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專題2.2絕對(duì)值的綜合【典例1】(1)閱讀下面材料:點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b,A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|,當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn),如圖1,AB=
當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí),①如圖2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊AB=②如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊AB=③如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊,AB=綜上,數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=(2)回答下列問(wèn)題:①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_______,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是_______.②數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是_______,如果AB=2,那么x為_(kāi)______(3)探索規(guī)律:①當(dāng)x-1+x-2有最_______(填“大”或“小”)值是②當(dāng)x-1+x-2+x-3有最小_______(填“大”或“?、郛?dāng)x-1+x-2+x-3+x-4有最_______(填“大”或(4)規(guī)律應(yīng)用工廠加工車間工作流水線上依次間隔2米排著9個(gè)工作臺(tái)A、B、C、D、E、F、G、H、I,一只配件箱應(yīng)該放在工作_______處,能使工作臺(tái)上的工作人員取配件所走的路程最短,最短路程是_______米.(5)知識(shí)遷移x+4-【思路點(diǎn)撥】(2)①根據(jù)兩點(diǎn)間距離的求法直接求解即可;②根據(jù)兩點(diǎn)間距離的求法直接寫(xiě)出即可;(3)①根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知,當(dāng)1≤x≤2時(shí),x-1+x-2有最小值②根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知,當(dāng)x=2時(shí),x-1+x-2+③根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知,當(dāng)x=2或x=3時(shí),x-1+x-2+(4)以E點(diǎn)為原點(diǎn),1米為一個(gè)單位長(zhǎng)度,A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在數(shù)軸上排列,根據(jù)絕對(duì)值的意義,幾何數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)可知當(dāng)x=0時(shí),x-8+x-6+(5)分三種情況對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行運(yùn)算,再求最大值和最小值即可.【解題過(guò)程】解:(2)①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是2-5=3數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是|1--3故答案為:3,4;②數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是x--1∵AB=2∴x+1=2∴x+1=2或x+1=-2,解得x=1或x=-3,故答案為:x+1;1或-3;(3)①∵x-1+x-2表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和∴當(dāng)1≤x≤2時(shí),x-1+x-2有最小值,最小值為故答案為:小,1;②x-1+x-2+x-3表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1、∴當(dāng)x=2時(shí),x-1+x-2+故答案為:小,2;③x-1+x-2+x-3+x-4表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1、∴當(dāng)x=2或x=3時(shí),x-1+x-2+故答案為:小,4;(4)以E點(diǎn)為原點(diǎn),1米為一個(gè)單位長(zhǎng)度,A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在數(shù)軸上排列,則A點(diǎn)表示的數(shù)為-8,B點(diǎn)表示的數(shù)為-6,C點(diǎn)表示的數(shù)為-4,D點(diǎn)表示的數(shù)為-2,F(xiàn)點(diǎn)表示的數(shù)為2,G點(diǎn)表示的數(shù)為4,H點(diǎn)表示的數(shù)為6,I點(diǎn)表示數(shù)為8,設(shè)配件箱應(yīng)該放在數(shù)軸上表示x的數(shù)的位置,當(dāng)x-8+∴當(dāng)x=0時(shí),x-8+x-6+∴配件箱應(yīng)該放在工作臺(tái)E處,最短路程為40米,故答案為:E,40;(5)x+4-當(dāng)x≥5時(shí),x+4-當(dāng)-4<x<5時(shí),x+4-當(dāng)x≤-4時(shí),x+4-∴x+4-x-5有最大值9,最小值1.(2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))已知有理數(shù)a,c,若a-2=18,且3a-c=A.﹣6 B.2 C.8 D.92.(2022秋·全國(guó)·七年級(jí)期末)已知a,b,c的積為負(fù)數(shù),和為正數(shù),且x=aa+bb+A.0 B.0,2 C.0,-2,1 D.0,1,-2,63.(2022秋·全國(guó)·七年級(jí)期末)|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a,|a|a+|b|A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.不確定4.(2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè))設(shè)有理數(shù)a、b、c滿足a>b>c(ac<0),且c<b<|a|A.a(chǎn)-c2 B.a(chǎn)+b+2c2 C.2a+b+c25.(2022秋·重慶·七年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中)下列說(shuō)法正確的有(
