福建省2021年中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合要求的.

1.在實數(shù)及，g，0,一1中，最小的數(shù)是（）

A.-1B.OC.gD.72

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正數(shù)大于0,。大于負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.

【詳解】解：在實數(shù)逝，0,-1中，

友,g為正數(shù)大于0,

-1為負數(shù)小于0,

??.最小的數(shù)是：-1.

故選：A.

【點睛】本題考查了實數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)正數(shù)大于0,。大于負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的

反而小，可以直接判斷出來.

2.如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）

【解析】

【分析】根據(jù)從上面看到的圖形即可得到答案.

【詳解】從上面看是一個正六邊形，中間是一個圓,

故選：A.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.看得見部分的輪廓線要畫成實

線，看不見部分的輪廓線要畫成虛線.

3.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校4與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點C,利用測量儀

器測得NA=6()o,NC=9()°,AC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離A3等于()

A.2kmB.3kmC.26kmD.4km

【答案】D

【解析】

【分析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個銳角，求斜邊的長.

【詳解】=60°,NC=90°,AC=2km

.A—A。xno1

/.cosA-----,cos60=一

AB2

“nAC2

/.AB=------=-=4km

cosA1-

2

故選D.

【點睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵.

4.下列運算正確的是()

A.2a—a=2B.(a-1)2=a2-lC.?6-o3=a2D.(2a3)2=4?6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)不同的運算法則或公式逐項加以計算，即可選出正確答案.

【詳解】解：A：2。一。=(2—1)。=。，故A錯誤；

B：-a2—2a+l,故B錯誤；

C:6f63=,故C錯誤；

D:())2=227/)2=43*2=46.

故選：D

【點睛】本題考查了整式的加減法法則、乘法公式、同底數(shù)幕的除法法則、積的乘方、幕的乘方等知識點,

熟知上述各種不同的運算法則或公式，是解題的關(guān)鍵.

5.某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進行量化評分，具體成績

(百分制)如表：

項目

甲乙丙T

作品

創(chuàng)新性90959090

實用性90909585

如果按照創(chuàng)新性占60%,實用性占40%計算總成績，并根據(jù)總成績擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推薦的作品是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】利用加權(quán)平均數(shù)計算總成績，比較判斷即可

【詳解】根據(jù)題意，得：

甲：90x60%+90x40%=90；

乙：95x60%+90x40%=93；

丙：90x60%+95x40%=92；

T：90X60%+85X40%=88；

故選8

【點睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計算，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵.

6.某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植

樹造林活動，2020年底森林覆蓋率達到68%,如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x,那么，符合題

意的方程是()

A.0.63(1+%)=0.68B.0.63(1+才=0.68

C.0.63(14-2x)=0.68D.0.63(1+2x)2=0.68

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)年平均增長率為X,根據(jù)2020年底森林覆蓋率=2018年底森林覆蓋率乘(l+x)2,據(jù)此即可列

方程求解.

【詳解】解：設(shè)年平均增長率為為由題意得：

0.63(1+x)2=0.68,

故選：B.

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，列出方程即可.

7.如圖，點尸在正五邊形MCDE的內(nèi)部，AABF為等邊三角形，則NAR7等于()

A.108°B.120°C.126°D.132°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求出/ABC的度數(shù)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB=BC,根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)可得乙48F=NAFB=60。，AB=BF,可得BF=BC,根據(jù)角的和差關(guān)系可得出NF8C的度數(shù)，根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)可求出N8FC的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案.

【詳解】：/WCDE是正五邊形，

(5-2)x180°

AZABC=------------------=108°,AB=BC,

5

???/為等邊三角形，

AZABF=ZAFB=60°,AB=BF9

：.BF=BC,ZFBC=AABC-ZABF=4S°,

???ZBFC=；(180°-ZFBC)=66°,

???ZAFC=ZAFB+ZBFC=126°,

故選：c.

【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是

解題關(guān)鍵.

