高一數(shù)學（必修二）立體幾何初步單元測試卷及答案

高一數(shù)學（必修二）立體幾何初步單元測試卷及答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.如圖所示，己知正方形的邊長為1,它是水平放置的一個平面圖形的

直觀圖，則其原圖形的周長為（）

A.8B.2&C,4D.2+273

2.下列說法正確的是（）

A.三點確定一個平面

B.圓心和圓上兩個點確定一個平面

C.如果兩個平面相交有一個交點，則必有無數(shù)個公共點

D.如果兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行

3.正方體A8C￡>-A3|GR中，P，。，"分別是/昆AD,81G的中點，那么正方體

中過RQ,〃的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

4.某圓柱的高為2,其正視圖如圖所示，圓柱上下底面圓周及側面上的點4B,

D,F,。在正視圖中分別對應點4B,E,F,C,且AE=3EF,BF=2BC,異面

直線45,切所成角的正弦值為3,則該圓柱的外接球的表面積為（）

￡

A.20兀B.16兀C.12兀D.IOTC

5.在《九章算術?商功》中將正四面形棱臺體（棱臺的上、下底面均為正方形）

稱為方亭.在方亭ABCQ-ABCQ中，AB=2Aq=4,四個側面均為全等的等腰梯

形且面積之和為12拉，則該方亭的體積為（）

.280口28「146n14

A.----D.—C.----I）.一

3333

6.異面直線是指（）

A.空間中兩條不相交的直線

B.分別位于兩個不同平面內的兩條直線

C.平面內的一條直線與平面外的一條直線

D.不同在任何一個平面內的兩條直線

7.如圖，在正方體中，E,尸分別是A"，B|G的中點，則與直線

6F互為異面直線的是（）

A.CGB.BeC.DED.AE

8.下列說法中正確的是（）

A.三點確定一個平面

B.四邊形一定是平面圖形

C.梯形一定是平面圖形

D.兩個不同平面a和/?有不在同一條直線上的三個公共點

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2

分。）

9.在空間四邊形A8CD中，￡,￡6,“分別是48,8。,8,94上的點，當8D〃平面

EFCHB,下面結論正確的是（）

A.E,F,G,〃一定是各邊的中點B.G,“一定是CD,D4的中點

C.AE:EB=AH.HD,且BF:FC=DG:GCD.四邊形日％少是平

行四邊形或梯形

10.設b是兩條不同的直線，冬力，7是三個不同的平面，則。尸￡的一個充分條件

是（）

A.存在一條直線q

B.存在一條直線尸

C.存在一個平面/，滿足aPy,/3Py

D.存在兩條異面直線a,6,aua,bu/7,aP/?,bPa

11.如圖，在三棱錐尸-ABC中，Q4,平面ABC,AB±BC,PA=AB,D為PB的

中點，則下列結論正確的有（）

A.BC_L平面RWB.ADYPCC.平面PBCD.P3_L平面4X7

12.下列說法正確的是（）

A.垂直于同一個平面的兩條直線平行

B.若兩個平面垂直，則其中一個平面內垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平

面垂直

C.一個平面內的兩條相交直線均與另一個平面平行，則這兩個平面平行

D.一條直線與一個平面內的無數(shù)條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在三棱錐P-43c中，平面PA3_L平面ABCAABC是邊長為6的等邊三角形，

是以至為斜邊的等腰直角三角形，則該三棱錐外接球的表面積為

14.已知棱長為2的正方體內含有一個可以旋轉的小正方體，則所含的小正方體

的體積的最大值為.

15.在梯形/"9中，AB±AC,ADHBC,3c=24?=2AB=2.將梯形力靦繞/〃

所在的直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體的體積為.

16.如圖，將一個長方體用過相交的三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱

錐的體積與剩下的幾何體體積的比為,

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.(10分)四棱錐的底面舫8為直角梯形

AB=^-CD=\,E4J.平面ABCD,PA=AD=E

2

(1)求證：PDLAB-,

⑵求四棱錐P-ABCD的體積.

18.(12分)如圖，在三棱錐尸-中，△ABC是邊長為2的等邊三角形,

PB=PC.

(1)求證：BCA.PA;

(2)若PA=6,ZR4B=9O。，"為線段AC上一點，且PM=2MC,求三棱錐P-ABM

的體積

19.(12分)如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑=1,其側面展開圖是一個圓

心角為生的扇形.

3

B

(1).求此圓錐的表面積；

(2).求此圓錐的體積.

20.(12分)如圖，在四棱錐P—ABC￡>中，h，平面ABCD,AD^CD,

且AAD=C￡)=2夜，BC=4y[2,PA=2,點M在上.

