高中數(shù)學(xué)《平面與平面垂直的判定》導(dǎo)學(xué)案

第二課時平面與平面垂直的判定

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.理解二面角的有關(guān)概念.2.會求簡單的二面角的大小.3.

掌握兩平面垂直的判定定理.

|課前自主學(xué)習(xí)|

【主干自填】

1.二面角及其平面角

(1)半平面：一個平面內(nèi)的一條直線，把這個平面分成四兩部分,其中的理

每一部分都叫作半平面.

(2)二面角：從一條直線出發(fā)的眄兩個半平面所組成的圖形叫作二面角,這

條直線叫作二面角的四棱,這兩個半平面叫作二面角的螞面」

(3)二面角的記法.

如圖，記作：二面角/a—AB—6.

(4)二面角的平面角.

以二面角的棱上國I任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作國垂直于棱的兩

條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是因直角的二面

角叫作直二面角.

如圖二面角a—I—B,

若有①。因j

②。4回a,08園夕;

③04圜，/,OB^11,

則NAOB就叫作二面角a—/一夕的平面角.

2.兩個平面互相垂直

(1)兩個平面互相垂直的定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是回直二

面角,就說這兩個平面互相垂直.

【即時小測】

1.思考下列問題

(1)如何用字母來記作二面角？

提示：如圖，

棱為A8,面分別為a,￡的二面角記作二面角a—A3一夕.有時為了方便，也

可在a,4內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點P,Q,將這個二面角記作二面角P

一48一。.如果棱記作/,那么這個二面角記作二面角a一/一4或「一/一0.

(2)判定兩個平面互相垂直，除了定義外，還有其他的判定定理嗎？

提示：面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那

么這兩個平面互相垂直.這個定理簡稱“線面垂直，則面面垂直”.

直線平面￡

符號語言表示:=＞平面a_L平面區(qū)

直線基平面a

2.下列說法:

①兩個相交平面組成的圖形叫作二面角；

②異面直線。、b分別和一個二面角的兩個面垂直，則。、

b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補；

③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小

角；

④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系.

其中正確的是（）

A.①③B.②④C.③④D.①②

提示：B

3.設(shè)/是直線，a,4是兩個不同的平面（）

A.若/〃a,l//p,則a〃4B.若/〃a,則a,4

C.若a邛,l±a,貝IJLQD.若a_L夕，l//a,則/，夕

提示：B對于選項A,兩平面可能平行也可能相交；對于選項C,直線I

可能在夕內(nèi)也可能平行于夕；對于選項D,直線/可能在夕內(nèi)或平行于夕或與夕

相交.

4.如圖，已知：雨垂直于圓。所在平面.是圓。的直徑，。是圓周上

一點.則圖中垂直的平面共有_______對.

提示：3平面PBCL平面PAC-,平面%平面ABC;平面布8,平面ABC

課堂互動探究

題型一面面垂直的判定

例1如圖，四棱錐P—ABC。的底面A8CO是正方形，平面A8CZ）,

點E在側(cè)棱上.求證：平面AECL平面PBD

I>

E

［證明］平面ABC。，AC平面ABC。,

：.PD±AC.

又ABC。為正方形，AC±BD,PDCBD=D,

.,.AC_L平面PBD.又AC平面AEC,

二平面AECJ_平面PBD.

類題通法

證明平面與平面垂直常用的兩種方法

(1)證明一個平面過另一個平面的一條垂線.

(2)證明二面角的平面角是直角.

［變式訓(xùn)練1］在四面體A—8CO中，BD=y/2a,AB=AD=CB=CD=AC=

a,如圖.

求證：平面A3。_L平面BCD

證明?.?△A3。是等腰三角形，

二取80的中點E,連接AE,CE,則AELBD.

1S

=

在△A8。甲，ABCI9BE=^BD=2a,

：.AE=y/AB2-BE2=^a.同理CE=^a.

在AAEC中，AE=CE=^a.AC=a,

:.AC2=AE2+CE2,J.AELCE.XBDCCE=E,

平面BCD.又AE平面ABD,

二平面ABO_L平面BCD.

題型二面角

例2如圖所示，正方體ABCD-AIBCIOI中，E為AAi中點，求平面

和底面A8CO所成二面角的正切值.

［解］延長BE和BA交于點E連接OF,則OE是所求二面角的棱,

是A4i的中點，故BiE=EF,從而Ab=AB=CD,

二四邊形"CO為平行四邊形，：.DF//CA.

VCA1BD,：.DFA.DB.

：Bi8,平面ABC。，：.BB\LDF,OF,平面88i￡),

故B\DLDF.

：.NBiDB是所求二面角的平面角.

=

二在中，D?

RtZ\Bi5Z)tnn^.B\DBLyUZ

故平面BlDE與底面ABCD所成二面角的正切值為奇.

類題通法

求二面角大小的步驟

(1)找出這個平面角.

(2)證明這個角是二面角的平面角.

(3)作出這個角所在的三角形，解這個三角形，求出角的大小.