)①已知a,b,c是非零的有理數(shù),且|abc|abc=-1時(shí),則|a|a+|b|②已知a,b,c是有理數(shù),且a+b+c=0,abc<0時(shí),則b+c|a|+a+c③已知x≤4時(shí),那么x+3-x-4的最大值為7,最小值為④若a=b且|a-b|=23,則式子⑤如果定義a,b=a+b(a>b)0a=bb-a(a<b),當(dāng)ab<0,a+b<0,aA.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)6.(2022秋·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)??计谥校┮阎猘為任意有理數(shù),則a+3+3a+5+27.(2022秋·福建泉州·七年級(jí)福建省永春第三中學(xué)校聯(lián)考期中)已知|x+1|+|x-2||y-2|+|y+1||z-3|+|z+1|=36,則2016x+2017y+2018z的最大值是8.(2022秋·浙江麗水·七年級(jí)??计谥校┮阎簃=a+bc+2b+ca+3c+ab,且abc>0,a+b+c=0,則m9.(2022秋·浙江杭州·七年級(jí)??茧A段練習(xí))學(xué)習(xí)了數(shù)軸與絕對(duì)值知識(shí)后,我們知道:數(shù)軸上表示數(shù)m與數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離為m-n,則:①x-1表示的實(shí)際意義是.②x-1+x-2+x-3③|x-1+x-2+x-310.(2022秋·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)校考階段練習(xí))在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想,下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程,請(qǐng)仔細(xì)閱讀,并解答題目后提出的【探究】.【提出問(wèn)題】?jī)蓚€(gè)不為0的有理數(shù)a,b滿足a,b同號(hào),求aa【解決問(wèn)題】解:由a、b同號(hào)且都不為0可知a、b有兩種可能:①a、b都是正數(shù):②a、b都是負(fù)數(shù).①若a、b都是正數(shù),即a>0,b>0,有a=a及b=b,則②若a、b都是負(fù)數(shù),即a<0,b<0,有a=-a及b=-b所以aa+bb的值為【探究】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題:(1)已知a=3且b=7,且a<b,求(2)兩個(gè)不為0的有理數(shù)a,b滿足a,b異號(hào),求aa(3)若abc>0,則|a|a11.(2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題:(1)探究:①數(shù)軸上表示7和3的兩點(diǎn)之間的距離是;②數(shù)軸上表示-4和-9的兩點(diǎn)之間的距離是;③數(shù)軸上表示-3和5的兩點(diǎn)之間的距離是.(2)歸納:一般的,數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于.(3)應(yīng)用:①如果表示數(shù)a和3的兩點(diǎn)之間的距離是6,則可記為:|a-3|=6,那么a=.
②若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-5與2之間,求a+5+③當(dāng)a何值時(shí),a+5+
12.(2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末)人們通過(guò)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)如果早晨天空中棉絮的高積云,那么午后常有雷雨降臨,于是有了“朝有破絮云,午后雷雨臨”的諺語(yǔ).在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單情形的觀察、分析,從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納.【數(shù)學(xué)問(wèn)題】數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)b的兩個(gè)點(diǎn)A、B之間的距離該如何表示?【問(wèn)題探究】(1)觀察分析(特殊):①當(dāng)a=2,b=5時(shí),A,B之間的距離AB=3;②當(dāng)a=-2,b=5時(shí),A,B之間的距離AB=;③當(dāng)a=-2,b=-5時(shí),A,B之間的距離(2)一般結(jié)論:數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b的兩點(diǎn)A,B之間的距離表示為AB=;【問(wèn)題解決】(3)應(yīng)用:數(shù)軸上,表示x和3的兩點(diǎn)A和B之間的距離是5,試求x的值;【問(wèn)題拓展】(4)拓展:①若x-2=x-6,則x=②若x-1+x-7=8,則③若x,y滿足x-1+x-5y-1+y+1=8,則代數(shù)式13.(2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)??计谥校締?wèn)題提出】a-1+【閱讀理解】為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手.a(chǎn)的幾何意義是a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么a-1可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1的距離;a-1+a-2就可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個(gè)點(diǎn)的距離之和,下面我們結(jié)合數(shù)軸研究我們先看a表示的點(diǎn)可能的3種情況,如圖所示:如圖①,a在1的左邊,從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.