(1)求證：AB±PC;

(2)若求三棱錐M-的體積.

2

21.(12分)如圖，尸是△ABC所在平面外一點，分別是PA和AB的中點,

試過點M,N做平行于AC的平面c,要求：

(1)畫出平面a分別與平面ABC,平面P8C,平面R4C的交線;

(2)試對你的畫法給出證明.

22.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，AB^AC,A.M=-AA,,QN，

連接MN.

求證：MN〃平面AB。.

參考答案以解析

L答案：A

解析：將直觀圖復原為原圖，如圖：

則。4=3C=1,OB=2y[2,故AB=OC=/f+Q亞丫=3,所以原圖形的周長為

14-1+3+3=8.

2.答案：C

解析：共線的三點不能確定一個平面，故A錯誤；當圓上的兩個點恰為直徑的端

點時，不能確定一個平面，故B錯誤；如果兩個平面相交有一個交點，則這兩個

平面相交于過該點的一條直線，故C正確；如果兩條直線沒有交點，則這兩條直

線平行或異面，故D錯誤.故選C.

3.答案：D

解析：由已知的三點RQ,R,確定截面的一條邊倒，延長尸0交比'的延長線于

一點，連接該點與點〃即可得到與棱8片的交點K利用基本事實3確定交線RM,

PM,同樣的方法找出其他交線，即可得到截面產(chǎn)〃，VS必/如圖所示.故選D.

解析：如圖所示，連接力凡設底面圓的圓心為0,由A￡?=3EP,正'=28。可知，

￡為卯的中點，C為BF的中點、,連接0C,貝UOC//A8,所以異面直線/昆切所

成角為NOCD或其補角，連接〃尸，DE,0D,CE,因為￡>E_LOF,所以OD=￡>尸，

則△C?產(chǎn)為等邊三角形.設圓。的半徑為r,在RtZ\OFC中，CF=\,所以

CC=42+1,在Rtacc不中，又DF=OD=r,所以CD=〃+1,由異面直線48,

切所成角的正弦值為士，可知cosNOC￡>=?.在△C8中，由余弦定理得

55

r2=(r2+l)+(/-2+l)-2(r2+l)x|,所以r=2.易知該圓柱的外接球的直徑為四，則

AB2=AF2+BF2=16+4=20,故外接球的表面積為S球=4g店=兀?A82=20兀.故選A.

解析：如圖，過點A作AEJ.48,垂足為E,由四個側面的面積之和為120可知，

側面ABSA的面積為3&,所以g(A8+A8j.A￡'=3上,則AE=0.由題意得

A￡=1(AB-AIB,)=1,在Rt^AAE中，4="+(&>=，.連接AC,4,C,,過點兒

作AFLAC,垂足為F,易知四邊形ACGA為等腰梯形，且AC=4及，AG=2應，

則AF=yf2,所以A.F^yjA^-AF2-1,所以該方亭的體積

V=l(22+42+x/2774?)xl=28,故選B.

AEB

6.答案：D

解析：對于A,空間中兩條不相交的直線有兩種可能，一個是平行（共面），另

一個是異面，所以A應排除.對于B,分別位于兩個不同平面內的直線，既可能

平行也可能相交也可能異面，如圖，就是相交的情況，所以B應排除.對于C,

如圖中的a,6可看作是平面a內的一條直線a與平面a外的一條直線b,顯

然它們是相交直線，所以C應排除.只有D符合定義.

7.答案：D

解析：因為直線4G，CC|U平面BCG81,CFu平面8CG4，所以直線CC1,B|G

與直線0c'共面.又因為瓦月分別是AQ,B|G的中點，所以B〃力E.由C尸u平

面8CG4，A￡u平面A￡>AA，且6F與］〃不平行，可得直線。'與直線力￡互為

異面直線.故選D.

8.答案：C

解析：不共線的三點確定一個平面，故A不正確；四邊形有時指空間四邊形，故

B不正確；梯形的上底和下底平行，可以確定一個平面，故C正確；兩個平面如

果相交，一定有一條交線，所有這兩個平面的公共點都在這條交線上，故D不正

確.故選C.

9.答案：CD

解析：由BDH平面EFGH和線面平行的性質定理，得BDHEH,BD//FG,則

AE:EB=AH:HD,且跳1:FC=DG:GC,且EH//FG,所以四邊形鎮(zhèn)1G〃是平行四

邊形或梯形.故選CD.

10.答案：CD

解析：對于選項A,若存在一條直線則aP尸或，與尸相交.