8.如圖，一次函數(shù)丁=履+。僅＞0）圖象過點（一1,0）,則不等式—1）+/?＞0的解集是（）

x>-lC.x>()D.x>\

【答案】c

【解析】

【分析】先平移該一次函數(shù)圖像，得到一次函數(shù)y=k（x-l）+b（左＞0）的圖像，再由圖像即可以判斷出

%(x—l)+Z?>0的解集.

【詳解】解：如圖所示，將直線丁=辰+可左＞0）向右平移1個單位得到丁=左（%—1）+可攵＞0）,該圖

像經(jīng)過原點，

由圖像可知，在y軸右側(cè)，直線位于X軸上方，即），＞0,

因此，當x＞0時-，k（x-l）+人＞0,

【點睛】本題綜合考查了函數(shù)圖像的平移和利用一次函數(shù)圖像求對應(yīng)一元一次不等式的解集等，解決本題

的關(guān)鍵是牢記一次函數(shù)的圖像與一元一次不等式之間的關(guān)系，能從圖像中得到對應(yīng)部分的解集，本題蘊含

了數(shù)形結(jié)合的思想方法等.

9.如圖，A3為OO的直徑，點P在A8的延長線上，與OO相切，切點分別為C,D.若

AB=6,PC=4,貝iJsinNCW等于（）

【答案】D

【解析】

【分析】連接OC,CP,OP是。。的切線，根據(jù)定理可知/OCP=90°,ZCAP=ZPAD,利用三角形的

一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和可求NC4D=/COP,在Rt^OCP中求出sinNCOP即可.

【詳解】解:連接。C,

CP,OP是。。的切線，則NOCP=90°,ZCAP=ZPAD,

：.ZCAD=2ZCAP,

'：OA=OC

：.ZOAC=ZACO,

：.ZCOP=2ZCAO

：.ZCOP=ZCAD

：AB=6

0C=3

在RtZ^COP中，0C=3,PC=4

：.0P=5.

4

sinZCAD=sin/COP=—

5

故選：D.

【點睛】本題利用了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解.

10.二次函數(shù)y=一2℃+?。>0）的圖象過4一3,凹）,8（-1,%）,。（2,%），。（4,”）四個點，下列說法

一定正確的是（）

A.若,%>0，則為%>°B.若弘力〉°，則y2y3>°

c.若y2y4<°，貝|」%為<°D.若為/<0，則,必<°

【答案】c

【解析】

【分析】求出拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的開口方向和增減性，根據(jù)橫坐標的值，可判斷出各點縱坐標

值的大小關(guān)系，從而可以求解.

【詳解】解：??,二次函數(shù)了=加一2公+c（a>0）的對稱軸為：

x=--^-=--蘭=1,且開口向上，

2a2a

二距離對稱軸越近，函數(shù)值越小，

X>%>%>為，

A,若乂%>0,則為%>°不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；

B,若y%>0,則%%〉0不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；

c,若為”<°，所以乂>0,%<0,則y/<o一定成立，故選項正確，符合題意；

D,若為%<o,則M%<O不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及不等式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸及開口方向，

確定各點縱坐標值的大小關(guān)系，再進行分論討論判斷即可.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

k

11.若反比例函數(shù)y=—的圖象過點（1,1）,則上的值等于.

x

【答案】1

【解析】

分析】結(jié)合題意，將點（1,1）代入到y(tǒng)=±,通過計算即可得到答案.

X

k

［詳解】v反比例函數(shù)y=勺的圖象過點（1,1）

X

1=-,即左=1

1

故答案為：1.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，從而完成求解.

12.寫出一個無理數(shù)x,使得l<x<4,則x可以是（只要寫出一個滿足條件的x即可）

【答案】答案不唯一（如、歷，乃,1.010010001…等）

【解析】

【分析】從無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有兀的數(shù)，

【詳解】根據(jù)無理數(shù)的定義寫一個無理數(shù)，滿足l<x<4即可；

所以可以寫：

①開方開不盡的數(shù)：72,

②無限不循環(huán)小數(shù)，1.010010001....,

JT

③含有兀的數(shù)々，等.只要寫出一個滿足條件的X即可.

