向量基本定理及坐標(biāo)表示平面

9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示9.3.1平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意義；在一個(gè)平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來(lái)表示其他向量.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過(guò)力的分解引出平面向量基本定理，體會(huì)平面向量基本定理的應(yīng)用，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象及直觀想象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.平面向量基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)____________結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝________________基底________的向量e1，e2叫作這個(gè)平面的一組基底不共線向量λ1e1＋λ2e2不共線點(diǎn)睛平面向量基本定理包括兩個(gè)方面：(1)一是存在性，即存在實(shí)數(shù)λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)二是唯一性，即對(duì)任意向量a，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

由平面向量基本定理知，平面內(nèi)任一向量a可以用一組基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式.我們稱λ1e1＋λ2e2為_(kāi)_____________.當(dāng)e1，e2所在直線__________時(shí)，這種分解也稱為向量a的正交分解.2.向量的分解向量a的分解互相垂直1.思考辨析，判斷正誤(1)平面向量基本定理中基底的選取是唯一的.(

)提示基底的選取不是唯一的，不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底.(2)零向量可以作為基底中的一個(gè)向量.(

)提示由于0和任意的向量共線，故不能作為基底中的一個(gè)向量.(3)若a，b不共線，則a＋b與a－b可以作為基底.()提示由于a＋b和a－b不共線，故可作基底. (4)若e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)的所有向量.(

)××√√2.設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下各組向量中不能作為基底的是(

)A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2解析B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，∴e1＋e2，3e1＋3e2不可作為基底；A，C，D中各組向量均可作為基底.BBA.BD＝2CD B.BD＝CDC.BD＝3CD D.CD＝2BD因?yàn)镈，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點(diǎn)，課堂互動(dòng)題型剖析2題型一平面向量基本定理的理解【例1】

(多選題)如果e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，λ，μ是實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是(

)A.若λ，μ滿足λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0B.對(duì)于平面α內(nèi)任意一個(gè)向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的實(shí)數(shù)λ，μ有無(wú)數(shù)對(duì)C.線性組合λe1＋μe2可以表示平面α內(nèi)的所有向量D.當(dāng)λ，μ取不同的值時(shí)，向量λe1＋μe2可能表示同一向量ACB不正確.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一確定；C正確.平面α內(nèi)的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；D不正確.結(jié)合向量加法的平行四邊形法則易知，當(dāng)λe1和μe2確定后，其和向量λe1＋μe2便唯一確定.(1)對(duì)于平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示；反之，平面內(nèi)的任一向量也可以分解成兩個(gè)不共線的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，事實(shí)上若e1，e2是基底，則必有e1≠0，e2≠0且e1與e2不共線，如0與e1，e1與2e1，e1＋e2與2(e1＋e2)等，均不能構(gòu)成基底.思維升華【訓(xùn)練1】

設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是(

) A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2

解析選項(xiàng)B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2與3e1－4e2共線， ∴不能作為基底，選項(xiàng)A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底.故選B.B題型二用基底表示向量解法一由題意知，用基底表示向量的方法一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過(guò)列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.思維升華連接MB，MC，題型三平面向量基本定理的綜合應(yīng)用角度1利用平面向量基本定理求參數(shù)C思維升華C解析

如圖所示，角度2用平面向量基本定理求解平面幾何問(wèn)題【例4】如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值.∵A，P，M和B，P，N分別共線，故由平面向量基本定理，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.思維升華若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得.又∵B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，課堂小結(jié)一、牢記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1.平面向量基本定理.2.用基底表示向量.3.平面向量基本定理的應(yīng)用.二、掌握2種方法1.已知e1，e2不共線，作λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的方法——數(shù)形結(jié)合法，利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化.2.已知基底a，b，用a，b表示向量c的方法①線性運(yùn)算法，②待定系數(shù)法.三、注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)基底中的向量必須是不共線的向量.

分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.(多選題)設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則下列說(shuō)法不正確的是(

)A.e1，e2平行B.e1，e2的模相等C.對(duì)同一個(gè)平面內(nèi)的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ1，μ∈R)D.若e1，e2不共線，則對(duì)于同一平面內(nèi)的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)解析

由題意只有D正確.ABCA.2 B.3 C.－2 D.－3D則λ＝－3.3.BAD二、填空題6.已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，則x＝________，y＝________.－15－12解析∵向量e1，e2不共線，8.已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)____________________.

(－∞，4)∪(4，＋∞)解析若a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.三、解答題解析連接CD，OD，圖略，D∴CD∥AB.∵OA＝OD，∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO，∴四邊形ACDO為平行四邊形，12.(多選題)如圖所示，設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)的基底的是(

)AC13.設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)證明：a，b可以作為一組基底；證明若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共線得，所以λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底.(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；解設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.由于e1與e2是不共線的非零向量，所以c＝2a＋b.(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值