［變式訓(xùn)練2］如圖所示，在△ABC中，ABLBC,SA_L平面ABC,OE垂直

平分SC,且分別交AC,SC于D,E,SA=AB,SB=BC,求二面角七一8。一C

的大小.

解；SA_L平面ABC,

/.SA±AC,SA±BC,SA±AB,SA±BD.

由已知SCLED,SE=EC,SB=BC.

：.SC±BE,:DECBE=E,平面BE。,

：.SC±BD.

又,.?BOLSA,SCASA=S,平面SAC.

VAC平面SAC,/.BD1AC.

同理8O_L￡>E,即NEOC是二面角E—OB—C的平面角.

設(shè)SA=1,則SA=AB=1,而

：.SB=BC=?：.SC=2,

在RtZ\SAC中，ZDC5=30°,：.ZEDC=60°.

二二面角E-BD-C為60°.

題型三線而至直而面垂直的舞言應(yīng)用

例3如圖，以_1。0所在的平面，是。。的直徑，。是。。上一點，AE

_LPB于E,4尸，尸。于E求證：

(1)平面AEV，平面PBC；

(2)PBkEF.

［證明］是。。的直徑，。在圓上，

/.AC1BC.X山J?平面ABC,

又ACC/M=A,

/.BC1,平面PNC.又AF平面PAC,

：.BC±AF.^AF±PC,PCCBC=C,

.?.ARL平面PBC.又AF平面AEF,

二平面AE凡L平面PBC.

⑵由（1）知AEL平面PBC,：.AF±PB.

又AELPB,AEHAF=A,

，PB，平面AEE又EE平面AEF,PB1EF.

類題通法

解決線線、線面、面面垂直關(guān)系要注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即線線垂

直今線面垂直與面面垂直.

［變式訓(xùn)練3］如圖，ZVIBC為正三角形，ECU平面ABC,BD//CE,且CE

=CA=2BD,M是E4的中點，求證：

(1)￡>E=DA；

(2)平面BDMA,平面ECA；

(3)平面平面ECA.

證明(1)如圖，取EC的中點/，連接OF.

因為￡C±平面ABC,BC平面ABC,所以EC±BC.

又BD〃CE、所以3。1.平面ABC,

所以8OLBC,BDLBA.

因為CE=C4=2B。，所以四邊形。BC尸是矩形，所以。尸，CE.

因為=BC=AB,EF=BD,ZEFD=ZDBA=90°,

所以△￡)￡?且△AOB,所以O(shè)E=ZM.

⑵取AC的中點N,連接MMBN,則MN延EC,

而所以MN^DB,

所以點N在平面BDM內(nèi).

因為EC_L平面ABC,BN平面ABC,所以ECJ_BN.

因為△ABC是正三角形，點N為AC的中點，

所以BNLAC.

又ACnEC=C,所以BN_L平面ACE.

因為8N平面所以平面區(qū)DM,平面EC4.

⑶因為DM//BN,3NL平面ACE,

所以平面ACE.

入DM平面AOE,所以平面DEAJ_平面ECA.

培優(yōu)部落

易錯點〉判斷面面位置關(guān)系時依據(jù)圖形直觀得出

［典例］如圖所示，已知ABCO-AIBGDI為長方體，且底面A3C。為正方

形，試問截面ACBi與對角面8囪。。垂直嗎？

［錯解］設(shè)AC與BD的交點為O,連接B\O,則BO是截面ACBi與對角面

的交線.因為外。是底面的斜線，所以截面ACBi與底面不垂直，從而截

面ACBi不可能與對角面BBiDiD垂直.

［錯因分析］錯解中由B0與底面不垂直，就斷定截面ACB不可能與對角

面83QQ垂直，這是沒有根據(jù)的.

［正解］因為四邊形ABC。是正方形，所以ACLBD

因為8Bi_L底面A8CD,所以

又BDCBBi=B,故AC,對角面BBiDiD

又AC截面ACBi,所以截面AC3i_L對角面BBiDiD

課堂小結(jié)

1.證明兩個平面垂直的主要途徑：

(1)利用面面垂直的定義；

(2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么

這兩個平面互相垂直.

2.證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直f線面垂直一面面垂直來實

現(xiàn)的，因此，在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的

相互轉(zhuǎn)化.每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達到目的.

3.下面的結(jié)論，有助于判斷面面垂直：

(l)m//n,〃z_La,n4今a_LQ；

(2)m±ot,〃-1_6，〃=a_L夕；

(3)a〃6，

隨堂鞏固訓(xùn)練|

1.如圖，在正方體ABCD—AiBiC。中，二面角。i—AB—C的大小是()

H

A.30°B.45°C.60°D,90°

答案B

解析易知AB_LAO,ABLADi,所以NO/。就是二面角"一AB—C的平

面角，顯然NOiAO=45。，所以二面角￡>i-A3—C的大小是45。.

