】7．4的算術(shù)平方根是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．8．整數(shù)100的算術(shù)平方根是（）A．10 B．±10 C．100 D．±100【考點(diǎn)4：算術(shù)平方根的非負(fù)性】9．若，則a+b的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．010．若，則yx的值為（）A．﹣6 B．﹣8 C． D．11．若，則（a+b）2023＝．【考點(diǎn)5：立方根的概念及性質(zhì)】12．實(shí)數(shù)﹣27的立方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣913．若一個(gè)數(shù)的立方根等于﹣2，則這個(gè)數(shù)等于（）A．4 B．8 C．±8 D．﹣814．若，則的值為（）A．﹣5 B．15 C．25 D．5【考點(diǎn)6：開方運(yùn)算中小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律】15．已知≈0.7937，≈1.7100，那么下列各式正確的是（）A．≈17.100 B．≈7.937 C．≈171.00 D．≈79.3716．如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.133317．已知，，那么約等于（）A．13.11 B．0.1311 C．41.47 D．0.4147【考點(diǎn)7：平方根與立方根的綜合】18．已知實(shí)數(shù)a+9的一個(gè)平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2．（1）求a、b的值．（2）求2a+b的算術(shù)平方根．19．已知7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．（1）求a，b的值．（2）求﹣8a+3b+3的平方根．【考點(diǎn)8：算術(shù)平方根和立方根的應(yīng)用】20．一個(gè)立方體的體積為64，則這個(gè)立方體的棱長(zhǎng)的算術(shù)平方根為（）A．±4 B．4 C．±2 D．221．某商店出售一種體積為36πcm3的小球，已知球的體積公式為（r為球的半徑），則這種小球的半徑為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm已知一個(gè)正方體的體積是1000cm3，現(xiàn)在要在它的8個(gè)角上分別截去8個(gè)大小相同的小正方體，使截去后余下的體積是488cm3，問截得的每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)是多少？23．某小區(qū)有一塊面積為196m2的正方形空地，開發(fā)商計(jì)劃在此空地上建一個(gè)面積為100m2的長(zhǎng)方形花壇，使長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍．請(qǐng)你通過計(jì)算說明開發(fā)商能否實(shí)現(xiàn)這個(gè)愿望？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈7.070）24．有一張面積為81cm2的正方形卡片．（1）該正方形賀卡的邊長(zhǎng)為cm；（2）現(xiàn)有一個(gè)面積為96cm2的長(zhǎng)方形卡袋，長(zhǎng)寬之比為4：3，能否將這張卡片不折疊且全部放入此卡袋？請(qǐng)判斷并說明理由．【考點(diǎn)9：無理數(shù)的概念】25．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B．3.14 C． D．026．在，﹣3.14，0，，﹣32，，﹣1.121121112…（每?jī)蓚€(gè)2之間依次多一個(gè)1）中，無理數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)10：實(shí)數(shù)的分類和性質(zhì)】27．下面4個(gè)數(shù)：，其中是有理數(shù)的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)28．下列說法正確的有（）（1）帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)；（2）立方根等于本身的數(shù)是0和1；（3）﹣a一定沒有平方根；（4）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；（5）兩個(gè)無理數(shù)的差還是無理數(shù)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)29．計(jì)算：|3.14﹣π|＝．30．計(jì)算：|3﹣|﹣|﹣2=|．31．的相反數(shù)是．【考點(diǎn)11：實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】32．如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為（）A．2.2 B．2.3 C． D．33．為了證明數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示無理數(shù)，老師給學(xué)生設(shè)計(jì)了如下材料：如圖，直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上一點(diǎn)由原點(diǎn)（記為點(diǎn)0）到達(dá)點(diǎn)A，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.1434．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為1，在點(diǎn)B的右側(cè)作一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形BACD，將對(duì)角線BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使對(duì)角線的另一端落在數(shù)軸負(fù)半軸的點(diǎn)M處，則點(diǎn)M表示的數(shù)是．35．已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，化簡(jiǎn)|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝．36．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|a+3b|+|a﹣b|的結(jié)果為．【考點(diǎn)12：估算無理數(shù)范圍】37．估計(jì)3的值在（）A．3到4之間 B．4到5之間 C．5到6之間 D．6到7之間38．若a＜＜b，其中a，b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，則ba的值為（）A．6 B．8 C．9 D．1239．估算的范圍是（）A． B． C． D．40．若，其中a是正整數(shù)，則a是（）A．1 B．1和2 C．2 D．2和3【考點(diǎn)14：無理數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分問題】41．如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，則a+b﹣＝．42．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則2a﹣b＝．【考點(diǎn)14：實(shí)數(shù)大小比較】43．比較大?。海?4．比較大?。海?）4；（2）1．45．比較大?。海究键c(diǎn)15：實(shí)數(shù)運(yùn)算】46．計(jì)算：．47．計(jì)算：．48．計(jì)算：（1）﹣22+×（1﹣）2；（2）﹣|2﹣|﹣．49．計(jì)算：|﹣5|．1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．16 D．±22．的相反數(shù)是（）A． B．﹣ C．﹣ D．3．如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a，b，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)+b＞0 B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞04．估算﹣2的值（）A．在1到2之間 B．在2到3之間 C．在3到4之間 D．在4到5之間5．如圖，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)可能是（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N6．的平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±27．?dāng)?shù)軸上表示1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣ D．﹣28．下列各數(shù)中，3.14159，，0.131131113…（相鄰兩個(gè)3之間1的個(gè)數(shù)逐次加1個(gè)），﹣π，，，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，則a﹣b的值為（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣1210．比較大?。海ㄌ睢埃尽ⅲ?、或＝”）11．8的立方根是．12．已知a、b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且，則a+b＝．13．化簡(jiǎn)：||＝．14．若實(shí)數(shù)a、b滿足|a+2|，則＝．15．已知一個(gè)正數(shù)的平方根是3x﹣2和5x+6，則這個(gè)數(shù)是．16．任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[]＝1．現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似的，①對(duì)81只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?；②只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是．17．計(jì)算：