2

故答案為：答案不唯一（如血，匹1.010010001...等）

【點睛】本題考查了無理數(shù)定義，解答本題的關(guān)鍵掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限

不循環(huán)小數(shù)，③含有兀的數(shù).

13.某校共有1000名學(xué)生.為了解學(xué)生的中長跑成績分布情況，隨機抽取100名學(xué)生的中長跑成績，畫出

條形統(tǒng)計圖，如圖.根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識可估計該校中長跑成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是.

【答案】270

【解析】

【分析】利用樣本中的優(yōu)秀率來估計整體中的優(yōu)秀率，從而得出總體中的中長跑成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).

27

【詳解】解：由圖知：樣本中優(yōu)秀學(xué)生的比例為：一=27%,

100

,該校中長跑成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是：1000x27%=270（人）

故答案是：270.

【點睛】本題考查了利用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)圖中信息求出樣本中優(yōu)秀率作為

總體中的優(yōu)秀率，即可求出總體中優(yōu)秀的人數(shù).

14.如圖，是AABC的角平分線.若/8=90。,80=6，則點。到AC的距離是.

【答案】73

【解析】

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求得.

【詳解】如圖，過。作OE_LAC,則。到AC的距離為QE

BDC

平分NC4B,NB=90o,BD=6，

???DE=BD=8

二點。到AC的距離為6.

故答案為6.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點到直線的距離等知識，理解點到直線的距離的定義，熟知角平分

線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.已知非零實數(shù)x,），滿足y=S，則無二」+3孫的值等于_________

X+1孫

【答案】4

【解析】

【分析】由條件y=S變形得，長）=孫，把此式代入所求式子中，化簡即可求得其值.

X+1

【詳解】由y=―匚得：xy+y=x,即x-y=xy

x+l

.x-y+3xy_xy+3xy_4xy_

xyxyxy

故答案為：4

【點睛】本題是求代數(shù)式的值，考查了整體代入法求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是根據(jù)條件y==7,變形為x-產(chǎn)孫,

X+1

然后整體代入.

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AO=5,點E,F分別是邊AB,8c上的動點，點E不與A,8重合,

且石尸=A6,G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=G尸且NEGF=90°的點.現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①NGEB與NGEB一定互補；

②點G到邊AB,BC的距離一定相等;

③點G到邊AD,DC的距離可能相等;

④點G到邊AB的距離的最大值為2夜.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①②④

【解析】

【分析】①利用四邊形內(nèi)角和為360°即可求證;

②過G作GMJ_AB,GN±BC,證明4GME沿4GNF即可得結(jié)論;

③分別求出G到邊A。,DC的距離的范圍，再進行判斷;

④點G到邊AB的距離的最大值為當GELAB時;GE即為所求.

【詳解】=90°GE=GF

NGEF=45。

①???四邊形ABC。是矩形

.-.ZB=90°

?.?NEGR=90。,四邊形內(nèi)角和360°

:.NGEB+NGFB=180。

①正確.

②如圖：過G作GM_LAB,GN_LBC

ZGME=ZGNF=90°

ZGEB+ZGFB=180°,ZGEM+NGEB=180°

:"GFN=GEM

又???GE=GF

/\GMEQ4GNF(AAS)

：.GM=GN

即點G到邊AB,BC距離一定相等

.??②正確.

③如圖：過G作GNJ.Ar>,GM，CZ)

NG<AB--EF=2,GM<AD--EF=3

22

NG>AB-EFxsin45。=4—272,

GM>AD-EFxsin45°=5-2V2

:,4-2y[2<NG<2,5-2y/2<GM<3

而?.?2<5-2正

所以點G到邊AD,DC的距離不可能相等

二③不正確.

④如圖:

B

當GE_LA5時，點G到邊43的距離的最大

GE=Efxsin45°=4x也=2垃

2

④正確.

綜上所述：①②④正確.

故答案為①②④.

【點睛】本題考查了動點問題，四邊形內(nèi)角和為360°,全等三角形的證明，點到直線的距離，銳角三角函

數(shù)，矩形的性質(zhì)，熟悉矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

/1Y1

17.計算：J12+1>/3—.

