高三數學培優(yōu)資料-用泰勒公式和拉格朗日中值定理來處理高中函數不等式問題(教師版)_第1頁
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2012級高三數學培優(yōu)資料（教師版）泰勒公式與拉格朗日中值定理在證明不等式中的簡單應用泰勒公式是高等數學中的重點，也是一個難點，它貫穿于高等數學的始終。泰勒公式的重點就在于使用一個次多項式,去逼近一個已知的函數，而且這種逼近有很好的性質：與在點具有相同的直到階的導數.所以泰勒公式能很好的集中體現高等數學中的“逼近”這一思想精髓。泰勒公式的難點就在于它的理論性比較強，一般很難接受，更不用說應用了。但泰勒公式無論在科研領域還是在證明、計算應用等方面，它都起著很重要的作用.運用泰勒公式，對不等式問題進行分析、構造、轉化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想.本文擬在前面文獻研究的基礎上通過舉例歸納，總結泰勒公式在證明不等式中的應用方法.泰勒公式知識：設函數在點處的某鄰域內具有階導數，則對該鄰域內異于的任意點，在與之間至少存在一點，使得：=+++++，其中稱為余項，上式稱為階泰勒公式；若0，則上述的泰勒公式稱為麥克勞林公式，即=+++++.利用泰勒公式證明不等式：若函數在含有的某區(qū)間有定義,并且有直到階的各階導數,又在點處有階的導數,則有公式在上述公式中若(或),則可得或證明:證明設則在處有帶有拉格朗日余項三階泰勒公式由以上證明可知,用泰勒公式證明不等式,首先構造函數,選取適當的點在處展開,然后判斷余項的正負,從而證明不等式.對于欲證不等式中含有初等函數、三角函數、超越函數與冪函數結合的證明問題，要充分利用泰勒公式在時的麥克勞林展開式，選取適當的基本函數麥克勞林的的展開式，對題目進行分析、取材、構造利用.證明不等式：≤.2、不等式左邊是三次二項式的初等函數，右邊是三角函數，兩邊無明顯的大小關系。這時我們可用在的二階麥克勞林公式表示出來，然后進行比較判斷兩者的大小關系。證明,,,,,,,當時，的泰勒展式為：≥0(≥0,≤,0＜＜1)所以≥0,，有≤.在含有無理函數與冪函數結合的不等式證明問題中，它們之間沒有明顯的大小關系。如果用常規(guī)方法（放縮法、比較法，代換法等），我們很難比較它們之間的大小關系，但這時用泰勒公式卻能輕易解答.證明不等式：＜，（＞0）.對于此題，若我們對不等式兩邊同時平方，雖可以去掉根號，但的次數卻提高7、已知解析：由經典不等式及因此故又綜上所述，得(1)略（2）所以9、

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