如圖②,a在1,2之間(包括在1,2上),可以看出a到1和2的距離之和等于1.如圖③,a在2的右邊,從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.因此,我們可以得出結(jié)論:當(dāng)a在1,2之間(包括在1,2上)時(shí),a-1+a-2有最小值【問(wèn)題解決】(1)a-4+a-7的幾何意義是,請(qǐng)你結(jié)合數(shù)軸研究:a-4+(2)請(qǐng)你結(jié)合圖④探究a-1+a-2+a-3的最小值是,由此可以得出(3)a-1+a-2+(4)a-1+a-2+(5)如圖⑤,已知a使到-1,2的距離之和小于4,請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍是.14.(2022秋·重慶梁平·七年級(jí)統(tǒng)考期末)同學(xué)們都知道:數(shù)軸上表示x與a的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為x-a.例如7--4表示7與-4之差的絕對(duì)值,實(shí)際上也可理解為7與-4
探索:(1)數(shù)軸上表示7與-4兩點(diǎn)之間的距離是______.(2)若x-3=2,則x=______(3)x+1+x-3表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-1和3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和,請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x,使得x+1+(4)請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x,使得x+10+x+2+(5)繼續(xù)探索:2x-1015.(2022秋·浙江金華·七年級(jí)校聯(lián)考期中)【定義新知】我們知道:式子x-3的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點(diǎn)與表示有理數(shù)3的點(diǎn)之間的距離,因此,若點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,則A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=a-b.若點(diǎn)P表示的數(shù)為x(1)式子x+5在數(shù)軸上的幾何意義是____________________________________,若x+5=6,則x的值為_(kāi)________(2)當(dāng)x+3+x-1|取最小值時(shí),x可以取整數(shù)(3)當(dāng)x=_________時(shí),x+2+x+6+【解決問(wèn)題】(4)如圖,一條筆直的公路邊有三個(gè)居民區(qū)A、B、C和市民廣場(chǎng)O,居民區(qū)A、B、C分別位于市民廣場(chǎng)左側(cè)5km,右側(cè)1km,右側(cè)3km.A小區(qū)有居民1000人,B居民區(qū)有居民2000人,C居民區(qū)有居民3000人.現(xiàn)因防疫需要,需要在該公路上建一個(gè)核酸檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室P,用于接收這3個(gè)小區(qū)的全員核酸樣本.若核酸樣本的運(yùn)輸和包裝成本為每千米1元/千份,那么實(shí)驗(yàn)室P建在何處才能使總運(yùn)輸和包裝成本最低,最低成本是多少?16.(2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末)(1)閱讀:如圖,點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b,則A、B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為AB=|a-b|(2)理解:①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是;②數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是,如果AB=2,那么x=(3)運(yùn)用:③當(dāng)代數(shù)式x+1+|x-2|取最小值時(shí),相應(yīng)的x的取值范圍是④當(dāng)代數(shù)式x+1+|x-2+x-4|取最小值時(shí),相應(yīng)的x的值是(4)提升:⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按順時(shí)針?lè)较驀梢粋€(gè)小圓圈,他們分別有卡片12、6、9、3、10張.現(xiàn)在為使每人手中卡片數(shù)相等,各調(diào)幾張卡片給相鄰小朋友(可以從相鄰小朋友調(diào)進(jìn)或調(diào)出給相鄰小朋友),要使調(diào)動(dòng)的卡片總數(shù)最小,應(yīng)該做怎樣的調(diào)動(dòng)安排?最少調(diào)動(dòng)幾張?17.(2022秋·北京·七年級(jí)期末)閱讀材料:小蘭在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)發(fā)現(xiàn):若點(diǎn)M、N表示的數(shù)分別為-1、3,則線段MN的長(zhǎng)度可以這樣計(jì)算|-1-3|=4或|3-(-1)|=4,那么當(dāng)點(diǎn)M、N表示的數(shù)分別為m、n時(shí),線段MN的長(zhǎng)度可以表示為|m-n|或|n-m|.請(qǐng)你參考小蘭的發(fā)現(xiàn),解決下面的問(wèn)題.在數(shù)軸上,點(diǎn)A、B、C分別表示數(shù)a、b、c給出如下定義:若|a-b|=2|a-c|,則稱點(diǎn)B為點(diǎn)A、C的雙倍絕對(duì)點(diǎn).(1)如圖1,a=-1①若c=2,點(diǎn)D、E、F在數(shù)軸上分別表示數(shù)-3、5、7,在這三個(gè)點(diǎn)中,點(diǎn)_______是點(diǎn)A、C的雙倍絕對(duì)點(diǎn);②若|a-c|=2,則b=
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