【答案】G

【解析】

【分析】先化簡二次根式，絕對值，負整式指數(shù)累，然后計算即可得答案.

【詳解】V12+|V3-3|-f|1

=273+(3-73)-3

=273+3-73-3

=V3?

【點睛】本小題考查二次根式的化簡、絕對值的意義、負指數(shù)幕等基礎(chǔ)知識，熟練掌握運算法則是解題關(guān)

鍵.

18.如圖，在AABC中，。是邊8c上的點，垂足分別為E,F,且

DE=DF,CE=BF.求證：ZB-ZC.

【解析】

【分析】由OEJLAC,Of_LA3得出ZDEC=NDFB=90°.由SAS證明ADECm.DFB,得出對應(yīng)角

相等即可.

【詳解】證明：???DE，AC,OR_LA3,

/DEC=NDFB=90°.

DE=DF,

在ADEC和ADFB中，</DEC=NDFB,

CE=BF,

：.ADEC絲ADFB,

NB=NC.

【點睛】本小題考查垂線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、空間觀念與幾

何直觀.

x>3-2x@

19.解不等式組：｛x—1%-3

<1②

I26

【答案】l<x<3

【解析】

【分析】分別求出不等式組中各不等式的解集，再取公共部分即可.

【詳解】解：解不等式》之3—2x,

3x23,

解得：xNl.

解不等式上x—」1一x土—二3<1,

26

3x—3-x+3<6>

解得：x<3.

所以原不等式組的解集是：l〈x<3.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是：準確解出各個不等式的解集，再取公共部分即

可.

20.某公司經(jīng)營某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是40元.

（1）已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600元，問：該公司當月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱

數(shù)分別是多少？

（2）經(jīng)營性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：

應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤最大？最大總利潤是多少？

【答案】（1）該公司當月零售農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品80箱；（2）該公司應(yīng)零售農(nóng)產(chǎn)品300箱、批發(fā)農(nóng)產(chǎn)

品700箱才能使總利潤最大，最大總利潤是49000元

【解析】

【分析】（1）設(shè)該公司當月零售農(nóng)產(chǎn)品x箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品），箱，利用賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600

元列方程組，然后解方程組即可；

(2)設(shè)該公司零售農(nóng)產(chǎn)品機箱，獲得總利潤卬元，利用利潤的意義得到

卬=70m+40(1000-加)=30m+40000,再根據(jù)該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%可確定根的范

圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

【詳解】解：(1)設(shè)該公司當月零售農(nóng)產(chǎn)品x箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品y箱.

zif70%+40y=4600,

依題意,得x+y=100,

x-20,

解得

y=80.

所以該公司當月零售農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品80箱.

(2)設(shè)該公司零售農(nóng)產(chǎn)品機箱，獲得總利潤”元.則批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為(1000-m)箱,

?.?該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%

m<300

依題意，得w=70m+40(1000-m)=30m+40000,m<3(X).

因為30>0,所以w隨著〃，的增大而增大，

所以加=3(X)時，取得最大值49000元，

此時1000-加=700.

所以該公司應(yīng)零售農(nóng)產(chǎn)品300箱、批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品700箱才能使總利潤最大，最大總利潤是49000元.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：建立一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍解決

最值問題；也考查了二元一次方程組.

21.如圖，在中，=90°.線段EF是由線段A3平移得到的，點尸在邊8C上，AEFD

是以痔為斜邊的等腰直角三角形，且點。恰好在AC的延長線上.

(1)求證：ZADE=NDFC；

(2)求證：CD=BF.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

【分析】（1）通過兩角和等于90°,然后通過等量代換即可證明；

（2）通過平移的性質(zhì)，證明三角形全等，得到對應(yīng)邊相等，通過等量代換即可證明.

【詳解】證明：（1）在等腰直角三角形瓦甲中，ZEDF^90°,

：.ZADE+ZADF=9O°.

???ZACB=90°，

ZDFC+ZADF=ZACB=90°，

???ZADE^ZDFC.

（2）連接AE.

由平移的性質(zhì)得AE//BF,AE=BF.