若aP夕，則存在一條直線。，使得“Pa,aP0,

所以選項A的內容是的一個必要條件而不是充分條件；

對于選項B,存在一條直線aMua,“P/?,則a尸萬或a與0相交.

若aP0,則存在一條直線a,aua,aP/?,

所以，選項B的內容是。尸￡的一個必要條件而不是充分條件；

對于選項C,平行于同一個平面的兩個平面顯然是平行的，故選項C的內容是

aP"的一個充分條件；

對于選項D,可以通過平移把兩條異面直線平移到其中一個平面/中，成為相交

直線，由面面平行的判定定理可知/Pa,7尸氏則

所以選項D的內容是々尸夕的一個充分條件.

故選：CD.

11.答案：ABC

解析：因為以_L平面所以小_L8C,又8C_LA8,PAAB=A,PA,A8u平

面446,所以BCJ■平面為6,故A正確；

由8c_L平面為6,得3C_LA￡>,又PA=A3,〃是陽的中點，所以A￡>_LP3,又

PBBC=B,PB,BCu平面PBC,所以AD_L平面如C,所以ADJ_PC,故B,C

正確；

由BC_L平面為6,得3c_LPB,因此小與W不垂直，從而加不與平面49c垂

直，D錯誤.故選A,B,C.

12.答案:ABC

解析：由線面垂直的性質定理知，垂直于同一個平面的兩條直線平行,A正確；由

面面垂直的性質定理知，若兩個平面垂直，則其中一個平面內垂直于這兩個平面

交線的直線與另一個平面垂直,B正確；由面面平行的判定定理知，一個平面內的

兩條相交直線均與另一個平面平行，則這兩個平面平行,C正確；對于D,這條直線

有可能在這個平面內，D錯誤.故選ABC.

13.答案：487t

解析：如圖，

在等邊三角形中，取4?中點尸，設其中心為0,

由AB=6,^CO=-CF=2y/3.

3

zse鉆是以鉆為斜邊的等腰直角三角形，

F為的外心，則。為棱錐P-ABC的外接球球心,

則外接球半徑R=OC=.

二該三棱錐外接球的表面積為4兀義(2>/§)~=48兀.

故答案為：487t.

14.答案：鹿

9

解析：設棱長為2的正方體的內切球的半徑為r,

則2r=2,解得/-1.設所求的小正方體的棱長為a,則3/=(2r)2,

所以。=￡=凳，所以小正方體體積的最大值為"

15.答案：\

解析：梯形力靦如圖所示，AB=\,BC=2,ABA.AC,:.AC=y/3,ZACB=-

6

?3皿=嚕浮邛，解得8=L過點”作AWC于點A則,

=...旋轉體是底面半徑為亞，高為2的圓柱，挖去2個底面半徑為包，

222

高為工的圓維，則所圍成的幾何體的體積

2

..（6丫cc1（百丫15

V=7IX——x2-2x-X7tX——X—=一兀.

23224

16.答案：1:47

解析：設長方體的相交的三條棱長分別為a,b,c,則所截棱錐的體積

V.=-x—x—ax—bx—c=—abc,剩下的幾何體的體積％=abc--^—abc=—abc,所

'322224824848

以體積比為1:47.

17.答案：（1）.證明：因為Q4_L平面43CQ,A8u平面ABCD

所以

又因為48J_AO,ADryPA=A

所以4J_L平面PAD

又POu平面心。所以

（2）?解：S梯形ABS=；（A8+8AAO=￥?

又B4J,平面ABCD

136

所以他棱錐=3XS梯形A8CZ/PA=一X---------X尺|

32

解析:

p

w

18.答案：（1）B

如圖，取比中點〃，連接如，因為P3=PC,所以P￡）_L3C.因為"BC為等

邊三角形，所以A￡）_L3c.又4）PD=D,ADu平面皿）,P￡>u平面皿），所

以8c_L平面小T）,又因為fiAu平面皿）,所以8C_LPA.

（2）因為NPA8=90,所以E4_LAS,由（1）知，又因為E4L3C,ABBC=B,

A8u平面ABC,8Cu平面ABC,所以R4_L平面ABC.因為△43C是邊長為2的

等邊三角形，所以4小=6，因為PM=2MC,所以

VP-ABM=^VP-ABC=|X^-S，AABC-PA=|X|X^X^=|.

19.答案：⑴.4兀；（2）.還兀

3

解析：（1）.因為|。川=1,所以底面圓周長為2兀，所以底面圓的面積為兀，

所以弧Afi長為2兀，又因為/8SA=空，則有SA.空=2兀，所以SA=3,扇形AS3

33

面積為S=1x2兀*3=3兀，所以圓錐的表面積兀+3兀=4兀

2

（2）