2.在空間四邊形ABCO中，AD±BC,BD±AD,則必有（）

A.平面平面AOC

B.平面ABO，平面ABC

C.平面BCO_L平面AOC

D.平面ABUL平面BCD

答案C

解析因為AOJ_BC,BDLAD,BDCBC=B,所以AD,平面BCD.又AD

平面AOC,所以平面BCD,平面AOC.故選C.

3.直線/_L平面a,l平面夕，則a與4的位置關(guān)系是（）

A.平行B.可能重合

C.相交且垂直D.相交不垂直

答案C

解析根據(jù)面面垂直的判定定理可知C正確.

4.已知直線機，〃與平面a,}y,下列可能使a,4成立的條件是（）

A.al.y,夕J-yB.aC￡=m,ml.n,nB

C.m//a,m//（iD.m//a,〃2_1_4

答案D

解析選擇適合條件的幾何圖形觀察可得，A中a與￡相交或平行；B中a,

夕相交，但不一定垂直；C中a〃4或a與4相交.

|課后課時精練|

S時間：25分鐘

1.下列說法中正確的是（）

A.平面a和6分別過兩條互相垂直的直線，則a,尸

B.若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面夕內(nèi)的兩條平行直線，則&，4

C.若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面廠內(nèi)的兩條相交直線，則a,4

D.若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面￡內(nèi)的無數(shù)條直線，則a，A

答案C

解析當(dāng)平面a和4分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面a和夕有可

能平行，故A錯；由平面與平面垂直的判定定理知，B、D錯，C正確.

2.設(shè)a,夕是兩個不同的平面，/,機是兩條不同的直線，且/a,m4.（）

A.若少,則a_L尸B.若a,夕，則/L”

C.若/〃夕，則a〃4D.若a〃4，則/〃〃？

答案A

解析根據(jù)面面垂直的判定定理進行判斷.對于面面垂直的判定，主要是兩

個條件，即/a,11/3,如果這兩個條件存在，則aJ_R故選A.

3.如圖所示，四邊形ABCO為正方形，直線孫，平面A8CD,則在平面加8、

平面出。、平面PCD、平面PBC及平面48co中，互相垂直的有（）

A.3對B.4對C.5對D.6對

答案C

解析互相垂直的平面有：平面出8,平面雨。，平面以8,平面ABC。，

平面出。，平面ABC。，平面出8_L平面PBC,平面必。，平面PCD共5對.

4.如圖所示，定點A和8都在平面a內(nèi)，定點P切，PBLa,C是平面a內(nèi)

異于A和8的動點，KPCLAC,則△48。為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.無法確定

答案B

解析由#PB±AC,XPC1AC,3.PBQPC=P,故AC,平面

PBC,所以ACUBC,則△ABC為直角三角形.

5.在正四面體%中，D、E、產(chǎn)分別是A3、BC、CA的中點，下面四個

結(jié)論中不正確的是（）

A.3C〃平面PDF

B.。凡L平面PAE

C.平面PDF,平面ABC

D.平面鞏平面ABC

答案C

解析如右圖所示，

?.?正四面體以中，D、E、產(chǎn)分別是AB、BC、C4的中點，J.BC//DF,

...BC〃平面PDF.故A正確.

由題可知BC_LPE,BC±AE,

.,.BC_L平面PAE,

:DF//BC,：.DFA.平面故B正確.

,/BC1.平面PAE,：.平面ABCL平面PAE.

故D正確.

6.已知孫垂直于正方形A8CO所在的平面，連接P8,PC,PD,AC,BD,

則下列垂直關(guān)系正確的是（）

①平面以8_1平面PBC；

②平面應(yīng)3，平面MD；

③平面附83_平面PCD；

④平面出8_1_平面PAC.

A.①②B.①③C.②③D.②④

答案A

解析易證8C_L平面則平面朋8,平面PBC.又AO〃3C,故4。_1_平

面出3,則平面必。_L平面RVB.因此選A.

7.在正四棱錐V—ABCD中，底面邊長為2,側(cè)棱長為小，則二面角V-AB

一。的大小為.

答案60°

解析連接AC,BD交于點、O,連接VO,

貝！］V。，平面ABC。，取AB的中點E,連接VE,OE,貝?。軴ELAB,

所以NVE。是二面角V-AB-C的平面角.由題意，知OE=1,VE=2,所以N

VEO=60°.

8.已知a,b,c為三條不同的直線，a,仇y為三個不同的平面，給出下列

說法：

①若a邛,尸_1_>,則a〃y；

②若aa,bc0,a_Lb,a_Lc,則aJL夕；

③若a_l_a,b0,a//b,則a_L民

其中正確的說法是.（填序號）.

答案③

解析如圖,

在長方體ABC。一AiBGDi中，記平面AODiAi為a,平面ABC。為夕，平面

A8B4為片顯然①錯誤；②只有在直線A,c相交的情況下才成立；易知③正確.

9.以等腰直角三角形斜邊上的高為棱，把它折成直二面角，則折疊后原等腰

直角三角形兩條直角邊的夾角