：.ZEAD=ZACB=9Q°,

；?/DCF=1800-ZACB=90°,

zEAD=zdDCF.

,/「是等腰直角三角形，

；?DE=DF.

由（1）得ZADE=NDFC,

:?AAED/CDF,

AE=CD?CD-BF.

【點睛】本小題考查平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是：正確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).

22.如圖，已知線段=垂足為外

a

RA/N

（1）求作四邊形ABC。，使得點8,0分別在射線上，且AB=BC=a,ZABC=60°,CD//AB,

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)P,Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊A5,CD的中點，求證：直線A￡>,BC,PQ相交于同一點.

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)筋=a,點8在射線AK上，過點4作鉆=。；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得AB==AC,

分別過點A、B,a為半徑畫圓弧，交點即為點C；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作CD,即可得到答案；

（2）設(shè)直線8C與AO相交于點5、直線PQ與AD相交于點S'，根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，得

AnAn

—=—,從而得S'￡）=S￡>,即可完成證明.

S'DSD

【詳解】（1）作圖如下：

四邊形ABC。是所求作的四邊形；

（2）設(shè)直線8c與AD相交于點S,

DC//AB，

.SAAB

''~SD~~DC

設(shè)直線產(chǎn)。與AZ>相交于點S',

SAPA

同理麗=

QD'

???P,。分別為A5,CD的中點,

APA=^AB,QD=；DC

PAAB

'''QD~~DC

.S'ASA

??而一折

.S'D+ADSD+AD

*'-SV—-—SD-'

.ADAD

??而一而‘

S'D=SD,

...點S與S'重合，即三條直線AD,8C,PQ相交于同一點.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解.

23.“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬

a，4，G，田忌也有上、中、下三匹馬4，當,。2,且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下：

A,>A>B,>B2>C,>C2（注：A>6表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約

定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢，田忌事先了解到齊王

三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上

馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（。24,4月，與6）獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經(jīng)典案

例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求

其獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，

請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率.

【答案】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場比賽中獲勝，I；（2）不是，田忌獲勝的所有對陣是

（<4,44也。3心圖出耳），（〈fiiCA,AG）,（44,屬口），（〈GCA，44）,

（B2cl,,GA）>—

【解析】

【分析】（1）通過理解題意分析得出結(jié)論，通過列舉法求出獲勝的概率;

（2）通過列舉齊王的出馬順序和田忌獲勝的對陣，求出概率.

【詳解】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場比賽中獲勝.

此時，比賽的所有可能對陣為：

（C2Ai,AzBl,B2Ci）,（GA也

（GA，&4，AG），（GA，4G，B24），共四種?

其中田忌獲勝的對陣有

（GA，&綜&G），（c2A，4儲,44），共兩種,

故此時田忌獲勝的概率為耳=；.

（2）不是.

齊王的出馬順序為4,片,G時,田忌獲勝的對陣是（GA，A4，Bg）；

齊王的出馬順序為A，a，片時,田忌獲勝的對陣是（GA，B2G，44）；

齊王的出馬順序為B，A，G時，田忌獲勝的對陣是（44,c2A,40；

齊王的出馬順序為81，G，A時,田忌獲勝的對陣是（44，島。1，。24）；

齊王的出馬順序為G，A，區(qū)時,田忌獲勝的對陣是（屈G，64,44）；

齊王的出馬順序為G，B1，A時,田忌獲勝的對陣是（為。1,44,64）.

綜上所述，田忌獲勝的所有對陣是

（c2A，44，與。3（GA也GMg）,

（44也GGA）,（即,&4型33用4464）.

齊王的出馬順序為A，4,G時，比賽的所有可能對陣是

e4,c2cJ,（A4，G4，&C3

GAMING）,（G&與綜4G），

共6種，同理，齊王的其他各種出馬順序，也都分別有相應(yīng)的6種可能對陣,

所以，此時田忌獲勝的概率R=色=」.

366

【點睛】本小題考查簡單隨機事件的概率等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、應(yīng)用意識，考查統(tǒng)計與概率思想；

通過列舉所有對陣情況，求得概率是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在正方形ABC。中，E,F為邊AB上的兩個三等分點，點A關(guān)于的對稱點為A',A4'的

延長線交8C于點G.

(1)求證：DE//AF；

(2)求的大小；

(3)求證：AC=2AB.

【答案】(1)見解析；(2)45°；(3)見解析

【解析】

【分析】(1)設(shè)直線￡>E與A4'相交于點7,證明ET是AAA戶的中位線即可；

(2)連接fG,取FG的中點。，連接。4',。8,證明點A',F,B,G四點共圓即可；

(3)設(shè)/W=3a,則4D=8C=3a,A尸=2a,A￡=8尸=a,設(shè)4'歹=左，則4A=3攵，根據(jù)勾股定理

找到k與a的關(guān)系，根據(jù)AAEBSAAGC列比例求解即可.

【詳解】解：(1)設(shè)直線QE與A4'相交于點T,

??點A與4關(guān)于對稱，

?.DE垂直平分4A，即?！阓LA4',AT=7X'.

：E,F為AB邊上的兩個三等分點，

,?AE=EF，

ET是AAAN的中位線,

/.ET//AF.即。E〃A廠.

(2)連接尸G,?..四邊形A3CD是正方形，

AD=AB,ZDAB=ZABG=90°,ZDAT+ZBAG=90°,

VDE±A4\AZD7M=90°,

ZADT+ZDAT=90°,二ZADT=ZBAG.

：.^DAE^ABG,

:.AE=BG,又AE=EF=FB，

FB=BG,

△EBG是等腰直角三角形，

NGFB=45°.

■：DE//A'F,

：.AF±A4'，

NE4'G=9()。.

取FG的中點O,連接0A,08,

在Rt^AFG和Rt^BFG中，

OAOF=OG=LFG,OB=OF=OG=>FG,

22

：.Od=OF=OG=OB,

.?.點A',F,B,G都在以PG為直徑的。。上，

：.AGA!B=ZGFB=45°.

(3)設(shè)AB=3a，則AD=BC=3a,AF=2a,AE=BF=ci.

由(2)得BG-AE=ci，

.A'F1

：.tanZBAG=—=—=即tanNA'Ab=!，---=—

AB3a33M3

設(shè)AN=Z,則A4'=3Z,在用△A4尸中，由勾股定理，得4E=無廣=，

/.屈k=2a,k=羋1AF=普3.

在向AABG中，由勾股定理，得AG=dAB、BG2=而吹

T7??AAfO/35/1OCl

乂?AA=3k=------，

5

?人/“人人，77萬3y/Wa

??AG=AG-AA=710a--------=-------，

55

回a

,AF二丁二1

「A!G2Ma2

5

CG--BC—CB=2a>

?BF_a_1

"'CG~2a~2,

A'FBF1

.?-----=----------.

A'GCG2

由（2）知，NA'FB+NA'G3=180°,

又：ZAGC+ZAGB=180。，

ZAFB^ZAGC,

：.ANFBS排GC,

.A'BBF1

??---=-----=-，

A,CCG2

AC=2AB.

【點睛】本小題考查正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、圓的基本概念與性質(zhì)、解直角三角

形等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、運算能力，考查空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

25.已知拋物線>=族2+Z?x+c與x軸只有一個公共點.

（1）若拋物線過點P（0,l）,求a+b的最小值；

（2）已知點片（—2,1）,鳥（2,—1）,6（2,1）中恰有兩點在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/：丁=去+1與拋物線交于M,N兩點，點A在直線y=-l上，且NMAN=90°,過點4且與x

軸垂直的直線分別交拋物線和于點8,C.求證：AM48與△MBC的面積相等.

1

【答案】(1)?1；(2)①丁二一九2o；②見解析

4

【解析】

【分析】(1)先求得片1，根據(jù)拋物線)=以2+法+。與x軸只有一個公共點，轉(zhuǎn)化為判別式△=(),從而構(gòu)

造二次函數(shù)求解即可；

(2)①根據(jù)拋物線丫=